博弈论原理与方法分析课件

《博弈论原理与方法分析课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《博弈论原理与方法分析课件（117页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、博弈论原理与方法博弈论原理与方法关于均衡的分析绪论绪论-博弈论简介博弈论简介博弈论的提法可能太过于学术化，容易让人们 退避三舍。其实它有一个非常通俗的名字-游 戏理论（博弈论的英文名字叫做“Game Theory ，如果直译，就是游戏理论）。博弈论在我 国还有一个名字，叫对策论。这些名字都很好 理解，博弈字面意思就是赌博、下棋，赌博和 下棋当然是游戏了，赌博和下棋的时候常常要 千方百计地应付对手，自然是要讲究对策了。绪论绪论-博弈论简介博弈论简介博弈论主要研究人们的策略的相互依赖行为。博弈论认为，人是理性的，即人人都会在一定的约束条件下最大化自身的利益。非合作博弈：当事人不能达成一个有约束力的

2、协议。合作博弈绪论绪论-博弈论简介博弈论简介 在博弈理论中，虽然每方都要最大化自己的利益，但它与优化理论有所区别：l优化理论可看成单人决策，追求的是目标函数的优化优化。 影响结果的多个变量控制在决策者自己手中。 企业管理成本最小化问题、运输问题、车间调度l博弈理论可看成多人决策，追求的是策略组合的均衡均衡。 影响结果的变量是由多个博弈者操纵。 社会经济系统中的大量问题，竞价问题、企业竞争决策绪论绪论-博弈论的历史沿革博弈论的历史沿革l犹太法典(Talmud)中一个男人如何将死后的财 产发给三个妻子的难题； 在一个案例中，一个男人有三个老婆，丈夫在给她们各自的婚姻契约中规定一旦自己死亡她们分别接

3、受100货币、200货币300货币。这部法典明确地给出了不同的建议：如果男人留下的遗产只有100货币,将其平分；如果遗产为200货币，将其按(50,75,75) 的比例划分；遗产为300货币时按(50,100,150)的比例划分。第一种情况容易理解，而如何理解后两种划分？这一问题困挠了研究犹太法典的学者达二几千年之久。直到1985年，有人提出：犹太法典的这一建议是完全符合合作博弈理论的，每一方案都符合特定博弈的要旨所在。l中国古代田忌赛马；lCournot的寡头竞争模型(1838 年财富理论的数学研究)绪论绪论-博弈论的历史沿革博弈论的历史沿革l博弈理论开始于1944年由冯诺依曼（Von Ne

4、umann）和摩根斯坦恩（Oskar Morgenstern）合作的博弈论和经济行为（The Theory of Games and Economic Behaviour）一书由Princeton University Press出版。l20世纪50年代以来，纳什（Nash)、泽尔腾(Selten) 、海萨尼(Harsanyi)等人对非合作博弈理论的研究使博弈论最终成熟并进入实用。绪论绪论-博弈论的历史沿革博弈论的历史沿革lJohn Nash: 1950年和1951年纳什的两篇关于非合作博弈论的重要论文，彻底改变了人们对竞争和市场的看法。他证明了非合作博弈及其均衡解，并证明了均衡解的存在性，即

5、著名的纳什均衡。从而揭示了博弈均衡与经济均衡的内在联系。因为在现实世界中，非合作博弈要比合作博弈 普遍得多。绪论绪论-博弈论的历史沿革博弈论的历史沿革l泽尔腾（1965）将纳什均衡的概念引入了动态分析，提出了“精炼纳什均衡”概念；以及进一步刻画不完全信息动态博弈的“完备贝叶斯纳什均衡”。l而海萨尼则发展了刻画不完全信息静态博弈的“贝叶斯纳什均衡”（19671968）。l总之，他俩进一步将纳什均衡动态化，加入了接近实际的不完全信息条件。他们的工作为后 人继续发展博弈论，提供了基本思路和模型绪论绪论-博弈论的历史沿革博弈论的历史沿革l博弈论根据其所采用的假设不同而分为合作博弈理论和非合作博弈理论。

6、两者的区别在于参与人在博弈过程中是否能够达成一个具有约束力的协议(binding agreement) 。倘若不能，则称非合作博弈Non-cooperative game。l合作博弈强调的是集体主义，团体理性Collective Rationality，是效率、公平、公正；绪论绪论-博弈论的历史沿革博弈论的历史沿革l而非合作博弈则主要研究人们在利益相互影响的局势中如何选择策略使得自己的收益最大，强调个人理性、个人最优决策，其结果是有时有效率，有时则不然。目前经济学家谈到博弈论主要指的是非合作博弈，也就是各方在给定的约束条件下如何追求各自利益最大化，最后达到力量均衡。绪论绪论-博弈论的历史沿革博

