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1、证据理论证据理论 证据理论是由德普斯特（A.P.Dempster）首先提出，并由沙佛（GShafer）进一步发展起来的一种处理不确定性的理论，因此又称为DS理论。证据理论与Bayes理论区别：Bayes理论： 需要有统一的识别框架、完整的先验概率和条件概率知识， 只能将概率分派函数指定给完备的互不包含的假设，证据理论：用先验概率分派函数去获得后验的证据区间，证据区间量化了命题的可信程度。可将证据分派给假设或命题， 提供了一定程度的不确定性，即证据既可指定给互不相容的命题，也可指定给相互重叠、非互不相容的命题。证据理论满足比概率论更弱的公理系统，当概率值已知时，证据理论就变成了概率论。D-S理论
2、1基本理论基本理论 2一个具体的不确定性推理模型一个具体的不确定性推理模型 3举例举例 4小结小结 1基本理论基本理论 设D是变量x所有可能取值的集合，且D中的元素是互斥的，在任一时刻x都取且只能取D中的某一个元素为值，则称D为x的样本空间，也称D为辨别框 。在证据理论中，D的任何一个子集A都对应于一个关于x的命题，称该命题为“x的值在A中”。 引入三个函数：概率分配函数，信任函数及似然函数等概念。1.概率分配函数概率分配函数设D为样本空间，领域内的命题都用D的子集表示，则概率分配函数定义如下：定义1： 设函数M：2D0，1，且满足M（）0 M（A）1AD则称M是2D上的概率分配函数，M（A）
3、称为A的基本概率数。 说明 ：1.设样本空间D中有n个元素，则D中子集的个数为2n个，定义中的2D就是表示这些子集的。 2.概率分配函数的作用是把D的任意一个子集A都映射为0，1上的一个数M（A）。当AD时，M（A）表示对相应命题的精确信任度。实际上就是对D的各个子集进行信任分配，M（A）表示分配给A的那一部分。当A由多个元素组成时，M(A)不包括对A的子集的精确信任度，而且也不知道该对它如何进行分配。当AD时，M（A）是对D的各子集进行信任分配后剩下的部分，它表示不知道该对这部分如何进行分配。 定义：若AD则M(A)0，称A为M的一个焦元。3.概率分配函数不是概率。 2.信任函数信任函数 定
4、义2 :命题的信任函数Bel：2D0，1，且Bel(A）M（B）对所有的AD BA其中2D表示D的所有子集。 Bel函数又称为下限函数，Bel（A）表示对命题A为真的信任程度。由信任函数及概率分配函数的定义推出：Bel（）M（）0Bel（D）M（B）1 BD3.似然函数似然函数 定义3: 似然函数Pl：2D0，1，且 Pl（A）1一Bel（A） 其中AD 似然函数的含义：由于Bel(A)表示对A为真的信任程度，所以Bel(A)就表示对非A为真，即A为假的信任程度，由此可推出Pl（A）表示对A为非假的信任程度。似然函数又称为不可驳斥函数或上限函数。 推广到一般情况可得出：Pl(A)= M(B)
5、AB证明如下：Pl(A) M(B) 1-Bel(A)- M(B) AB AB 1-(Bel(A)+ M(B) AB 1-( M(C)+ M(B) CA AB 1- M(E) ED 0Pl（A）M（B） AB4.信任函数与似然函数的关系信任函数与似然函数的关系 Pl（A）Bel（A） 证明： Bel（A）十Bel（A）M（B）M（C） BA CAM（E）1 EDPl（A）Bel（A）1Bel（A）一Bel（A） 1（Bel（A）Bel（A） 0 Pl（A）Bel（A）v由于Bel（A）表示对A为真的信任程度，Pl（A）表示对A为非假的信任程度，因此可分别称Bel（A）和Pl(A）为对A信任程度的
6、下限与上限，记为A（Bel（A）， Pl（A）v01（1，1）A为真。v Bel Pl （0，0）A为假。v 确知 未知 确知（0，1）对A一无所知，单位元。v 为真为假Pl(A)Bel(A) 对A不知道的程度。v下面用例子进一步说明下限与上限的意义：vA（0.25，1）：由于Bel（A）0.25，说明对A为真有一定程度的信任，信任度为0.25；另外，由于Bel（A）1Pl（A）0，说明对A不信任。所以A（0.25，1）表示对A为真有0.25的信任度。vA（0，085）：由于Bel（A）0，而Bel（A）1一Pl（A）10.850.15，所以A（0，0.85）表示对A为假有一定程度的信任，信任
7、度为0.15。vA（0.25，0.85）：由于Bel（A）0.25，说明对A为真有0.25的信任度；由于Bel（A）10.850.15，说明对A为假有0.15的信任度。所以A（0.25，0.85）表示对A为真的信任度比对A为假的信任度稍高一些。5.概率分配函数的正交和概率分配函数的正交和 v定义4 :设M1和M2是两个概率分配函数，则其正交 和M= M1 M2为vM()=0vM(A)=K1M1(x)M2(y)v xy=Av其中:vK=1-M1(x)M2(y)=M1(x)M2(y)v xy= xyv如果K0,则正交和M也是一个概率分配函数；如果K=0，则不存在正交和M，称M1 与M2矛盾。 v定
8、义5 ：设M1,M2,，Mn是n个概率分配函数，则其正交和MM1M2Mn为M()=0vM(A)=K1 Mi(Ai)v Ai =A 1inv其中:K= Mi(Ai)v Ai 1i1 则m（A）0时，证据理论就退化为概率论； 当m的焦元呈有序的嵌套结构时， 即对所有的m（Ai）0，有A1A2An时，证据理论退化为Zadeh的可能性理论。v证据理论能够区分不知道和不确定。v证据理论可以处理证据影响一类假设的情况，即证据不仅能影响一个明确的假设（与单元素子集相对应），还可以影响一个更一般的不明确的假设（与单元素子集相对应）。因此，证据理论可以在不同细节、不同水平上聚集证据，更精确的反映了证据收集过程。v证据理论的缺点是:要求辨别框中的元素满足相互排斥的条件，在实际系统中不易满足。而且，基本概率分配函数要求给的值太多，计算比较复杂。
