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1、第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式1.1.会应用导数的定义推导四种常见函数会应用导数的定义推导四种常见函数y=cy=c，y=xy=x，y=x2y=x2，y= y= 的导数公式的导数公式. .2.2.掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数. . 1.1.本课重点是掌握四种常见函数的导数公式、基本初等函数的本课重点是掌握四种常见函数的导数公式、基本初等函数的导数公式及应用导数公式及应用. .2.2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数与导数公式的简单应用数与
2、导数公式的简单应用. .1.1.几个常用函数的导数几个常用函数的导数（1 1若若y=f(x)=cy=f(x)=c，则，则f(x)=_f(x)=_；（2 2若若y=f(x)=xy=f(x)=x，则，则f(x)=_f(x)=_；（3 3若若y=f(x)=x2y=f(x)=x2，则，则f(x)=_f(x)=_；（4 4若若y=f(x)= y=f(x)= ，则，则f(x)= =_.f(x)= =_.0 01 12x2x-x-2-x-22.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式（1 1若若f(x)=cf(x)=c，则，则f(x)=0f(x)=0；（2 2若若f(x)=xn(nQ*)f(x)=x
3、n(nQ*)，则，则f(x)=_f(x)=_；（3 3若若f(x)=sinxf(x)=sinx，则，则f(x)=_f(x)=_；（4 4若若f(x)=cosxf(x)=cosx，则，则f(x)=_;f(x)=_;（5 5若若f(x)=axf(x)=ax，则，则f(x)=_(a0)f(x)=_(a0)；（6 6若若f(x)=exf(x)=ex，则，则f(x)=_f(x)=_；（7 7若若f(x)=logaxf(x)=logax，则，则f(x)= (a0f(x)= (a0且且a1)a1)；(8)(8)若若f(x)=lnxf(x)=lnx，则，则f(x)= .f(x)= .nxn-1nxn-1cos
4、xcosx-sinx-sinxaxlnaaxlnaex1.1.计算过程：计算过程：(sin )=cos = ,(sin )=cos = ,正确吗？正确吗？提示：不正确，因为提示：不正确，因为sin = sin = 为常数，而常数的导数为为常数，而常数的导数为0.0.2.2.已知已知f(x)=x2f(x)=x2，则，则f(3)=_.f(3)=_.【解析】【解析】f(x)=2xf(x)=2x，f(3)=23=6.f(3)=23=6.答案：答案：6 63.3.如果曲线如果曲线y=x2y=x2的某一切线与直线的某一切线与直线y=4x+3y=4x+3平行，则切点坐标为平行，则切点坐标为_._.【解析】设
5、切点【解析】设切点(x0,y0)(x0,y0)，y=2xy=2x，2x0=42x0=4，即即x0=2.x0=2.又又(x0,y0)(x0,y0)在曲线在曲线y=x2y=x2上，上，y0=22=4,y0=22=4,切点坐标为切点坐标为(2,4).(2,4).答案：答案：(2,4)(2,4)1.1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别利用导数的定义求导与导数公式求导的区别导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚
6、至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速了，简洁迅速. .2.2.基本初等函数的导数公式的理解与识记基本初等函数的导数公式的理解与识记(1)(1)要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数函数的导数，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数. .(2)(2)八个基本初等函数的导数公式，可以从我们掌握的基本初八
