《任意角的三角函》由会员分享，可在线阅读，更多相关《任意角的三角函（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾复习回顾OabMPc2OabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入新课导入3yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？o4如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？探究：探究：MOyxP(a,b)51.1.锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为长度为半径的圆，称为单位圆
2、单位圆. yOx1M62.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角，它的是一个任意角，它的终边与与单位位圆交于点交于点 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ； （2） 叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ； （3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函
3、数的定义域.7xyo的终边的终边说说 明明. .（2） 正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 横坐标等于横坐标等于0， 无意义，此时无意义，此时 轴上时，点轴上时，点P 的的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关一一对应关 系系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值. .的横坐标，的横坐标，正切就是正切就是交点的纵坐标与交点的纵坐标与8例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值
4、.解：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作 ，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 所以所以 9 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离 .那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终在角的终边上的位置无关边上的位置无关.定义推广定义推广10例例2.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .解解
5、:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，于是，于是， 11于是于是，巩固提高巩固提高练习练习: 1.已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.解：解：由已知可得：由已知可得：1213141.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+R+-+-+-+-15yxo+-+-yxoyxo全为+yxo记法：记法：一全正一全正一全正一全正二正弦二正弦二正弦二正弦三正切三正
6、切三正切三正切四余弦四余弦四余弦四余弦三个三角函数在各象限的符号三个三角函数在各象限的符号角定象限角定象限, ,象限定符号象限定符号. .16例例3. 求证：当且仅当下列不等式组成立时，求证：当且仅当下列不等式组成立时，角角 为第三象限角为第三象限角. 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上； 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边
7、只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.17如果两个角的终边相同，那么这两个如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？角的同一三角函数值有何关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相终边相同的角的同一三角函数值相等（等（公式一公式一）其中其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求转化为求 角的三角函数值角的三角函数值 . 18（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；（3）因为）因为 = 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以解：解： （2）因为
8、）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以19解：解：2021MAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数下面我们再从图形角度认识一下三角函数思考思考: 为了去掉等式中得绝对值符号，能否为了去掉等式中得绝对值符号，能否 给线段给线段OM、MP规定规定一个适当的方向一个适当的方向, 使它们的取值与点使它们的取值与点P的坐标一致？的坐标一致？22我们把带有方向的线段叫我们把带有方向的线段叫有向线段有向线段. .( (规定规定: :与坐标轴相同的方向为正方向与坐标轴相同的方向为正方向).).yxo 的终边的终边MP 的终边的终边23TMAPTMAPTM AP= MPTM A（1,0）P24这几条与单
9、位圆有关的有向线段这几条与单位圆有关的有向线段分别叫做角的分别叫做角的正弦线正弦线、余弦线余弦线、正切线正切线统称为统称为三角函数线三角函数线.TM APTMAPTMAPTM AP当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；变成一个点；此时角此时角 的正弦值和正切值都为的正弦值和正切值都为0当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在正切线不存在此时角此时角 的正切值不存在。的正切值不存在。25MPMP是正弦线是正弦线OMOM是余弦线是余弦线 ATAT是正切线是正切线y yxo o M MP PA AT T
10、例例 题题 示示 范范26例例2.2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1） ；（；（2） 27例例1.在在0 内，求使内，求使 成立的成立的的取值范围的取值范围. OxyP PM MP P1 1P P2 228xyoP1P2xyo T A210 30 例利用例利用单位位圆寻找适合下列条件的找适合下列条件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 29POxyMAT30AB o S2 S1P2P1 M1例例.利用三角函数利用三角函数线比比较下列各下列各组数的大小：数的大小：解：解： 如如图可知：可知： M231AB oT2T1 S2 S1例例.利用三角函数利用三角函数线比比较下列各下列各组数的大小：数的大小：解：解： 如如图可知：可知： 32xyoMPATxyoy=-xPM 练习练习33
