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1、第28课时 等腰三角形一、等腰三角形一、等腰三角形1.1.概念：概念：有有_相等的三角形是等腰三角形；相等的三角形是等腰三角形；_相等的三角形相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫_._.两条边两条边三条边三条边正三角形正三角形2.2.性质：性质：(1)(1)等腰三角形的两个等腰三角形的两个_相等相等( (简写成简写成“等边对等边对_”).).(2)(2)等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角_线，底边上的线，底边上的_线、底边上的线、底边上的_相互重合相互重合( (通常称作通常称作“三线合一三线合一”).).3.3.判定：如果一个三角形有两个判
2、定：如果一个三角形有两个_相等，那么这两个角所对相等，那么这两个角所对的的_也相等也相等( (简写成简写成“等角对等角对_”).).底角底角等角等角平分平分中中高高角角边边等边等边二、等边三角形二、等边三角形1.1.性质：等边三角形的三个性质：等边三角形的三个_都相等，且都等于都相等，且都等于_._.2.2.判定：判定：(1)(1)三个三个_都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；(2)(2)有一个角是有一个角是_的的_三角形是等边三角形三角形是等边三角形. .三、含三、含3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质在直角三角形中在直角三角形中3030的角所对的的角所对的_
3、等于斜边的等于斜边的_._.内角内角6060角角6060等腰等腰直角边直角边一半一半【核心点拨核心点拨】1.1.等腰三角形具有一般三角形的所有性质，等边三角形具有等等腰三角形具有一般三角形的所有性质，等边三角形具有等腰三角形的所有性质腰三角形的所有性质. .2.2.“三线合一三线合一”是等腰三角形的性质而非判定定理是等腰三角形的性质而非判定定理. .3.3.“等角对等边等角对等边”与与“等边对等角等边对等角”是指同一个三角形的边与是指同一个三角形的边与角角. .4.4.从轴对称的角度认识等腰三角形从轴对称的角度认识等腰三角形. .5.5.含含3030角的直角三角形的性质实质是指：角的直角三角形
4、的性质实质是指：3030的角所对的直的角所对的直角边与斜边的关系角边与斜边的关系. .【即时检验即时检验】 1.1.在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，B=40B=40，则，则A=A=_. .2.ABC2.ABC中，中，AB=ACAB=AC，点，点D D为为BCBC的中点，的中点，BAD=20BAD=20，则，则C=C=_. .3.ABC3.ABC中，中，AB=ACAB=AC，A=CA=C，则，则B= B= _4.4.在在RtABCRtABC中，如果中，如果BCA=90BCA=90，A= 30A= 30，AB=4AB=4，则，则BC=BC=_. .100100707060602 2
5、等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定【例例1 1】（20122012珠海中考）如图，在珠海中考）如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADAD是高，是高，AMAM是是ABCABC外角外角CAECAE的平分线的平分线. .（1 1）用尺规作图方法，作）用尺规作图方法，作ADCADC的平分线的平分线DNDN；（保留作图痕迹，；（保留作图痕迹，不写作法和证明）不写作法和证明）（2 2）设）设DNDN与与AMAM交于点交于点F F，判断，判断ADFADF的形状的形状. (. (只写结果只写结果) )【思路点拨思路点拨】(1)(1)尺规作角平分线尺规作角平分线, ,下结论下结论; ;