7、个基本初等函数的导数公式，可以从我们掌握的基本初等函数顺序上识记：基本初等函数有常数函数、指、对、幂、等函数顺序上识记：基本初等函数有常数函数、指、对、幂、三角函数，常数函数的导数公式是公式三角函数，常数函数的导数公式是公式1 1）；指数函数的导）；指数函数的导数公式是数公式是5 5）、（）、（6 6）；对数函数的导数公式是）；对数函数的导数公式是7 7）、（）、（8 8）；）；幂函数的导数公式是幂函数的导数公式是2 2）；三角函数的导数公式是）；三角函数的导数公式是3 3）、）、（4 4）. .特别地，注意到公式特别地，注意到公式5 5与与6 6）、（）、（7 7与与8 8之间的区别之间的区
8、别与联系，我们可分别以公式与联系，我们可分别以公式6 6）、（）、（8 8作为作为5 5）、（）、（7 7的的两个特殊形式来识记两个特殊形式来识记5 5）、（）、（7 7）. . 利用公式求函数的导数利用公式求函数的导数【技法点拨】【技法点拨】应用导数公式求导的两个注意点应用导数公式求导的两个注意点（1 1应用导数公式时不需对公式说明，掌握这些公式的基本应用导数公式时不需对公式说明，掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可结构和变化规律直接应用即可. .（2 2需要根据所给函数的特征，恰当地选择公式需要根据所给函数的特征，恰当地选择公式. .（3 3对一些函数求导时，要弄清一些函数的内部关
9、系，合理对一些函数求导时，要弄清一些函数的内部关系，合理转化后再求导，如转化后再求导，如y= y= ，y= y= ，可以转化为，可以转化为y= y= ，y=x-3y=x-3后再求导后再求导. .（4 4对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求导，化简时注意化简的等价性导，化简时注意化简的等价性. .【典例训练】【典例训练】1.1.已知函数已知函数f(x)= f(x)= ，则，则f(-3)=( )f(-3)=( )（A A4 4 （B B） （C C）- - （D D）- - 2.2.若若y=10xy=10x，则，则y|x=1=_.y|
10、x=1=_.3.3.求下列函数的导数：求下列函数的导数：（1 1y=x7y=x7；（；（2 2y= y= ；（；（3 3y= y= ；（4 4y=2sin cos y=2sin cos ；（；（5 5y= . y= . 【解析】【解析】1.1.选选D.f(x)=- D.f(x)=- ，f(-3)=- .f(-3)=- .2.y=10xln102.y=10xln10，y|x=1=10ln10.y|x=1=10ln10.答案：答案：10ln1010ln103.3.（1 1y=7x7-1=7x6.y=7x7-1=7x6.（2 2）y=x-2y=x-2，y=-2x-2-1=-2x-3.y=-2x-2-
11、1=-2x-3.（3 3）y= y= ，y=y=（4 4）y=2sin cos =sinxy=2sin cos =sinx，y=cosx.y=cosx.（5 5y=( )=y=( )=【总结】解答本题【总结】解答本题3 3时解题的规律与关键点时解题的规律与关键点. .提示：提示：(1)(1)解答本题解答本题3 3时函数解析式是较复杂的指数式、对数式、时函数解析式是较复杂的指数式、对数式、三角式，考虑先对解析式进行相应的化简，整理成熟悉的基本三角式，考虑先对解析式进行相应的化简，整理成熟悉的基本初等函数的形式，再对其进行求导初等函数的形式，再对其进行求导. .(2)(2)正确应用导数公式是关键，
12、当然指数、对数的运算性质以正确应用导数公式是关键，当然指数、对数的运算性质以及三角恒等变换的熟练程度对顺利解答题目也起到至关重要的及三角恒等变换的熟练程度对顺利解答题目也起到至关重要的作用作用. . 导数的几何意义的简单应用导数的几何意义的简单应用【技法点拨】【技法点拨】1.1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况（1 1若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数导数. .（2 2如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求