7、弈论的历史沿革l博弈论相关诺贝尔奖 1972年John R. Hicks and Kenneth J. Arrow经济均衡原理和社会福利原理。 1990年Harry N. Markowitz, Merton M. Miller and William F. Sharpe金融经济学原理。 1994年John Harsanyi, John F. Nash and Reinhard Selten非合作博弈中均衡的研究 1996年James A. Mirrless and William Vickery不对称信息条件下激励机制问题绪论绪论-博弈论的历史沿革博弈论的历史沿革l2001年Jeorge Ak

8、erlof、Michael Spence and Joseph Stiglitz非对称信息市场分析l2002年丹尼尔卡尼曼和弗农史密斯心理和实验经济学方面l2005年Thomas Schelling and Robert Aumann合作博弈方面博弈论在构成了微观经济学的基础性方法。绪论绪论-什么是博弈论什么是博弈论博弈论的定义：l博弈论是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论，是研究竞争的逻辑 和规律的数学分支。简单地说，博弈论是研究决策主体在给定信息结构下如何决策以最大化自己的效用，以及不同决策主体之间决策的均衡。绪论绪论-什么是博弈论什么是博弈论 从博弈特性角度定义l“博

9、弈论是研究决策主体的行为发生直接相互作用时候的决策以及这种决策的均衡问题的理论与方法”。也就是说，当一个主体，好比说 一个人或一个企业的选择受到其他人、其他企业选择的影响，而且反过来影响到其他人、其他企业选择时的决策问题和均衡问题。所以在 这个意义上说，博弃论又称为“对策论”.(张维迎)绪论绪论-什么是博弈论什么是博弈论 从博弈过程角度定义：l博弈是指一些个人、团队或其他组织，面对一定的环境条件，在一定的约束条件下，依靠所掌握的信息，同时或先后、一次或多次、从各自可能的行为或策略集合中进行选择并实施，各自从中取得相应结果或收益的过程。绪论绪论-什么是博弈论什么是博弈论What is a gam

10、e?lA Game has the following four things: The players: Who is involved? Defining society/system. The rules: What can they do? Defining interactions possible in the society. The outcomes: What is the result of the interaction? The payoffs: What is the payoff/profit of each possible outcomes?绪论绪论-什么是博弈

11、论什么是博弈论l示例: 猜硬币游戏 The players: 2 players, 1; 2. The rules: Both players toss their respective coins simultaneously. Outcome: Coins match (both heads up or tails up) or dont match. Payoff: If coins match, player 1 pays $1 to player 2 and if they dont match then player 2 pays $1 to player 1.绪论绪论-什么是博弈

12、论什么是博弈论lThere are at least two players. A player may be an individual, a company, a nation, a biological species, nature, etc.lEach player has a number of possible strategies, that is courses of action they can follow.lThe strategies the players follow determine the outcome of the game.lAssociated w

13、ith each outcome is a payoff （支付）to each player i. e. the value of the outcome to each player.l示例：囚徒困境(Prisoners Dilemma)l 如果都不坦白，每人判1年l 如果都坦白，每人判8年l 如果一人坦白，一人不坦白，则坦白的人释放、不坦白的人判9年。绪论绪论-什么是博弈论什么是博弈论绪论绪论-什么是博弈论什么是博弈论l一场博弈包括 参与人( players) (例如囚犯A和B)； 每个参与人的一组策略 (例如“坦白”和”不坦白”)； 支付(payoffs):参与人在所选策略(策略组合,

14、 the strategy profile)上的效用 例如如果A坦白，而B不坦白，A得0，B得-9绪论绪论-什么是博弈论什么是博弈论l得益矩阵得益矩阵 坦白坦白 不坦白不坦白坦白坦白 不坦白不坦白行参与者列参与者每位参与者得策略行参与者支付列参与者支付针对每位参与者、每个可能结果的支付绪论绪论-几个典型模型几个典型模型l囚徒困境 描述如前，分析： 对囚徒1来说，假设囚徒2选择不坦白，则对囚徒1来说，不坦白的得益为-1，坦白的得益为0，他应选择坦白；假设囚徒2选择坦白，则对囚徒1来说，不坦白的得益为-9，坦白的得益为-8，他还是应选择坦白。坦白是囚徒1的一个占优的“上策”(Dominant St

