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1、1理论力学教学材料平面一般力系第二章第二章 平面一般力系平面一般力系平面一般力系平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。例例屋架：有自重、风压力、约束反力。这些力构成平面一般力系。2理论力学教学材料平面一般力系平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。 3理论力学教学材料平面一般力系2-1 2-1 平面一般力系的简化平面一般力系的简化一、力的平移定理一、力的平移定理可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力平行
2、移到任一指定点的力平行移到任一指定点B，但必须，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点B的矩。的矩。=证：4理论力学教学材料平面一般力系该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。 该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。 例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。 5理论力学教学材料平面一般力系二、平面汇交力系的合成二、平面汇交力系的合成设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形法则：abcde说明：
3、（1）去掉虚线后的多边形称为力多边形力多边形。用此方法求合力，称为力多边形法则。（2）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变。 6理论力学教学材料平面一般力系对于由n个力组成的汇交力系，有 平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和于各分力的矢量和。 （a）以A点为原点建立直角坐标系，将（a）式向x、y轴投影：由矢量投影定理：7理论力学教学材料平面一般力系当合力等于零，即 时，汇交力系平衡。 此时，力多边形自行封闭力多边形自行封闭这就是汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的几何条件。合力的大小：合力的大小： 方
4、向：方向： 作用点：作用点：力系的汇交点力系的汇交点8理论力学教学材料平面一般力系例例1如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。已知各力的大小为F1=360N，F2=550N，F3=380N，F4=300N，方向如图。试求合力的大小和方向。 解：解：选取图示坐标系，则 9理论力学教学材料平面一般力系合力的大小和方向分别为 由于 为正， 为负，故合力在第四象限，如图所示 。三、平面力偶系的合成三、平面力偶系的合成10理论力学教学材料平面一般力系设有两个力偶组成的力偶系结论结论: : 平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶, ,其力偶矩为各力偶其力偶矩为各力偶矩的
5、代数和矩的代数和。对由n个力偶组成的力偶系：=11理论力学教学材料平面一般力系(c)(b)四、平面一般力系向作用面内任一点简化四、平面一般力系向作用面内任一点简化设刚体上作用一平面任意力系 、 。在力系作用面内任取一点O，称该点为简化中心简化中心（1）将各力平移至点O ， 得一平面汇交力系和一平面力偶系。（2）将平面汇交力系合成： 原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量主矢量，简称主矢主矢（它是不是原力系的合力？），用 表示，即 m1m2mn=(a)12理论力学教学材料平面一般力系(c) (3)将平面力偶系合成：得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为: =m1+m2+mn 原力系中各力对简化中
6、心之矩的代数和称为力系对简化中心力系对简化中心的主矩的主矩 （它是不是合力偶？） 主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。 MOMO=主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。 =(a)m1m2mn(b)13理论力学教学材料平面一般力系(c)(a)过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴上的投影为： 则主矢的大小：yxyx方向：结论结论： 平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心；力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心；这力偶的矩等于
7、原力系对简化中心的主矩。这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。 MO14理论力学教学材料平面一般力系固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束说明说明 认为认为Fi这群力在同一这群力在同一 平面内平面内; 将将Fi向向A点简化得一点简化得一 力和一力偶力和一力偶; RA方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力YA, XA表示表示; YA, XA, mA为固定端为固定端 约束反力约束反力; YA, XA限制物体平动限制物体平动, mA为限制转动。为限制转动。15理论力学教学材料平面一般力系 =0,MO0 原力系简化为一合力偶。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等
8、于力偶矩，而与矩心的位置无关。 简化结果：主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。五、五、简化结果的讨论简化结果的讨论 合力矩定理合力矩定理 0,MO =0,原力系简化为一个合力，合力 （原力系各力的矢量和），作用线通过简化中心O。出现这种情况是因为简化中心刚好选在了合力的作用线上了。 1.简化结果的讨论 16理论力学教学材料平面一般力系 0,MO 0（最一般的情况），此时可以进一步简化为可以进一步简化为一个合力一个合力 。应用力的平移定理的逆过程 ：合力 在主矢 的左侧还是右侧？根据合力根据合力 对简化中心矩的对简化中心矩的转向应与主矩转向应与主矩MO的转向一致的原则来确定的转向一致的原则来确定
9、。 合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用线位置的作用线位置17理论力学教学材料平面一般力系 =0， MO =0，则力系平衡,以后讨论。 2.合力矩定理因此,平面一般力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶或平衡.由1知,合力 对O点的矩:又因为主矩:于是:即:平面一般力系的合力对力系所在平面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和，这就是合力矩定理。18理论力学教学材料平面一般力系例如已知：如图 F、Q、l, 求： 和 解解：用力对点的矩法用力对点的矩法 应用合力矩定理应用合力矩定理 19理论力学教学材料平面一般力系例例2 图示工字形工件的横