13、解线的斜率公式进行求解2.2.求过点求过点P P与曲线相切的直线方程的三个步骤与曲线相切的直线方程的三个步骤设设设出切点坐标为设出切点坐标为x0,y0x0,y0）写写写出切线方程写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0)y-y0=f(x0)(x-x0)求求代入点代入点P P的坐标，求出的坐标，求出x0,y0x0,y0得切线方程得切线方程【典例训练】【典例训练】1.1.（20192019广东高考曲线广东高考曲线y=x3-x+3y=x3-x+3在点在点1 1，3 3处的切线方处的切线方程为程为_._.2.2.求过曲线求过曲线y=cosxy=cosx上点上点P( )P( )且与在这点的切线垂直的直
14、线方且与在这点的切线垂直的直线方程程【解析】【解析】1.y=3x2-1,1.y=3x2-1,y|x=1=3-1=2,y|x=1=3-1=2,切线方程为切线方程为y-3=2(x-1),y-3=2(x-1),即即2x-y+1=0.2x-y+1=0.答案答案:2x-y+1=0:2x-y+1=02.y=cosx2.y=cosx，y=-sinxy=-sinx曲线在点曲线在点P( P( ）处的切线斜率是）处的切线斜率是y|x= =-sin =- .y|x= =-sin =- .过点过点P P且与切线垂直的直线的斜率为且与切线垂直的直线的斜率为 ，所求的直线方程为所求的直线方程为y- = y- = （x-
15、x- ），），即即2x- y- + =02x- y- + =0【想一想】解答本题【想一想】解答本题2 2时易忽视的问题是什么？时易忽视的问题是什么？提示：已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义：提示：已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义：一是所求直线与切线垂直；二是所求直线也过此点在确定与一是所求直线与切线垂直；二是所求直线也过此点在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数yy是否为零，当是否为零，当y=0y=0时，切线平行或重合于时，切线平行或重合于x x轴，过切点轴，过切点P P垂直垂直于切线的直线斜率不存
16、在于切线的直线斜率不存在 导数的综合应用导数的综合应用【技法点拨】【技法点拨】导数的综合应用的解题技巧导数的综合应用的解题技巧(1)(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在问题的关键所在. .(2)(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、
17、不等式等知识结合出现综合大题不等式等知识结合出现综合大题. .遇到解决一些与距离、面积遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题相关的最值、不等式恒成立等问题. .可以结合导数的几何意义可以结合导数的几何意义分析分析. .【典例训练】【典例训练】1.1.设曲线设曲线y= y= 上有点上有点P(x1,y1)P(x1,y1)，与曲线切于点，与曲线切于点P P的切线为的切线为m m，若直线若直线n n过过P P且与且与m m垂直，则称垂直，则称n n为曲线在点为曲线在点P P处的法线，设处的法线，设n n交交x x轴于点轴于点Q Q，又作，又作PRxPRx轴于轴于R R，则，则RQRQ的
18、长为的长为_._.2.2.已知直线已知直线x-2y-4=0x-2y-4=0与抛物线与抛物线y2=xy2=x相交于相交于A A、B B两点，两点，O O为坐标为坐标原点，试在抛物线的弧原点，试在抛物线的弧 上求一点上求一点P P，使，使ABPABP的面积最大的面积最大. .【解析】【解析】1.1.依题意，依题意，y|x=x1= y|x=x1= ，nn与与m m垂直，垂直，nn的斜率为的斜率为-2 -2 ，直线直线n n的方程为：的方程为：y-y1=-2 (x-x1)y-y1=-2 (x-x1)，令，令y=0y=0，那么，那么-y1=-2 (xQ-x1)-y1=-2 (xQ-x1)，xQ= +x1
