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1、1.8 函数的连续性函数的连续性 与间断点与间断点函数的函数的(continuity)函数的函数的间断点间断点小结小结 思考题思考题 作业作业 (discontinuous point)1间变化很小时间变化很小时,生物生长的也很少生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中在自然界中,许多事物的变化是连续的许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小单摆摆长变化也很小.时时 在高等数学中在高等数学中,主要的研究对象就是连主要的研究对象就是连续函数续函数.这种现象这种现象从直观上不妨这样说从直观上不妨这样说,
2、连续函数的连续函数的特征就是它的图形是连续的特征就是它的图形是连续的,也就是说也就是说,可以可以一笔画成一笔画成.21. 函数的增量函数的增量自变量自变量称差称差为自变量在为自变量在的增量的增量; 函数随着从函数随着从称差称差为函数的为函数的增量增量. .如图如图:一、函数的连续性一、函数的连续性3连续连续, ,2. 连续的定义连续的定义定义定义1 1设函数设函数 f (x)在在内有定义内有定义,若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处并称并称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点. .定义定义2 2若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处连续连续. . 把极限与连续性联系起来了把极限与连续
3、性联系起来了,且提且提供了连续函数求极限的简便方法供了连续函数求极限的简便方法只只需求出该点函数特定值需求出该点函数特定值. 自变量在自变量在x0点的增量为无穷小时点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小函数的增量也为无穷小.形象地表示形象地表示了连续性的特征了连续性的特征.采用了无穷小定义法采用了无穷小定义法充分必要条件充分必要条件4连续性的三种定义形式不同连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有这三种定义中都含有但本质相同但本质相同.f (x)在在内有定义内有定义;(1)(2)(3)三个要素三个要素: :定义定义3 3 把极限定义严密化把极限定义严密化,便于分析论证便于分析论证.存在存
4、在;5注注 一般讲一般讲,证明的命题用函数连续的定证明的命题用函数连续的定义义1方便方便;是判断分段函数在分界点处是否连续用是判断分段函数在分界点处是否连续用判断函数在某点是否连续判断函数在某点是否连续,尤其尤其定义定义2方便方便.某一邻域而言某一邻域而言.由上述定义可知由上述定义可知,f(x)在在x0点的连续性点的连续性是描述是描述 f(x)在在x0点邻域的性态的点邻域的性态的. 即它是对即它是对因此在孤立点处无连续可言因此在孤立点处无连续可言.6例例证证都是连续的都是连续的.类似可证类似可证,是连续的是连续的.即即7例例证证定义定义2试证函数试证函数处连续处连续.83. 左、右连续左、右连
5、续左连续左连续(continuity from the右连续右连续(continuity from theleft); ;right). .左连续左连续右连续右连续9定理定理1 此定理常用于此定理常用于判定分段函数在分段点判定分段函数在分段点处的连续性处的连续性.10例例解解右不连续右不连续.所以所以左连续左连续,11例例解解12设设解解 因为因为所以所以必需且只需必需且只需即即必需且只需必需且只需即即134. 连续函数连续函数(continous function)与连续区间与连续区间上的上的或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续. . 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的
6、函数,称该区间称该区间在开区间在开区间右连续右连续左端点左端点右端点右端点这时也称该区间为这时也称该区间为continuous左连续左连续连续函数连续函数, ,连续区间连续区间. .内连续内连续14关于连续函数关于连续函数, 有一个对某些问题的推理有一个对某些问题的推理定理定理2 2很有用的定理很有用的定理. .的一个邻域的一个邻域,使得在此邻域内使得在此邻域内是一条无缝隙的连绵而不断的曲线是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.连续函数的图形连续函数的图形15例如例如, ,有理整函数有理整函数(多项式多项式)内是连续的内是连续的.因此因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数在其定义域内的每一
7、点有理分式函数有理分式函数只要只要都有都有因此有理整函数因此有理整函数在在都是连续的都是连续的.第五节中已证第五节中已证16定义定义4 4出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类无定义无定义;不存在不存在;间断点间断点. .17间断点分为两类间断点分为两类: :第二类第二类间断点间断点(discontinuity point of the second kind):第一类第一类间断点间断点(discontinuity point of the first kind):及及均存在均存在, ,及及中至少一个不存在中至少一个不存在.若若称称 为为可去
8、间断点可去间断点. .若若称称 为为跳跃间断点跳跃间断点. .若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡, ,若其中有一个为若其中有一个为称称 为为无穷间断点无穷间断点. .称称 为为振荡间断点振荡间断点. .18 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它19可能是连续点可能是连续点, 初等函数无定义的孤立点是初等函数无定义的孤立点是间断点间断点.分段函数的分段点分段函数的分段点可能是间断点可能是间断点, 也也需要判定需要判定.20例例 讨论函数讨论函数解解为函数的为函数的 间断点间断点.第一类第一类 且是可去间断点且是可去间断点(removable discontinuity).连
9、续连续.处无定义处无定义,可去间断点可去间断点.处处在在1= =x21则可使则可使x0变为连续点变为连续点.注注注注对可去间断点对可去间断点x0,如果如果于于A, (这就是为什么将这种间断点称为这就是为什么将这种间断点称为使之等使之等可去间断点的理由可去间断点的理由.)补充补充 x0的函数值的函数值,或或改变改变22如如补充补充定义定义:如如但但23例例有定义有定义,故故为为f (x)的的 间断点间断点.第一类第一类的第一类间断点的第一类间断点.则点则点x0为函数为函数 f(x) 的的且是跳跃间断点且是跳跃间断点.跳跃型间断点跳跃型间断点(Jump discontinuity).及及均存在均存
10、在, 则点则点x0为为24 跳跃型间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等、补充定义25例例由于函数由于函数无定义无定义,故故为为f(x)的的 间断点间断点.且且皆不存在皆不存在.第二类第二类第二类间断点第二类间断点:至少有至少有且是无穷型间断点且是无穷型间断点.一个不存在一个不存在.26例例有定义有定义,不存在不存在,故故为为f (x)的的 间断点间断点.第二类第二类且是无穷次振荡型间断点且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡,27 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限
11、至少有一个振荡28例例 讨论讨论若有间断点判别其类型，并作出图形若有间断点判别其类型，并作出图形解解2930(见下图见下图)无穷型无穷型, 无穷次振荡型无穷次振荡型三、小结三、小结1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的函数在一点连续的三个定义、必须满足的2. 区间上的连续函数区间上的连续函数;3. 函数间断点的分类函数间断点的分类:间断点间断点第一类间断点第一类间断点: :跳跃型跳跃型,可去型可去型第二类间断点第二类间断点: : 三个条件三个条件;31可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型无穷型无穷型无穷次振荡型无穷次振荡型第第二二类类间间断断点点32思考与练习思考与练习1. 讨论函数讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设时时提示提示:为为连续函数连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,33作业作业习题习题1-8 (641-8 (64页页) ) 1(2) 2. (2) (4) 3. 34