6、(2)(2)由由DAFDAF的度数和的度数和ADAD，AFAF的数量关系判断的数量关系判断. .【自主解答自主解答】（1 1）作出）作出ADCADC的平分线的平分线DNDN，如图；，如图；（2 2）ADFADF是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .【规律总结规律总结】等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定一个三角形中有两条边相等，这两条边所对的角也相等一个三角形中有两条边相等，这两条边所对的角也相等. .反过来反过来, ,一个三角形有两个角相等，这两个角对的边也相等，前者是性一个三角形有两个角相等，这两个角对的边也相等，前者是性质、后者是判定质、后者是判定【对点训练对点训练】 1.1.（
7、20122012江西中考）等腰三角形的顶角为江西中考）等腰三角形的顶角为8080，则它的底角，则它的底角是是( )( )（A A）2020 （B B）5050 （C C）6060 （D D）8080【解析解析】选选B.B.2.2.（20122012宁波中考）如图，宁波中考）如图，AEBDAEBD，C C是是BDBD上的点，且上的点，且AB=BCAB=BC，ACD=110ACD=110，则，则EAB=_EAB=_度度. .【解析解析】ACD=110ACD=110,ACB=70,ACB=70. .AB=BC,BAC=ACB=70AB=BC,BAC=ACB=70. .AEBD,EAC=ACD=110
8、AEBD,EAC=ACD=110,EAB=110,EAB=110-70-70=40=40. .答案：答案：40403.3.（20122012益阳中考）如图，已知益阳中考）如图，已知AEBCAEBC，AEAE平分平分DAC.DAC.求证：求证：AB=ACAB=AC【证明证明】AEAE平分平分DAC,1=2.DAC,1=2.又又AEBCAEBC，1=B,2=C,B=C,AB=AC1=B,2=C,B=C,AB=AC【技巧点拨技巧点拨】等腰三角形中常作的三种辅助线等腰三角形中常作的三种辅助线（1 1）作底边的高）作底边的高. .（2 2）作底边上的中线）作底边上的中线. .（3 3）作顶角的平分线）作
9、顶角的平分线. . 等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定【例例2 2】（8 8分）分）(2011(2011綦江中考綦江中考) )如图，如图，等边等边ABCABC中，中，AOAO是是BACBAC的角平分线，的角平分线，D D为为AOAO上一点，以上一点，以CDCD为一边且在为一边且在CDCD下方下方作等边作等边CDE,CDE,连接连接BE. BE. (1)(1)求证：求证：ACDBCEACDBCE； (2)(2)延长延长BEBE至至Q Q， P P为为BQBQ上一点，连接上一点，连接CPCP，CQCQ，使，使CP=CQ=5CP=CQ=5，若，若BC=8BC=8时，求时，求PQPQ的长的长
10、. .【规范解答规范解答】（1 1）ABCABC和和CDECDE均为等边三角形，均为等边三角形， AC=AC=_,CD=,CD=_，且，且ACB=DCE=ACB=DCE=_，2 2分分ACDACD_=_BCE=60BCE=60， ACD=ACD=_，ACDBCE. ACDBCE. 4 4分分BCBCCECE6060DCBDCBDCBDCBBCEBCE（2 2）作）作CHBQCHBQ交交BQBQ于于H,H,则则PQ=PQ=_HQ.HQ.5 5分分在在RtBHCRtBHC中，由已知和（中，由已知和（1 1）得）得CBH=CAO=CBH=CAO=_，CH=CH=_. . 6 6分分在在RtCHQRt
11、CHQ中，中， 7 7分分PQ=PQ=_ HQ= HQ=_. . 8 8分分2 230304 42 26 6【自主归纳自主归纳】等边三角形的性质等边三角形的性质1.1.等边三角形具有等边三角形具有_三角形的所有性质，如三线合一三角形的所有性质，如三线合一. .2.2.等边三角形的各边等边三角形的各边_，各角都为，各角都为_. .3.3.当出现多个等边三角形时，一般会存在全等三角形当出现多个等边三角形时，一般会存在全等三角形. .等腰等腰相等相等6060【对点训练对点训练】4.4.（20122012泉州中考）如图泉州中考）如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC,BC=6,ADBC,AB=AC