19、xQ= +x1，容易知道：，容易知道：xR=x1xR=x1，于是，于是，|RQ|=|xQ-xR|= .|RQ|=|xQ-xR|= .答案：答案： 2.2.解题流程：解题流程：【想一想】解答本题【想一想】解答本题1 1的关键点及解答本题的关键点及解答本题2 2时的关键点是什么时的关键点是什么？提示：（提示：（1 1解答本题解答本题1 1的关键点是数形结合分析出的关键点是数形结合分析出xR=x1xR=x1这一这一隐含条件隐含条件. .（2 2解答本题解答本题2 2时关键点是注意到时关键点是注意到|AB|AB|是定值，数形结合分析是定值，数形结合分析出出“三角形面积最大，只需三角形面积最大，只需P
20、P到到ABAB的距离最大的距离最大”,”,即即“点点P P是抛是抛物线的平行于物线的平行于ABAB的切线的切点这一隐含条件的切线的切点这一隐含条件. .【规范解答】两曲线的公切线问题【规范解答】两曲线的公切线问题【典例】【典例】(12(12分分) )求曲线求曲线C1:y=x2C1:y=x2与曲线与曲线C2:y=x3C2:y=x3的公共切线的斜率的公共切线的斜率. .【解题指导】【解题指导】【规范解答】【规范解答】(1)(1)当公切线切点相同时当公切线切点相同时，对，对C1,C2C1,C2分别求导得分别求导得y=2x,y=3x2.y=2x,y=3x2.令令2x=3x2 2x=3x2 ，解得，解得
21、x=0x=0或或x= x= 2 2分分当当x=0x=0时，时，2x=3x2=0,2x=3x2=0,满足题意，此时满足题意，此时k=0.k=0.4 4分分当当x= x= 时，时，2x=3x2= .2x=3x2= .此时此时C1C1的切线方程为的切线方程为y- = (x- )y- = (x- )，而而C2C2的切线方程为的切线方程为y- = (x- ).y- = (x- ).显然两者不是同一条显然两者不是同一条切线，所以切线，所以x= x= 舍去舍去. .6 6分分(2)(2)当公切线切点不同时当公切线切点不同时，在曲线，在曲线C1C1，C2C2上分别任取一点上分别任取一点A Ax1x1，y1y1
22、）、）、B Bx2x2，y2y2），则有），则有y=2x1,y=3x22.y=2x1,y=3x22.ABAB的斜率为的斜率为有有2x1=3x22= .2x1=3x22= .8 8分分由由2x1=3x222x1=3x22，得，得x1= x22x1= x22，代入代入3x22= 3x22= 中，中，解得解得x2= x2= ，x1= . x1= . 1010分分此时公切线的斜率为此时公切线的斜率为k=2x1= .k=2x1= .综上所述，曲线综上所述，曲线C1C1，C2C2有两条公切线，其斜率分别为有两条公切线，其斜率分别为0 0， . .1212分分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警
23、示和解【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）见规范解答过程）失失分分警警示示在解答过程中，若漏掉在解答过程中，若漏掉处两种情况处两种情况当公切线切点相当公切线切点相同时同时及及当公切线切点不同时当公切线切点不同时的讨论，而直接得到的讨论，而直接得到处处的的2x=3x2x=3x2 2或设切点，得到或设切点，得到2x2x1 1=3x=3x2 22 2= = ，则对于本，则对于本题，虽然结果正确，但解析不完整，实际考试中最多题，虽然结果正确，但解析不完整，实际考试中最多给给5 5分分. .这是考试中常见的失分点这
24、是考试中常见的失分点. .在解答过程中，虽然分在解答过程中，虽然分处两种情况的讨论，却不能处两种情况的讨论，却不能根据题意结合导数的几何性质得出根据题意结合导数的几何性质得出处的处的2x=3x2x=3x2 2与与2x2x1 1=3x=3x2 22 2= = ，造成无法继续解答，则此种，造成无法继续解答，则此种情况，在实际考试中最多给情况，在实际考试中最多给4 4分分. .失失分分警警示示在解答过程中，若漏掉在解答过程中，若漏掉的的综上所述，曲线综上所述，曲线C C1 1,C,C2 2有两条公切线，其斜率分别为有两条公切线，其斜率分别为0 0， 的总结，虽的总结，虽然不算错误，但是解析过程不完整