15、rategy)。同样，囚徒2的“上策”也应是坦白。最终结果两方坦白。 但对两个囚徒来说，最佳结果应该均为不坦白，既没有实现两人总体的最大利益，也没有真正实现自身个体的最大利益。坦白不坦白 坦白 不坦白绪论绪论-几个典型模型几个典型模型l寡头竞价模型 高价 低价高价低价分析：假设寡头2采用高价策略，那么寡头1采用高价策略得益80，采用低价策略得益130，显然它应采用低价策略，假设寡头2采用低价策略，那么寡头1采用高价策略得益20，采用低价策略得益60，它也应采用低价策略。用同样方法可得寡头2也应采用低价策略。低价-低价对双方不是理想的结果，但因为双方均无法信任，所以均坚持采用低价策略。绪论绪论-

16、几个典型模型几个典型模型l猜硬币游戏正面反面 正面 反面猜方盖方分析：在本博弈中，双方的利益是严格对立的，取胜的关键是不能让另一方猜到自己的策略而同时自己又要尽可能猜出对方的策略。在一次博弈中结果取决于机会，在多次重复中，如果双方决策都正确，则我们可求得平均的双方收益。彼此得益相同。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l参与人players 又称“局中人”或”博弈方”，是指博弈中独立决策、独立承担后果、以自身利益最大化来选择行动的决策主体(可以是个人、也可以是团队，如厂商、政府、国家)。 每个参与人必须有可供选择的行动和一个很好定义的偏好函数。不做决策的被动主体只能被当作环境参数。博弈主体的完全

17、理性(Perfect Rationality)和有限理性，个体理性和集体理性。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l虚拟参与人pseudo-player 为了分析方便，自然nature被当作虚拟参与人。 自然代表决定外生随机变量的概率分布的机制。比如房地产开发中市场需求的大小。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l战略strategies参与人在给定信息集的情况下的行动规则，它规定参与人在什么时候选择什么行动。战略与行动：战略是行动的规则而不是行动本身。在静态博弈中，战略和行动是相同的。战略必须是完备的，要给出参与人在每一种可想象得到的情况下的行动选择。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l行动Ac

18、tion or Moves 指参与人所有可能的策略或行动的集合，如消费效用最大化决策中的各种商品的购买量。根据该集合是有限的还是无限的，可分为有限博弈和无限博弈。参与人在博弈的某个时点的决策变量。坦白,抵赖N个参与人的行动的有序集称为行动组合。例如：（坦白，抵赖）。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l行动的顺序(sequence order) 指参与人作出策略选择的先后顺序，决策的顺序。对于博弈的结果非常重要。有关静态和动态博弈的区分就是基于行动的顺序做出的。同样的行动集合，行动的顺序不同，每个参与人的最优决策就不同，博弈的结果也不同。尤其在不完全信息博弈中，后行动者依赖观察先行动者的行动来获

19、取信息。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l信息information 指参与人在博弈过程中所掌握的对选择策略有帮助的情报知识，特别是有关其他参与人(对手)的特征和行为的知识。即该参与人所掌握的其它参与人的、对其决策有影响的所有知识。完全信息：每为参与人对其他参与人的特征、策略空间、收益函数有准确的信息。完美信息：参与人完全清楚到他决策时，所有参与人的所有决策信息，或者说，了解博弈已进行过程的所有信息。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l共同知识common knowledge x is common knowledge iff : Each player knows x ; Each pla

20、yer knows that each player knows x; Each player knows that each player knows that each player knows that each player knows x; ad infinitum绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l支付payoff（效用utility） 又称”收益”。指参与人从博弈中作出决策选择后的所得和所失，它是所有参与人策略或行为的函数。 由于对博弈的分析主要是通过数量关系比较进行，因此对于研究的绝大多数博弈，本身都有数量关系的结果或可以量化为数量的结果，例如收入、利润、损失、个人效用和社会效

21、用。绪论绪论-博弈基本要素博弈基本要素l均衡Equilibrium 指参与人的最优策略或行动的组合。 博弈中的均衡，是一种稳定的博弈结果，但是不是说博弈的结果都能成为均衡。博弈的均衡是稳定的，是可以预测的。 均衡分析是博弈论的基本分析手段。 纳什均衡。 子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡绪论绪论-博弈模型的分类博弈模型的分类 博弈的划分可以从参与人行动的次序和参与人对其它参与人的特征、战略空间和支付的知识、信息，是否了解两个角度进行。把两个角度结合就得到了种博弈：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。 另外还存在重复博弈、演化博弈等其它类型。绪论绪论-博弈

22、模型的分类博弈模型的分类行动的顺序信息绪论绪论-主要思想主要思想l博弈论并不是经济学的一个分支，它只是一种方法，这也是为什么许多人将其看成数学的一个分支的缘故。博弈论已经在政治、经济、外交和社会学领域有了广泛的应用，它为解决不同实体的冲突和合作提供了一个宝贵的方法。l在对参与者行为研究这一点上，博弈论和经济学家的研究模式是完全一样的。经济学越来越转向人与人关系的研究，特别是人与人之间行为的相互影响和相互作用，人与人之间利益和冲突、竞争与合作，而这正是博弈论的研究对象。绪论绪论-主要思想主要思想l博弈论告诉人们，要学会理解他人都有自己的思想，每个个体都是理性的，所以必须了解竞争对手的思想。但博弈

