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1、第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法第第5章章时域离散系统的基本网络结构与时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法状态变量分析法5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构5.3 无限长脉冲响应基本网络结构5.4 有限长脉冲响应基本网络结构5.5 状态变量分析法1第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.1引言引言一一般般时时域域离离散散系系统统或或网网络络可可以以用用差差分分方方程程、单单位位脉脉冲冲响响应应以以及及系系统统函函数数进进行行描描述述。如如果果系系统统输输入入输输
2、出出服从服从N阶差分方程阶差分方程其系统函数其系统函数H(z)为为2第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：3第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.2用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构观观察察(5.1.1)式式，数数字字信信号号处处理理中中有有三三种种基基本本算算法法，即即乘乘法法、加加法法和和单单位位延延迟迟，三三种种基基本本运算用流图表示如图运算用流图表示如图5.2.1所示。所示。
3、4第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.2.1三种基本运算的流图表示三种基本运算的流图表示5第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法和和每每个个节节点点连连接接的的有有输输入入支支路路和和输输出出支支路路，节节点点变变量量等等于于所有输入支路的输出之和。在图所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中，中，(5.2.1) 图图5.2.2信号流图信号流图(a)基本信号流图；基本信号流图；(b)非基本信号流图非基本信号流图6第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状
4、态变量分析法结构与状态变量分析法不不同同的的信信号号流流图图代代表表不不同同的的运运算算方方法法，而而对对于于同同一一个个系系统统函函数数可可以以有有很很多多种种信信号号流流图图相相对对应应。从从基基本本运运算算考考虑虑，满满足足以以下下条条件件，称称为为基基本本信信号号流流图图(PrimitiveSignalFlowGraghs)。(1)信信号号流流图图中中所所有有支支路路都都是是基基本本的的，即即支支路路增增益益是常数或者是是常数或者是z-1；(2)流图环路中必须存在延时支路；流图环路中必须存在延时支路；(3)节点和支路的数目是有限的。节点和支路的数目是有限的。7第第5章章时域离散系统的基
5、本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.2.1求图求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数信号流图决定的系统函数H(z)。解解:将将5.2.1式进行式进行z变换，得到变换，得到经过联立求解得到：经过联立求解得到：8第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法FIR网网络络中中一一般般不不存存在在输输出出对对输输入入的的反反馈馈支支路路，因此因此差分方程差分方程用下式描述：用下式描述：其单位脉冲响应其单位脉冲响应h(n)是有限长的是有限长的，按照，按照(5.2.2)式，式，h(n)表示为表示为其它其它n9第第
6、5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法另另一一类类:IIR网网络络结结构构存存在在输输出出对对输输入入的的反反馈馈支支路路，也也就就是是说说，信信号号流流图图中中存存在在环环路路,其其单单位位脉脉冲冲响响应应是是无无限长的限长的。例如一个简单的一阶。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为网络差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)其其单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)=anu(n)。这这两两类类不不同同的的网网络络结构各有不同的特点，下面分类叙述。结构各有不同的特点，下面分类叙述。10第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结
7、构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.3无限长脉冲响应基本网络结构无限长脉冲响应基本网络结构1.直接型直接型对对N阶差分方程重写如下：阶差分方程重写如下：取取M=N=2IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，网络结构存在输出对输入的反馈支路，其单位脉冲响应是无限长的其单位脉冲响应是无限长的基本网络结构：直接型、级联型、并联型基本网络结构：直接型、级联型、并联型11第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.3.1IIR网络直接型结构网络直接型结构12第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态
8、变量分析法例例5.3.1IIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)为为画出该滤波器的直接型结构。画出该滤波器的直接型结构。解解由由H(z)写出差分方程如下：写出差分方程如下：13第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.3.2例例5.3.1图图14第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法2.级联型级联型在在(5.1.2)式式表表示示的的系系统统函函数数H(z)中中，公公子子分分母母均均为为多多项项式式，且且多多项项式式的的系系数数一一般般为为实实数数，现现将将分分子子分
