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1、关于回转仪平衡问题的研究 03级物理一班 李超 学号:PB03203017 2004.41u很多人在小时候都玩过一种玩具陀螺,将其一端架在支点上然后水平地释放它,开始它在水平面上摇摆着离去,之后就平稳地做均匀的进动,人们不禁会脱口问道:陀螺为什么不掉下来呢?u这就涉及到刚体力学中凭知觉很难 理解的一个问题:回转仪的进动.u如果从运动方去求回转仪的普遍运动将是 非常复杂的,而我们这里要研究的运动只是 一种最简单的形式:均匀的进动.(a)是常见 的玩具回转仪,其主要部分是一个旋转的飞 轮,和一个用于固定转轴方向的支架.转轴 一端置于塔状的支架顶上,使轴不受约束地可取各种不同的方位.(a)2u图(b
2、)是回转仪的略图,三角形表示无约束的支 点,飞轮旋转方向如图所示,再根据受力图(c) 可以看出回转仪竖直方向的合力是N-mg,其中 N是支点所施的竖直力,mg是重力,若N=mg则 质心不会下降.(b)mgN(c)u这个解释是正确的,但不能令人满意.我们提 出了一个错误的问题.我们不应该问回转 仪为什么不掉下来,而应该问它为什么不像 摆那样绕支点摆动.3u事 事实上,如果释放回转仪时它的飞轮没有转动,那么它的行为就严格和摆一样,它竖直地摆动而不是水平地进动,只有当飞轮高速旋转时才做进动,在这种情况下,飞轮巨大的自旋角动量支配着系统的动力学.u几 回转仪全部角动量都依自旋角 动量L L而定.L是沿
3、轴取向,其大小为I I.I.I是飞轮绕其转轴的转动惯量. 当回转仪绕z轴进动时,在z方向有一个很小的轨道角动量,可是就均匀进动而言,轨道角动量的大小和方向都是常量,并不起动力学的作用,因此我们在这里不考虑它.L(d)4uL L的方向总是沿着转轴,当回转仪进动时,L跟着它一起转动,若进动角速度是,则L的变化率为 =L LL(t1)L(t2)L(t3)(e)u 的方向和L L所掠过的水平圆相切,L L变化的原因是由于力矩的作用,可以从(f)中看出,当把支点选作原点时力矩就是由作用在转轴端点的飞轮重量引起的,这个力矩的大小就是M=lmg,方向在y方向上平行于 ,从关系式 =M M可求进动角速度. =
4、 L及M=lmg,故有= (1). 该式指出, 随飞轮旋转减慢而增大, 用玩具回转仪很容易看到这个效应,显然 不可能无限增大,最后均匀进动将要变成猛烈而不稳定的运动.NLlmg(f)xyz5u以上用角动量定理解释了回转仪在重力作用下的进动的道理，现在我们从另一个更直接的角度来理解这一问题。相对于跟着回转仪一起进动的参考系而言，回转仪的角动量的大小和方向保持不变。进动参考系是匀速转动的参考系，是一非惯性系。在这一非惯性系中，回转仪除受到重力作用以外还受到惯性力的作用。u将回转仪看成匀质圆盘，是圆盘上 一质量为dm的质点，在圆盘平面极坐 标系中矢径与极轴的夹角，xzy6在进动参考系中写出各物理量的
5、分量式： =k k r=r=xsini+i+lj+j+xcosk k v=v=xcosi-i-xsink k 圆盘上一点dm所受到的惯性离心力为 FcFc=-(r r)dm =( lxsini i+ lj j)dm dm惯性离心力在支点产生的力矩 M Mfc=r rFcFc =(- xlcosi i+ sincosj j)dm对圆盘上所有的质点积分,设为面密度 M Mfc= （- xlcosi i+ sincosj j)xdxd =0 0xvxzylrFc7再研究圆盘上一点dm所受到的科里奥利力为 FcorFcor=-2v vdm =(2xcosj j)dm dm科里奥利力在支点产生的力矩 M Mfcor=r rFcorFcor =(2 cosi i-2 sincosk k)dm对圆盘上所有的质点积分 M Mfcor= （2 cosi i -2 sincosk k)xdxd = i i再由（1）式推出= = = 代入 于是M Mfcor=mgli ixvxzylFcorr8uM Mfc=0uM Mfcor=mgli iuM Mmg=-mgli i M Mfc+M Mfcor+M Mmg=0 0 由刚体的平衡原理知回转仪在进动参考系中处于平衡状态 因此不会像摆一样上下摆动。u 参考书目： 力学杨维纮编著；中国科学技术大学出版社出版； 力学郑永令编著；复旦大学出版社出版；9