23、论并不是疗法，并不是处方，它并不告诉你该付多少钱买东西，这是计算机或者字典的任务。l博弈论可以解释经济中许多低效率现象的根源，找出导致低效率的制度原因，从而帮助政府制订、修改政策完善交易制度和提高经济效率。完全信息静态博弈完全信息静态博弈l博弈方同时作出决策，且各博弈方对对方的得益完全了解，或者虽然决策有先后，但是没有人在决策之前看到了其它博弈方的决策行为，也没有交换信息，一旦决策做出后，就只能等待结果，对博弈的发展再也不能产生任何影响。l前章的例子都是静态博弈。完全信息静态博弈完全信息静态博弈l标准形式博弈(Normal Form Game)的描述 标准式博弈 G = S1,S2,Sn; u

24、1,u2,un. N = 参与人集合 (2个囚徒) Si = 参与人i的纯策略集合(囚徒1可坦白 (C) 或不 坦白(D). ui = 参与人 i的效用函数 (u1(C; c) = -8). 策略组合的集合: S1 S2 Sn = 在囚徒困境博弈中，一个策略组合为(C; c)。坦白不坦白 坦白 不坦白完全信息静态博弈完全信息静态博弈-占优策略均衡占优策略均衡 如果对于博弈方面临的每一个不同的策略组合，该博弈方都选择同一个策略，这个被选择的策略就叫该博弈方在博弈中的“占优策略”(Dominant Strategy)。也就是说无论其他博弈方如何选择自己的策略，该博弈方的最优策略选择是唯一的。 例如

25、囚徒困境中的“坦白”就是这种策略。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-占优策略均衡占优策略均衡 Notation: S-i: Pure strategy profile of players other than i ,s-i is the element of S-i. A pure strategy si belonging to Si is strictly (weakly) dominant iflui (si; s-i) (=) ui (si; s-i)lfor any si belonging to Si, & any s-i to S-i完全信息静态博弈完全信息静态博弈-占优策略均

26、衡占优策略均衡l占优策略均衡 不论其他参与人选择什么战略，它的最优战略是唯一的，这样的最优战略被称为（严格）占优战略。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-占优策略均衡占优策略均衡价格不变 价格增加价格不变价格增加参与人II参与人Il本博弈中，参与人II最好保持价格不变，因为不管参与人I的行动如何，它均能产生最好的结果。l这就被成为占优策略。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-占优策略均衡占优策略均衡l定义： 战略组合（s1*,s2*,sn*)是博弈G的一个占优 战略均衡，如果对所有的i，si*是参与人i的（严格）占优战略。 “占优策略均衡”是最基本的均衡概念之一，占优策略均衡分析是最基本的博弈分析

27、方法，对博弈结果作出最肯定的预测。 但“占优策略均衡”并不普遍存在，这正是博弈理论的价值所在。这是最强的一种均衡。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-均衡获取方法均衡获取方法1l方法一- 严格下策反复消去法 严格劣策略(Strictly Dominated Strategies)指，在博弈中，不论其它博弈方采取什么策略，在某一博弈方可能采取的策略中，对自己严格不利的策略。 方法步骤： 首先找出某博弈方的严格劣策略，将它剔除，重新构造一个不包括已剔除策略的新博弈；然后，继续剔除这个新博弈中某一博弈方的严格劣策略；重复进行这一过程，直到博弈方剩下唯一的策略组合为止，这一策略组合就是博弈的均衡解。完全

28、信息静态博弈完全信息静态博弈-均衡获取方法均衡获取方法1l严格下策反复消去法-示例 甲 乙 丙AB博弈方2博弈方1在本博弈中，不存在上策均衡。因为在博弈方1的A，B两种策略中，不存在始终占优的上策，在博弈方2的甲、乙、丙三种策略中，也不存在始终占优的上策。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-均衡获取方法均衡获取方法1l严格下策反复消去法-示例 对于博弈方2的三个策略，策略丙与策略乙之间存在严格优劣关系，因为不管博弈方1选择A还是B，博弈方2选择丙的得益都小于乙。因此策略丙是相对于策略乙的严格下策，可先将丙从博弈方策略空间中去掉。 甲 乙AB博弈方2博弈方1 甲 乙 丙AB博弈方2博弈方1完全信息