9、分母母多项式分别进行因式分解，得到多项式分别进行因式分解，得到(5.3.1)形成一个二阶网络形成一个二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：如下式：(5.3.2)15第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法式式中中，0j、1j、2j、1j和和2j均均为为实实数数。这这H(z)就就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z)(5.3.3)式式中中Hi(z)表表示示一一个个一一阶阶或或二二阶阶的的数数字字网网络络的的系系统统函函数数，每每个个Hi(z)的的
10、网网络络结结构构均均采采用用前前面面介介绍绍的的直直接接型型网络结构，如图网络结构，如图5.3.3所示。所示。16第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构直接型二阶网络结构17第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.3.2设系统函数设系统函数H(z)如下式：如下式：试画出其级联型网络结构。试画出其级联型网络结构。解解将将H(z)分子分母进行因式分解，
11、得到分子分母进行因式分解，得到图图5.3.4例例5.3.2图图18第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法式式中中，Hi(z)通通常常为为一一阶阶网网络络和和二二阶阶网网络络，网网络络系系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为统均为实数。二阶网络的系统函数一般为(5.3.4) 式中，式中，0i、1i、1i和和2i都是实数。如果都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出式，其输出Y(z)表示为表示为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)3.并联型并联型如如果果将将级级联联形
12、形式式的的H(z)，展展开开部部分分分分式式形形式式，得得到到IIR并联型结构。并联型结构。19第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.3.3画出例题画出例题5.3.2中的中的H(z)的并联型结构。的并联型结构。解解将例将例5.3.2中中H(z)展成部分分式形式：展成部分分式形式：将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图构如图5.3.5所示。所示。图图5.3.5例例5.3.3图图20第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.4有
13、限长脉冲响应基本网络结构有限长脉冲响应基本网络结构FIR网网络络结结构构特特点点是是没没有有反反馈馈支支路路，即即没没有有环环路路，其其单单位位脉脉冲冲响响应应是是有有限限长长的的。设设单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)长长度度为为N，其系统函数，其系统函数H(z)和差分方程为和差分方程为基本网络结构：直接型、级联型、频率采样结构基本网络结构：直接型、级联型、频率采样结构21第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法1.直接型直接型按按照照H(z)或或者者差差分分方方程程直直接接画画出出结结构构图图如如图图5.4.1所所示。这种结构称为直接型网
14、络结构或者称为卷积型结构。示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。图图5.4.1FIR直接型网络结构直接型网络结构22第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法2.级联型级联型将将H(z)进进行行因因式式分分解解，并并将将共共轭轭成成对对的的零零点点放放在在一一起起，形形成成一一个个系系数数为为实实数数的的二二阶阶形形式式，这这样样级级联联型型网网络络结结构构就就是是由由一一阶阶或或二二阶阶因因子子构构成成的的级级联联结结构构，其其中中每一个因式都用直接型实现每一个因式都用直接型实现。例例5.4.1设设FIR网络系统函数网络系统函数
15、H(z)如下式：如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出画出H(z)的直接型结构和级联型结构。的直接型结构和级联型结构。23第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法解：将解：将H(z)进行因式分解，得到：进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。所示。图图5.4.2例例5.4.1图图24第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法3.频率采样结构频
16、率采样结构频频率率域域等等间间隔隔采采样样，相相应应的的时时域域信信号号会会以以采采样样点点数数为为周周期期进进行行周周期期性性延延拓拓，如如果果在在频频率率域域采采样样点点数数N大大于于等等于于原原序序列列的的长长度度M，则则不不会会引引起起信信号号失失真真，此此时时原序列的原序列的z变换变换H(z)与频域采样值与频域采样值H(k)满足下面关系式：满足下面关系式：设设FIR滤滤皮皮器器单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)长长度度为为M，系系统统函函数数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中式中H(k)用下式表示：用下式表示：(5.4.1)25第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本
17、网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法要要求求频频率率域域采采样样点点数数NM。(5.4.1)式式提提供供了了一一种种称称为频率采样的为频率采样的FIR网络结构。将网络结构。将(5.4.1)式写成下式：式写成下式：(5.4.2)式中式中Hc(z)是一个梳状滤皮网络是一个梳状滤皮网络(参考第八章参考第八章)，其零点为，其零点为26第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.4.3FIR滤波器频率采样结构滤波器频率采样结构27第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法(1)在在频频率