12、,BC=6,ADBC于于D,D,则则BD=_.BD=_.【解析解析】AB=AC,ADBC,BD=CD= AB=AC,ADBC,BD=CD= 6=3.6=3.答案答案: :3 35.5.（20112011茂名中考）如图，已知茂名中考）如图，已知ABCABC是等边三角形，点是等边三角形，点B B，C C，D D，E E在同一直线上，且在同一直线上，且CG=CDCG=CD，DF=DEDF=DE，则，则E=_E=_度度【解析解析】DF=DEDF=DE，E=DFE= GDCE=DFE= GDC，同理，同理，GDC= ACB,E= ACB.GDC= ACB,E= ACB.又又ABCABC是等边三角形，是等
13、边三角形，ACB=60ACB=60，E=15E=15. .答案：答案：1515【技巧点拨技巧点拨】等边三角形判定的三种思路等边三角形判定的三种思路1.1.证三角形的三条边相等证三角形的三条边相等. .2.2.证三角形的三个角相等证三角形的三个角相等. .3.3.先证三角形的一个角为先证三角形的一个角为6060，再证有两条边相等，再证有两条边相等. . 含含3030角的直角三角形角的直角三角形【例例3 3】（20112011莱芜中考）如图，在莱芜中考）如图，在ABCABC中，中，AB=BCAB=BC，B=120B=120，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ACAC于点于点D.D.若若AC=6
14、cmAC=6 cm，则则AD=_cm.AD=_cm.【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】连接连接BDBD，AB=BCAB=BC，ABC=120ABC=120, ,A=C= A=C= （180180-ABC-ABC）=30=30. .ABAB的垂直平分线是的垂直平分线是DEDE，AD=BDAD=BD，A=DBA=30A=DBA=30,DBC=90,DBC=90,DC=2BD=2AD.AC=6,DC=2BD=2AD.AC=6，AD= AD= 6=2.6=2.答案答案: :2 2【规律总结规律总结】含含3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质条件：条件：(1)(1)在直角三角形中在直角三
15、角形中. .(2)(2)存在存在3030的角的角. .结论：结论：3030角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半. .【对点训练对点训练】6.6.（20122012梅州中考）如图，梅州中考）如图，AOE=BOE=15AOE=BOE=15，EFOBEFOB，ECOBECOB，若，若EC=1EC=1，则，则EF=_.EF=_.【解析解析】AOE=BOE=15AOE=BOE=15，EFOBEFOB，FEO=15FEO=15,AFE=30,AFE=30. . ECOB ECOB， EC=1EC=1，则点，则点E E到到OAOA的距离也为的距离也为1 1，EF=2.EF=2.答案：答案
16、：2 27.7.（20102010河源中考）河源中考）RtABCRtABC中，中，C=90C=90，A=60A=60，AC=2AC=2按以下步骤作图：按以下步骤作图：以以A A为圆心，以小于为圆心，以小于ACAC长为半径画弧，分别长为半径画弧，分别交交ACAC，ABAB于点于点E E，D D；分别以分别以D D，E E为圆心，以大于为圆心，以大于 DEDE长为半径长为半径画弧，两弧相交于点画弧，两弧相交于点P;P;连接连接APAP交交BCBC于点于点F F那么：（那么：（1 1）ABAB的长等于的长等于_（直接填写答案）；（直接填写答案）；（2 2）CAF=_CAF=_度（直接填写答案）度（直
17、接填写答案）【解析解析】（1 1）C=90C=90，A=60A=60，AC=2AC=2，AB=2AC=4AB=2AC=4（2 2）根据作图，得）根据作图，得AD=AEAD=AE，PD=PEPD=PE，AP=AP=APAP，则，则ADPAEPADPAEP，DAF=CAFDAF=CAF，又，又BAC=60BAC=60，CAF=30CAF=30答案：答案：（1 1）4 4（2 2）3030【特别提醒特别提醒】含含3030角的直角三角形的性质需要注意以下几点角的直角三角形的性质需要注意以下几点1.1.三边的比为三边的比为1 2.1 2.2.2.三个角的比为三个角的比为123.123.3.3.在等边三角形中常含有此关系式在等边三角形中常含有此关系式. .