29、静态博弈完全信息静态博弈-均衡获取方法均衡获取方法1l严格下策反复消去法-示例 在这个只剩下四种策略组合的博弈中，我们可以发现对于博弈方I来说，策略B是相对于策略A的严格下策，因此，可将策略B从博弈方1的策略空间中去掉。 甲 乙AB博弈方2博弈方1 甲 乙A博弈方2博弈方1完全信息静态博弈完全信息静态博弈-均衡获取方法均衡获取方法1l严格下策反复消去法-示例 最后在这个仅剩两个策略组合的博弈中，再比较博弈方2的两个策略，显然策略甲是相对于策略乙的严格下策，这样，原来的博弈只剩下唯一策略组合(A,乙)，这即是均衡解，但它并不是占优策略组合，本博弈不存在占优策略组合。 严格下策并不总是存在， 如猜

30、硬币、田忌赛马。 有时只能消去部分策略。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-均衡获取方法均衡获取方法2l划线法 先找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合的最佳对策(划线)，然后在此基础上，通过对其他博弈方策略选择的判断，包括对其他博弈方对自己策略选择的判断等(划线)，预测博弈的可能结果和确定自己的最优策略。 甲 乙 丙AB博弈方2博弈方1完全信息静态博弈完全信息静态博弈-均衡获取方法均衡获取方法2l划线法示例坦白不坦白 坦白 不坦白囚徒困境性别之争歌剧足球赛 歌剧 足球赛妻子丈夫存在两个均衡点严格下策反复消去法无法求解完全信息静态博弈完全信息静态博弈-纳什均衡纳什均衡l Formally, a

31、 set of strategies forms a NE if, for every player i,lui(si*, s-i*) ui(si, s-i*), for any si A Nash equilibrium is a set of strategies such that none of the players can improve their payoffs given the strategies of others Why is this a solution? Because its a rest point - no incentive for one player

32、 to change unilaterally. What is equilibrium? Equilibrium is a strategy combination where no one player has an incentive to change her /his strategy given the strategies of the otherplayers.完全信息静态博弈完全信息静态博弈-纳什均衡纳什均衡 每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策。 每一个博弈者都确信，在给定竞争对手的情况下，他选择了最好的策略。 给定你的策略，我的策略是最好的策略；给定

33、我的策略，你的策略也是最好的策略。 双方在对方给定的策略下不愿意调整自己的策略，因为单独改变对自己没有好处。 划线法正是寻找纳什均衡的一种方法。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-纳什均衡纳什均衡l占优策略均衡是一种纳什均衡，但纳什均衡不一定是占优均衡。l占优策略均衡是比纳什均衡更强的均衡，它要求任何一个博弈方对于其他博弈方的任何策略选择来说，其最优策略选择都是唯一的；而纳什均衡只要求任何一个博弈方在其他博弈方的策略选择给定的情况下，其选择的策略是最优的。l判断某一结果是不是纳什均衡的通常做法是看博弈者是否可以通过单方面的背离而受益。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-纳什均衡纳什均衡l几种均衡的

34、关系Nash均衡均衡完全信息静态博弈完全信息静态博弈-纳什均衡纳什均衡l纳什均衡的一致性预测性质博弈分析最基本的目的之一是预测，博弈论中行动者是理性的，理性的人不可能作出非理性的事情，许多结果就可预测出来。一致性预测指如果博弈方都预测一个特定的结果会出现，那么所有的博弈方都不会不顾这种预测或者这种预测能力，去选择与预测结果不一致的策略。纳什均衡具有一致性预测的性质，这是纳什均衡的本质属性。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-纳什均衡纳什均衡l智猪博弈 每次按出10个萝卜，按者支付2个单位成本。 小猪按，大猪先到，支付（9，1）； 大猪按，小猪先到，支付（6，4）； 同时按，支付（7，3）。 按

35、等待按等待小猪大猪小猪的占优战略:等待;大猪无占优战略，但应该预见到小猪会选择“等待”。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-纳什均衡纳什均衡l实际生活中的智猪博弈“天塌下来有高个子顶着”；“搭便车”现象；公共物品，穷人和富人修路博弈（中产阶级对社会的稳定作用）；大股东对管理者的监督。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型l模型假设 两家企业生产同类产品，企业1产量q1，企业2产量q2，则总产量Q=q1+q2。设市场出清价格P是关于市场总产量的函数P=P(Q)=a-Q。设两企业生产都无固定成本，单位产量的边际成本相同，均为c，则两个企业分别生产q1和q2单位产