18、率采采样样点点k，H(ejk)=H(k)，只只要要调调整整H(k)(即即一一阶阶网网络络Hk(z)中中乘乘法法器器的的系系数数H(k)，就就可可以以有效地调整频响特性，使实际调整方便。有效地调整频响特性，使实际调整方便。(2)只只要要h(n)长长度度N相相同同，对对于于任任何何频频响响形形状状，其其梳梳状状滤滤波波器器部部分分和和N一一阶阶网网络络部部分分结结构构完完全全相相同同，只只是是各各支支路路增增益益H(k)不不同同。这这样样，相相同同部部分分便便于于标标准准化化、模模块化。块化。28第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法然而，上
19、述频率采样结构亦有两个缺点：然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来个零极点对消来保证的。保证的。(2)结结构构中中，H(k)和和W-kN一一般般为为复复数数，要要求求乘乘法法器器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首首称称将将单单位位圆圆上上的的零零极极点点向向单单位位圆圆内内收收缩缩一一点点，收收缩到半径为缩到半径为r的圆上，取的圆上，取r1且且r1。此时。此时H(z)为为(5.4.3)
20、29第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法另另外外，由由DFT的的共共轭轭对对称称性性知知道道，如如果果h(n)是是实实数数序序列列，则则其其离离散散傅傅里里叶叶变变换换H(k)关关于于N/2点点共共轭轭对对称称，即即H(k)=H*(N-k)。而且。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将，我们将Hk(z)和和HN-k(z)合并为一个二阶网络合并为一个二阶网络，并记为，并记为Hk(z)，则，则30第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法显显然然，二二阶阶网网络络Hk(z)的的系系数数都都
21、为为实实数数，其其结结构构如如图图5.4.4(a)所示。当所示。当N为偶数时，为偶数时，h(z)可表示为可表示为式中式中(5.4.4)31第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法式式中中，H(0)和和H(N/2)为为实实数数。(5.4.4)式式对对应应的的频频率率采采样样修修正正结结构构由由N/2-1个个二二阶阶网网络络和和两两个个一一阶阶网网络络并并联联构成，如图构成，如图5.4.4(b)所示。所示。图图5.4.4频率采样修正结构频率采样修正结构32第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分
22、析法当当N=奇奇数数时时，只只有有一一个个采采样样值值H(0)为为实实数数，H(z)可表示为可表示为(5.4.5)33第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.5状态变量分析法状态变量分析法1.状态方程和输出方程状态方程和输出方程状状态态变变量量分分析析法法有有两两个个基基本本方方程程，即即状状态态方方程程和和输输出出方方程程。状状态态方方程程把把系系统统内内部部一一些些称称为为状状态态变变量量的的节节点点变变量量和和输输入入联联系系起起来来；而而输输出出方方程程则则把把输输出出信信号号和和那那些些状状态态变变量量联联系系起起来来。一一般
23、般状状态态变变量量选选在在基基本本信信号流图中单位延迟支路输出节点处。号流图中单位延迟支路输出节点处。34第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.5.1二阶网络基本信号流图二阶网络基本信号流图35第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.5.1是是二二阶阶网网络络基基本本信信号号流流图图，有有两两个个延延时时支支路路，因因此此建建立立两两个个状状态态变变量量w1(n)和和w2(n)。下下面面建建立立流流图图中中其它节点其它节点w2和输出和输出y(n)与状态变量之间的关系。与
24、状态变量之间的关系。(5.5.1)(5.5.2)(5.5.3)将以上将以上w1(n+1)、w2(n+1)和和y(n)写成矩阵形式：写成矩阵形式：(5.5.4)36第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.5.2示示出出更更为为一一般般的的二二阶阶网网络络基基本本信信号号流流图图，两两个个延延时时支支路路输输出出节节点点定定为为状状态态变变量量w1(n)和和w2(n)。按按照信号流图写出以下方程：照信号流图写出以下方程：37第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.5.2一般二
25、阶网络基本信号流图一般二阶网络基本信号流图38第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法39第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法将以上将以上w1(n+1)、w2(n+1)和和y(n)写成矩阵形式：写成矩阵形式：(5.5.6)(5.5.7)再用矩阵符号表示：再用矩阵符号表示：(5.5.8)(5.5.9)40第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法式式(5.5.8)和和式式(5.5.9)分分别别称称为为图图5.5.2二二阶阶网网络络的的
26、状状态方程和输出方程。态方程和输出方程。如如果果系系统统中中有有N个个单单位位延延时时支支路路，M个个输输入入信信号号：x1(n),x2(n),xM(n)，L个个输输出出信信号号y1(n),y2(n),，yL(n)，则状态方程和输出方程分别为，则状态方程和输出方程分别为(5.5.10)(5.5.11) 式中41第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图图5.5.3状态变量分析法状态变量分析法42第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.5.1建立图建立图5.5.4流图的状态方程和输