25、，实际考试中此种然不算错误，但是解析过程不完整，实际考试中此种情况一般给情况一般给1010分，这是考试中失分最可惜的地方分，这是考试中失分最可惜的地方. .解解题题启启示示(1)(1)解题时切记分类讨论思想的应用，把握住分类的标准，解题时切记分类讨论思想的应用，把握住分类的标准，做到不重不漏；做到不重不漏；(2)(2)解方程或方程组得到的解要注意根据题意验证是否出解方程或方程组得到的解要注意根据题意验证是否出现增根的情况；现增根的情况；(3)(3)在解答题的解题过程中，要注意解题的规范性与完备在解答题的解题过程中，要注意解题的规范性与完备性，不要漏掉步骤而使整个解答不规范性，不要漏掉步骤而使整
26、个解答不规范. .【规范训练】【规范训练】(12(12分分) )求曲线求曲线y=x2y=x2过点过点P( ,6)P( ,6)的切线方程的切线方程. .【解题设问】【解题设问】(1)(1)点点( ,6)( ,6)是切点吗？是切点吗？_，因为，因为_._.(2)(2)需要设切点吗？需要设切点吗？_(3)(3)设切点有什么作用？注意到切点与点设切点有什么作用？注意到切点与点( ,6)( ,6)的连线的斜率即的连线的斜率即_这一隐含条件，可得切点的横坐标这一隐含条件，可得切点的横坐标, ,问题迎问题迎刃而解刃而解. .不是不是点不在曲线上点不在曲线上需要需要曲线在切点处的导数曲线在切点处的导数【规范答
27、题】设切点为【规范答题】设切点为(x0,x02)(x0,x02)，y=2xy=2x，2 2分分又切线过点又切线过点P P（ ，6 6）,其斜率应满足其斜率应满足 ，6 6分分解得解得x0=2x0=2或或x0=3x0=3， 8 8分分k1=4k1=4，k2=6.k2=6.且切点为且切点为2 2，4 4），（），（3 3，9 9）. .1010分分所以切线方程为所以切线方程为y=4x-4y=4x-4，y=6x-9.y=6x-9.1212分分1.1.设设y=e3y=e3，则，则yy等于等于( )( )（A A3e2 3e2 （B Be2e2（C C0 0 （D D以上都不是以上都不是【解析】选【解析
28、】选C C因为因为e3e3是常数，常数的导数为零，所以选是常数，常数的导数为零，所以选C C2.2.曲线曲线y=xny=xn在在x=2x=2处的导数为处的导数为1212，则，则n=( )n=( )（A A1 1 （B B3 3 （C C2 2 （D D4 4【解析】选【解析】选B.y=nxn-1,n2n-1=12,B.y=nxn-1,n2n-1=12,可得可得n=3.n=3.所以选所以选B.B.3.3.给出下列结论：给出下列结论：若若y= ,y= ,则则y=- y=- ；y= ,y= ,则则y= y= ；y=log2x,y=log2x,则则y= y= ；y=cosxy=cosx，则，则y=si
29、nx.y=sinx.其中正确的个数是其中正确的个数是( )( )（A A1 1 （B B2 2 （C C3 3 （D D4 4【解析】选【解析】选A.A.正确正确,y= =x-3,y= =x-3,y=-3x-4=- y=-3x-4=- ；不正确不正确,y= ,y= ,则则y= y= ；不正确不正确,y=log2x,y=log2x,则则y= ;y= ;不正确不正确,y=cosx,y=cosx,则则y=-sinx.y=-sinx.4.4.若若f(x)=x3f(x)=x3，f(x0)=3,f(x0)=3,则则x0x0的值为的值为_._.【解析】【解析】f(x0)=3x02=3,f(x0)=3x02=3,x0=1.x0=1.答案：答案：115.5.已知函数已知函数y=asinx+by=asinx+b的图象过点的图象过点A A0 0，0 0），），B B（ ，-1-1），），试求函数在原点处的切线方程试求函数在原点处的切线方程. .【解析】【解析】y=asinx+by=asinx+b的图象过点的图象过点A A0 0，0 0），），B B（ ，-1-1）, , 解得解得y=sinx.y=sinx.又又y=cosxy=cosx，y|x=0=1.y|x=0=1.切线方程为切线方程为y=x.y=x.