36、量的总成本为cq1和cq2。两企业同时决定自己的产量，即它们在决策之前不知道另一方的产量。 两博弈方的得益是各自的利润，即各自的销售收益减去成本，得益分别为 u1=q1P(Q)-cq1=q1a-(q1+q2)-cq1=q1a-(q1+q2)-c和 u2=q2P(Q)-cq2=q2a-(q1+q2)-cq2=q2a-(q1+q2)-c 可见，得益均取决于双方的策略，即产量。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型l最优反应函数(Best Reaction Function) 对于企业2的任意产量q2，企业1的最佳对策产量q1，就是使自己在企业2生产q2的情况下

37、利润最大化的产量，即q1是最大化问题 的解。令u1对q1的导数等于0，不难求出 q1 = R1(q2) = 1/2(a-c-q2) 这就是对于企业2的每一个可能产量，企业1的最佳对策产量的计算公式，它是企业2产量的一个连续函数，我们称它为企业1对企业2产量的“最优反应函数”。 完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型 同样，我们可再求出企业2对企业1产量q1的最优反应函数： q2= R2(q1) = 1/2(a-c-q1) 由于这两个函数都是连续的线性函数，所以可用坐标平面上的两条直线表达。 如下图所示：完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot du

38、opoly寡头竞争模型完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型l我们通过求解如上两个方程来获得均衡数量和价格： 对于q1，我们可得 q1= 1/2(a-c-q2) = 1/2(a-c- 1/2(a-c-q1) q1*=1/3(a-c) 同样可得 q2*=1/3(a-c) 而 P*=a- 2/3(a-c)=1/3a+2/3c u1=u2=q1*(p*-c)=1/9(a-c)2完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型lPerfect Competiti

39、on Under perfect competition firms set prices equal to MC. So, p=12 and due to demand function, equilibrium quantity: Q=a-p=30-12=18 Assuming both supply equal amounts, Firm 1 supplies 9 and so does Firm 2.完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型l最大化利益的策略组合 总得益为 U

40、=P(Q)-c(Q)=Q(a-Q)-cQ=(a-c)Q-Q2 对于上式 很容易求得最大总产量Q*=1/2(a-c) 最大总得益u*=1/4(a-c)2 可见1/2(a-c)2/9(a-c)2 与纳什均衡解相比而言，虽然总产量较小，但总利润却较高，在缺乏有效保障机制的情况下，它们均有突破1/4(a-c)最佳产量的意愿。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Cournot duopoly寡头竞争模型完全信息静态博弈完全信息静态博弈-公共地的悲剧l该例表明，如果一种资源如果没有排他性，就会被过度使用。基本假设l假设有n 个农民共

41、同拥有一片土地，每个农民都有放牧的自由。l令i=1,2,n, gi是第农民的放羊数量，G是总的放牧数量；v代表每只羊的平均价值，是G的递减函数，c是每只羊的饲养成本： ui(g1, g2, , gn)=giv(G)-gic完全信息静态博弈完全信息静态博弈-公共地的悲剧l为了简化结论，假设n=3, v=104-G，而c=4得出三个牧民的反应函数： g1=R1(g2, g3)= 50-1/2q2-1/2q3 g2=R2(g1, g3)= 50-1/2q1-1/2q3 g3=R3(g1, g1)= 50-1/2q1-1/2q2求得g1*=g2*=g3*=25, u1*=u2*=u3*=625。以总得

42、益u=G(104-G)-4G=100G-G2为目标函数使总得益最大得养羊数为G*=50, u*=25006253。因此本纳什均衡将导致过渡放牧。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l在某些情况下不存在纳什均衡完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l社会福利问题 政府与流浪汉之间的博弈 政府的战略选择：救济，不救济 流浪汉的战略选择：找工作，游荡 找工作 游荡救济不救济流浪汉政府非零和博弈完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l分析类似的问题还有许多：如门卫与小偷，偷税与查税等。以上例子都有一个共同的特征：每个

43、参与人都想猜透对方的战略，同时又不想让对方猜透自己的战略。 这类问题都不存在原来意义上的Nash均衡，因此有必要拓展Nash均衡的定义。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l案例分析 以猜硬币为例 盖币者： 盖币者要使猜币者不能准确猜中自己的战略，只有以随机的方 式出招； 设盖币者出正面的概率为p,则出反面的概率为1-p; 必须选择出正面和反面的概率，使猜者不论猜正面或反面，其 期望收益是相同的。 猜币者： 猜正面的期望收益：p+(1-p)(-1) 猜反面的期望收益：（-1）p+(1-p) p+(1-p)(-1)=（-1）p+(1-p) p*=1/2正面反面 正面

44、 反面猜方盖方完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l案例分析 同理，若设猜币者猜正面的概率为q，则在均衡时，其概率为：q*=1/2 在该例中，假设了每个参与人在其策略空间上，有一概率分布,如盖币者p,1-p，猜币者q,1-q，其均衡为： （1/2，1/2，1/2，1/2）完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l混合策略Mixed strategy 纯策略（pure strategy)： 如果一个策略规定参与人在每一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动，称为纯策略。 混合战略： 如果一个战略规定参与人在给定的信息情况下以某种概率分布随机