27、出方程。流图的状态方程和输出方程。图图5.5.4例例5.5.1图图 信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状态变量信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状态变量w1(n)和和w2(n)(如图如图5.5.4所示所示)，然后列出延时支路输入端节，然后列出延时支路输入端节点方程如下：点方程如下： 43第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法将上式写成矩阵方程：将上式写成矩阵方程：(5.5.12)输出信号输出信号y(n)的方程推导如下：的方程推导如下：y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)将上面将上面w1(n+1)的方程代入上
28、式：的方程代入上式：y(n)=a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)44第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法y(n)=a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0x(n)+b1w1(n)+b2w2(n)=(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0x(n)45第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.5.2直直接接写写出出图图5.5.4信信
29、号号流流图图的的A、B、C和和D参数矩阵。参数矩阵。解解要注意：从要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路，到输出节点可能不止一条通路，要把所有通路增益加起来，即要把所有通路增益加起来，即d表表示示从从输输入入节节点点到到输输出出节节点点的的通通路路增增益益，这这里里d=d0，最后得到四个参数矩阵为，最后得到四个参数矩阵为46第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.5.3已知系统函数已知系统函数H(z)为为(1)画出画出H(z)的级联型网络结构；的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。根据已画出的流图
30、写出其状态方程和输出方程。图图5.5.5例例5.5.3图图47第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法在在延延时时支支路路输输出出端端建建立立状状态态变变量量w1(n)、w2(n)和和w3(n)(如图如图5.5.5所示所示)。写出状态变量。写出状态变量w1(n+1)=-0.5w1(n)+2x(n)w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)=-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n)w3(n+1)=w2(n)将以上三个方程写成矩阵方程：将以上三个方程写成矩阵方程：48第第5章章时
31、域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法输出方程为输出方程为y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面得到的将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)将将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。写成矩阵方程，即是要求的输出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)w3(n)T+2x(n)49第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.5.
32、4已知已知FIR滤波网络系统函数滤波网络系统函数H(z)为为解解:画出直接型结构如图画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路输出所示，在延时支路输出端建立状态变量端建立状态变量w1(n)、w2(n)和和w3(n)。根据参数矩阵中。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：图图5.5.6例例5.5.4图图50第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法y(n)=a1a2a3w1(n)w2(n)w3(n)T+a0x(n)51第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构
33、与状态变量分析法结构与状态变量分析法2.由由状态变量分析法状态变量分析法转换到转换到输入输出分析法输入输出分析法(状态方程状态方程+输出方程）输出方程）(差分方程、系统函数、差分方程、系统函数、单位脉冲响应单位脉冲响应)把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下：把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n)(5.5.14)y(n)=CW(n)+dx(n)(5.5.15)将上面两式进行将上面两式进行Z变换变换zW(z)=AW(z)+BX(z)(5.5.16)Y(z)=CW(z)+dX(z)(5.5.17)52第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网
34、络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法式中式中W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)TWi(z)=ZTwi(n)X(z)=ZTx(n)Y(z)=ZTy(n)由由(5.5.16)式得到：式得到：W(z)=zI-A-1BX(z)(5.5.18)将上式代入将上式代入(5.5.17)式，得到：式，得到：(5.5.19)53第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.5.5已知二阶网络的四个参数矩阵如下：已知二阶网络的四个参数矩阵如下：求该网络的系统函数。求该网络的系统函数。解：解：54第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络