10、截面受三力作用，大小分别为：F1=600N，F2=400N，F3=300N，试将此力系向A点简化并求简化的最后结果。图中长度单位:mm。 解解:（1）计算主矢 建立直角坐标系Axy： xyRx=Xi=F2=400NRy=Yi=-F1+F3 =-300N 的大小：方向：=arctgRx/ Ry=53.10 因为Rx为正，Ry为负，所以主矢在第四象限。 20理论力学教学材料平面一般力系（2）计算力系对A点的主矩 MA=0.1F1+0.1F3 =90Nm （3）求简化的最后结果 xy由于 0，MA0，因此可进一步简化为一个合力 ， d=MA/R=90/500=0.18m=180mm ，R= R=50
11、0N，合力作用线距A点注意:不管是向A点简化，还是向其它点简化，简化的最后结果都是一样的。 要在图上画出 、MA、 、d；MAd21理论力学教学材料平面一般力系2-2 2-2 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程 由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡一、平面一般力系的平衡方程一、平面一般力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即： ii22理论力学教学材料平面一般力系三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上三个独立方程，只能求出三个未知数
12、。基本形式基本形式二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不 AB 连线连线i两投影轴可以不垂直（但不能平行）；矩心也可任选，不一定坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。23理论力学教学材料平面一般力系 例例3 图示起重机，均质梁重Q=4.2kN，荷载W=10kN。不计杆BC自重，求平衡时A处的反力和杆BC受的力。解解：以AB梁为研究对象 受力图如图（以后对整体结构的受力图，可以直接画在原图上）S6 sin300-3Q-4W=0(拉）24理论力学教学材料平面一般力系Xi=0, XAS cos300=0XA = S cos300=17.530
13、.866=15.18kNYi=0,YA Q W+Ssin300=0YA= Q+W Ssin300=5.44kN以上使用的是平衡方程的基本形式，如用二力矩式，则：Xi=0, 同前3Q+2W 6YA=0，YA=5.44kN如使用三力矩式，则由 可求得yx25理论力学教学材料平面一般力系平面一般力系的解题步骤：1.选取研究对象2.画受力图3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与未知力垂直，矩心尽可能选在未知力的交点上，以使每个方程中的未知量的数目最少。4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立方程。此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。26理论力学教学材料平面一般力系二、平面汇交力系的平衡方
14、程二、平面汇交力系的平衡方程Oxy图示平面汇交力系，取汇交点O未简化中心，则于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面汇交力系的平衡方程：Xi=0Yi=027理论力学教学材料平面一般力系例例4 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？解解：研究对象：球A （其受力为平面汇交力系）由得由得ii，28理论力学教学材料平面一般力系三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，xy取如图所示直角坐标系，则Xi0于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：Yi=0基本形式二力矩式OAB连线不能平行连线不能平行 于各力的作用线于各力的作用
15、线29理论力学教学材料平面一般力系例例5 已知塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？（教材P40例2-3与此题类似）30理论力学教学材料平面一般力系限制条件限制条件：解得解得解解： 首先考虑满载时，起首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小重机不向右翻倒的最小Q为：为：空载时，空载时，W=0限制条件限制条件为：解得解得因此保证空、满载均不倒因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系应满足如下关系：i，由i，31理论力学教学材料平面一般力系求当求当Q=180kN，满载
16、，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得：i32理论力学教学材料平面一般力系四、平面力偶系的平衡方程四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即Xi0Yi0所以，有平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：mi=033理论力学教学材料平面一般力系 例例66 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解解: 各力偶的合力偶距为根据mi=0有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。34理
17、论力学教学材料平面一般力系2-3 2-3 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡 独立方程数目独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）每种力系的独立平衡方程数是一定的，因而能求解未知量的个数也是一定的。 静不定次数：未知量的数目独立平衡方程的数目35理论力学教学材料平面一般力系 例例 静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）36理论力学教学材料平面一
18、般力系例例 二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题外力外力：外界物体作用于系统上的力。内力内力：系统内部各物体之间的相互作用力。物体系统（物系物系）：由两个及以上物体通过约束所组成的系统。37理论力学教学材料平面一般力系物系平衡的特点：物系平衡的特点： 物系平衡，物系中每个物体也平衡。物系平衡，物系中每个物体也平衡。 在平面一般力系作用下，一个物体可列在平面一般力系作用下，一个物体可列3 3个平衡个平衡方程，方程， 则由则由n个物体组成的系统可列个物体组成的系统可列3 3n个方程。个方程。 要分清内力与外力，内力不画在受力图上。要分清内力与外力，内力不画在受力图上。38理论力学教学材料平面一般力系*例例7 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时，求：M=？O点的约束反力？AB杆内力？冲头给导轨的侧压力？解解：研究B39理论力学教学材料平面一般力系负号表示力的方向与图中所设方向相反再研究轮40理论力学教学材料平面一般力系例例8组合梁ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力P=10 kN，均布荷载的集度q=20 kNm，力偶矩m=150kNm，l=8m。试求A、C处的反力。（教材例2-6）解（1）以AB为研究对象：41理论力学教学材料平面一般力系(2)以整体为研究对象：mCyx42理论力学教学材料平面一般力系