45、地选择不同的行动，称为混合战略。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l定义： 在博弈G=S1, S2, , Sn; u1, u2, ,un中，参与人i的战略空间为Si=si1,si2,sik,若ij是参与人i选择战略sij的概率，且有: 则称i = (i1,i2 ,.,ij ,.,ik )是参与人i的一个混合战略。可用 表示参与人的混合战略空间； 称为一个混合战略组合；期望效用函数：完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l混合战略组合Mixed Strategy Profile完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳

46、什均衡l混合策略纳什均衡定义是一个混合策略纳什均衡，若对所有参与人i，有完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡 逃税 不逃税检查不检查纳税人税收机关l监督博弈的纳税检查 A 为应纳税款，C为检查成本， F是偷税罚款。假定CA+F。不存在纯战略纳什均衡。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l税务机关检查边际 p 为税务机关检查的概率，q为纳税人逃税概率。给定q，税收机关选择检查与否的期望收益： u(1,q)=(A-C+F)q+(A-C)(1-q)=qF+A-C u(0,q)=0q+A(1-q)=A(1-q) 解u(1,q)= u(0,q)

47、， 得：q*=C/(A+F)结论：纳税人逃税概率小于q*,税收机关的最优决策是不检查，否则则反。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡l纳税人逃税边际 给定p，纳税人选择逃税与否的期望收益是： u(p,1)=(-A-F)p+0(1-p)=-(A+F)p u(p,0)=-Ap+(-A)(1-p)=-A 解u(p,1)= u(p,0) ， 得p*=A/(A+F) ，即， 结论：如果税收机关检查的概率小于p*,纳税人的最优选择是逃税，否则交税。l 混合纳什均衡是p*,q*, 即税收机关以p*的概率查税，而纳税人以q*的概率逃税。完全信息静态博弈完全信息静态博弈-Nash均

48、衡的存在性l存在性定理（1950，Nash) 每一个有限博弈至少存在一个纯战略的或混合战略的Nash均衡。(证明方法是运用角谷静夫（Kakutani)的不动点定理。)完全信息静态博弈完全信息静态博弈- Nash均衡的多重性均衡的多重性lNash均衡的多重性歌剧足球赛 歌剧 足球赛妻子丈夫性别之争事实上，这一博弈还存在一个混合战略Nash均衡，(1/3,2/3),(1/3,2/3)完全信息静态博弈完全信息静态博弈- Nash均衡的多重性均衡的多重性l奇数定理：如果一个博弈存在两个纯战略Nash均衡，则一定存在另一个混合战略Nash均衡。完全信息静态博弈完全信息静态博弈- Nash均衡的多重性均衡

49、的多重性lNash均衡的选择Pareto占优均衡风险规避均衡聚点均衡相关均衡lDynamic Game of Complete Information完全信息动态博弈完全信息动态博弈l例：房产开发商之间的博弈 设有两个开发商A和B，其静态博弈的战略式表示为一个矩阵形式：开发不开发 开发 不开发BA有两个Nash均衡（开发，不开发），（不开发，开发）完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈l动态博弈的扩展式表述Extensive form representation 动态博弈扩展式的要素： 参与人，1,2,n, N虚拟参与人（自然） 行动的顺序（the order of

50、 moves)谁在什么时候行动； 行动空间(action set)每次行动时，参与人有何选择； 信息集(information set)每次行动时，参与人知道什么; 支付函数(payoffs)在行动结束后，每个参与人得到什么; 环境的选择外在事件的概率分布，由虚拟参与人选择（如市场需求等不确定因素）。 这里主要是参与人战略空间的扩展，要给出每个战略的动态描述行动的顺序，行动空间，信息集完全信息动态博弈完全信息动态博弈l博弈树的基本要素 结（nodes) 决策结(decision nodes):参与人采取行动的时点； 终点结(terminal nodes)：是博弈行动路径的终点； 枝(branc

51、hes)：每一枝代表决策人的行动选择； 路径(paths)：从初始决策结到终点结的一条通路。表示 一 个可能的决策序列或博弈结果； 信息集(information sets)：由决策结组成，博弈树上所有 决策结可分割成不同的信息集； 战略(strategies)完全信息动态博弈完全信息动态博弈l信息集（information sets) 每一个信息集是决策结集合的子集，由满足以下条件的决策结组成： 一定是同一个参与人的决策结； 该参与人知道博弈进入该集合中的某个决策 结，但不知道自己处于哪一个决策结； 一个参与人在属于同一个信息集的每一个决策结上的行动空间是相同的。 一般用h(x)表示包含决策