35、结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法系系 统统 频频 响响 决决 定定 于于 H(z)的的 零零 、 极极 点点 分分 布布 。 设设H(z)=B(z)/A(z)，其其极极点点为为A(z)=0的的解解。由由(5.5.19)式式得得到：到：A(z)多多项项式式称称为为A矩矩阵阵的的特特征征多多项项式式，其其根根为为A矩矩阵阵的的特特征征值值，因因此此A矩矩阵阵的的特特征征值值就就是是H(z)的的极极点点。如如果果A矩矩阵阵全全部部特特征征值值的的模模均均小小于于1，系系统统因因果果稳稳定定，否否则系统因果不稳定。则系统因果不稳定。(5.5.20) 55第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散
36、系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法z2-3z+2=0特征值特征值1=1,2=2极点极点z1=，z2=2将状态方程重写如下：将状态方程重写如下：W(n+1)=AW(n)+Bx(n)56第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法方方程程式式左左端端是是n+1时时刻刻的的状状态态变变量量矢矢量量，右右端端是是n时时刻刻的的状状态态变变量量矢矢量量和和输输入入x(n)的的线线性性组组合合。由由起起始始值值W(n0)，用递推法求出，用递推法求出W(n)的时域解：的时域解：n=n0时，时，W(n0+1)=AW(n0)+Bx(n0)n=
37、n0+1时，时，W(n0+2)=AW(n0+1)+Bx(n0+1)=AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0+1)=A2W(n0)+ABx(n0)+Bx(n0+1)n=n0+k时时W(n0+k+1)=Ak+1W(n0)+AkBx(n0)+Ak-1Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)57第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法令令n=n0+k+1，则，则将n换成n，则(5.5.21) 为求单位脉冲响应，将(5.5.15)式中的x(n)用(n)代替，W(n)用(5.5.21)式中的零状态响应代替，且令n0=0，此时y(n)
38、=h(n)，得到：58第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法(5.5.22) (5.5.23)59第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.5.6求求图图5.5.7所所示示的的N阶阶FIR格格形形网网络络的的系系统统函数以及单位脉冲响应。函数以及单位脉冲响应。图5.5.7 例5.5.6图 60第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法解解首首先先建建立立状状态态变变量量w1(n),w2(n),wN(n)，如如图图所示。这种网络没
39、有反馈支路，直接写出各参数矩阵：所示。这种网络没有反馈支路，直接写出各参数矩阵：设N=2，则有61第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法将上式进行反变换，得单位取样响应：将上式进行反变换，得单位取样响应：h(n)=(n)+k1(1+k2)(n-1)+k2(n-2)如如果果用用(5.5.22)式式求求h(n)，也也得得到到同同样样的的结结果果，但但要要求求A矩矩阵阵的的n-1次次幂幂。关关于于求求矩矩阵阵的的幂幂，请请参参考考本本书书附录附录B。62第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析
40、法3.线性变换线性变换下下面面研研究究在在不不改改变变系系统统传传输输函函数数的的条条件件下下，如如何何对对状状态态变变量量进进行行线线性性变变换换。设设T是是NN非非奇奇异异矩矩阵阵。系系统中有统中有N个延时支路。令个延时支路。令G(k)=T-1W(k)(5.5.25)G(k+1)=T-1W(k+1)=T-1AW(k)+BX(k)=T-1ATG(k)+T-1BX(k)(5.5.26)Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG(k)+DX(k)(5.5.27)63第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法按按照照(5.5.26)式式和和(5.5
41、.27)式式，原原来来的的状状态态矢矢量量W(k)变变成成新新的的状状态态矢矢量量G(k)，状状态态参参数数矩矩阵阵为为A、B、C和和D，即，即A=T-1ATB=T-1BC=CTD=D经过经过(5.5.28)式线性变换后的状态方程和输出方程为式线性变换后的状态方程和输出方程为G(k+1)=AG(k)+BX(k)(5.5.29)Y(k)=CG(k)+DX(k)(5.5.30)(5.5.28) 64第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法H(z)=CzI-A-1B+d=CTzI-T-1AT-1T-1B+d=CTT-1(zI-A)T-1T-1B+
42、d=CTT-1(zI-A)-1TT-1B+d=C(zI-A)-1B+d=H(z)65第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法例例5.5.7设设系系统统函函数数H(z)=z-2，画画出出信信号号流流图图如如图图5.5.8(a)所所示示。要要求求在在保保证证H(z)不不变变的的情情况况下下，对对状状态态变量进行线性变换。设变量进行线性变换。设T矩阵如下式所示：矩阵如下式所示： 解 根据图5.5.8(a)写出z-2的参数矩阵66第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法按照(5.5.28)式，先求出T-1：67第第5章章时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.5.8 例5.5.7图 68