52、结x的信息集；完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈l完美信息（perfect information) 是指一个参与人对其他参与人（包括虚拟参与人“自然”）的行动选择有了准确的了解，即每个信息集只含有一个元素，l完全信息（complete information) 指每个参与人没有私人信息，即他的行动空间、支付函数为所有其他参与人所知。 例如，如果两个参与人都知道对方的支付函数，行动空间，以及市场需求是大，还是小，则信息是完全的，但如果A不知B的行动选择，则A的信息是不完美的。完全信息动态博弈完全信息动

53、态博弈l战略是参与人在给定的信息集的情况下的行动规则。 因为参与人的每个信息集实质上代表了参与人可能会遇到的几种情况，因此必须给出所有可能情况下的行动规则。l每个参与人的一个战略，合在一起形成一个战略组合；l每一个战略组合决定了博弈树上的一条路径。完全信息动态博弈完全信息动态博弈lNash 均衡 存在性定理： 一个有限完美信息博弈有一个纯战略Nash 均衡。l 合理性分析l 不可置信的威胁（incredible threaten）完全信息动态博弈完全信息动态博弈l子博弈:原博弈的一部分，它本身可以作为一个独立的Game来分析，必须满足两个条件： 必须从单结信息集开始 子博弈不能切割原博弈的信息

54、集l特别：完美信息博弈中的每一个决策结都可以开始一个子博弈。完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈l子博弈精炼（完美）纳什均衡Subgame perfect Nash equilibrium 定义：扩展式博弈的战略组合是一个子博弈精炼纳什均衡,如果： 它是原博弈的一个Nash均衡； 它是每一个子博弈上的纳什均衡。 一个特定的Nash均衡决定了原博弈树上唯一的一条路径，称该路径为均衡路径（equilibrium path)。博弈树上其他的路径都称为该Nash均衡的非均衡路径（out of equilibrium).完全信息动态博弈完全信息

55、动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈l子博弈精炼（完美）纳什均衡Subgame perfect Nash equilibrium只有当一个战略规定的行动规则在所有可能的情况下(即在所有的均衡和非均衡路径上）都是最优的，它才是合理的可置信的战略。子博弈精练Nash均衡是剔除了那些只在特定情形下（即只在均衡路径上）才是最优的、合理的，而在其他情况下（非均衡路径上）并不合理的行动规则。完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈完全信息动态博弈l逆向归纳法Backward Induction逆向归纳法实际上是重复剔除劣战略的方法

56、在扩展式博弈中的应用。从最后一个决策结开始往回倒推，每一步剔除在该决策结上参与人的劣选择。因此在均衡路径上，每一个参与人在每一个信息集上的选择都是占优战略。逆向归纳法只适用于完美的博弈问题完全信息动态博弈完全信息动态博弈l逆向归纳法Backward Induction 设有两个参与人的动态博弈， 第一阶段参与人1先行动，行动空间为A1，行动选择为a1, 第二阶段参与人2行动，行动空间为A2，行动选择为a2,l逆向归纳法，先从第二阶段开始确定参与人2的最优战略选择，l得到a2=R2(a1)再回到第一阶段参与人的行动选择a1*:l最后，将a1*代到a2=R2(a1)，得到a2*。完全信息动态博弈完

57、全信息动态博弈-Stackelberg模型模型l基本模型 企业1首先选择产量q1，企业2观察到q2，于是企业i(i=1,2)的收益由下面的得益函数给出：ui(qi, qj)=qip(Q)-c， 其中p(Q)=a-Q为市场出清价格。Q=q1+q2，c为边际成本。完全信息动态博弈完全信息动态博弈-Stackelberg模型模型 首先计算企业2对企业1任意产量的最优反应，设企业1、2的最优产量分别为q1*，q2*，于是： 由该式关于q2求导，令其为0可得：R2(q1)=1/2(a-q1-c)=q2* R2(q1)是企业2对企业1已观测到的产量的现实反应。 由于企业1同样能够像企业2一样解出企业2的最优反应，企业1就可以预测到它如果选择q1，企业2将根据R2(q1)选择产量。则下面进入博弈的第一阶段： 完全信息动态博弈完全信息动态博弈-Stackelberg模型模型l企业1在开始选择时，企业1要考虑的问题就可表示为： 求极值得q1*=1/2(a-c) q2*= R2(q1*)=1/4(a-c) 这就是该博弈得子博弈精炼纳什均衡解。 u1* =1/8 (a-c)2 u2*=1/16 (a-c)2 这说明企业1具有“先动优势”。完全信息动态博弈完全信息动态博弈-Stackelberg模型模型谢谢各位谢谢各位