高西全_丁玉美_数字信号处理通用课件

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1、绪论l数字信号处理的对象是数字信号处理的对象是数字信号数字信号.l数字信号处理是采用数字信号处理是采用数值数值计算的方法完成计算的方法完成对信号的处理对信号的处理.数字信号处理的特点l灵活性灵活性l高精度和高稳定性高精度和高稳定性l便于大规模集成便于大规模集成l可以实现模拟系统无法实现的诸多功能可以实现模拟系统无法实现的诸多功能第1章时域离散信号和时域离散系统l掌握常见时域离散信号的表示及运算。掌握常见时域离散信号的表示及运算。l掌握时域离散系统的线性、时不变性、因掌握时域离散系统的线性、时不变性、因果性及稳定性的含义及判别方法。果性及稳定性的含义及判别方法。l掌握采样定理。掌握采样定理。1.

2、1引言引言l信号的定义：信号的定义：载有信息的，随时间变化的物理量或载有信息的，随时间变化的物理量或物理现象。物理现象。l信号的分类：信号的分类：时域连续信号时域连续信号模拟信号模拟信号时域离散信号时域离散信号数字信号数字信号l系统定义：系统定义：l系统分类：系统分类：时域连续系统时域连续系统模拟系统模拟系统时域离散系统时域离散系统数字系统数字系统一单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号的定义为的定义为延时延时的单位阶跃信号的单位阶跃信号二单位冲激信号单位冲激信号的狄拉克单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义定义从下面三点来理解冲激信号从下面三点来理解冲激信号(1) 除了除了 之外取值处处为零；

3、之外取值处处为零；(2) 在在 处为无穷大；处为无穷大；(3) 在包含在包含 出现的位置的任意区间范围内面积为出现的位置的任意区间范围内面积为 1。二单位冲激信号延时的单位冲激信号延时的单位冲激信号冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到l 脉冲信号是偶函数；脉冲信号是偶函数；l 脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小；脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小；l 脉冲高度逐渐变大，直至无穷大；脉冲高度逐渐变大，直至无穷大；l 脉冲面积一直保持为脉冲面积一直保持为 1。二、冲激函数的性质（1）抽样性）抽样性 （2）奇偶性）奇偶性 （3）比例性）比例性 （4）卷

4、积性质）卷积性质 三、抽样信号三、抽样信号(SamplingSignal) 性质：性质： 偶函数偶函数四冲激响应四冲激响应1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 说明说明: : 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，不同，说明其系统特性不同， 冲激响应冲激响应可以衡量系统的特性。可以衡量系统的特性。称为称为 的卷积积分，简称卷积，记为的卷

5、积积分，简称卷积，记为设有两个设有两个 函数函数 ，积分，积分五、卷积（Convolution）主要利用卷积来求解系统的零状态响应。主要利用卷积来求解系统的零状态响应。1.2时域离散信号时域离散信号l离散时间信号（序列）只在离散时刻给出函数离散时间信号（序列）只在离散时刻给出函数值，是时间上不连续的序列。值，是时间上不连续的序列。l实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样等间隔采样便可以得到时域离散信号。假设模便可以得到时域离散信号。假设模拟信号为拟信号为xa(t)，以采样间隔，以采样间隔T对它进行等间隔对它进行等间隔采样，得到：采样，得到：注

6、意：注意：n为整数为整数思考：序列的表示方法有哪些？思考：序列的表示方法有哪些？一、典型序列1单位采样序列单位采样序列(n)l单位采样序列的作用：单位采样序列的作用：表示任意序列表示任意序列例例1.写出图示序列的表达式写出图示序列的表达式2、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n)3矩形序列矩形序列RN(n) 4实指数序列实指数序列5正弦序列正弦序列6复指数序列复指数序列7周期序列周期序列定义：定义：如果对所有如果对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：使下面等式成立：则称序列则称序列x(n)为周期性序列，周期为为周期性序列，周期为N。例2、求下列周期二、序列的运算二、序

7、列的运算1加法和乘法加法和乘法序列之间的加法和乘法，是指序列之间的加法和乘法，是指同一时同一时刻刻的序列值逐项对应相加和相乘。的序列值逐项对应相加和相乘。2移位移位移位序列移位序列x(nn0)，当，当n00时时,称为称为x(n)的的延时序列；当延时序列；当n0反转反转-平移平移-相乘相乘-求和求和（2）列表法）列表法（3）解析法）解析法卷积和性质：卷积和性质：l代数运算性质（交换律、结合律、分配律）代数运算性质（交换律、结合律、分配律）l延迟性质延迟性质l典型信号的卷积典型信号的卷积1.3时域离散系统时域离散系统一、线性系统系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系系统的输入、输出之间满足线性叠

8、加原理的系统称为线性系统。设统称为线性系统。设x1(n)和和x2(n)分别作为系统的分别作为系统的输入序列，其输出分别用输入序列，其输出分别用y1(n)和和y2(n)表示，即表示，即例例7、判断、判断y(n)=ax(n)+b(a和和b是常数）所代表系统的是常数）所代表系统的线性性质。线性性质。二、时不变系统如果系统对输入信号的运算关系如果系统对输入信号的运算关系T在整个运在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：不变系统

9、，用公式表示如下：例例8、判断、判断y(n)=nx(n)代表的系统是否是时不变系统。代表的系统是否是时不变系统。三、LTI系统输入与输出之间的关系单位脉冲响应单位脉冲响应LTI系统系统的输出的输出解释：LTI系统l系统的级联：l系统的并联：四、系统的因果性和稳定性l因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响应的因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响应的系统，也称为系统，也称为不超前不超前响应系统。响应系统。lLTI系统系统具有因果性的充要条件：具有因果性的充要条件：l判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和充要条件，后者只对充要条件，后者只对LT

10、I系统有效。系统有效。 l稳定性：有界输入（指幅度有界）稳定性：有界输入（指幅度有界） ，有界输出，有界输出lLTI系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉冲响应绝对可和，即冲响应绝对可和，即例例9、设、设LTI系统的单位系统脉冲响应系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式，式中中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。1.4时域离散系统的输入输出描述时域离散系统的输入输出描述法法线性常系数差分方程线性常系数差分方程lN阶线性常系数差分方程表示：阶线性常系数差分方程表示：式中，式中，x(n)和和y(n)分别是系统的输入序

11、分别是系统的输入序列和输出序列，列和输出序列，ai和和bj均为常数均为常数. 线性常系数差分方程的求解l经典解法（实际中很少采用）经典解法（实际中很少采用）l递推解法（方法简单，但只能得到数值解，递推解法（方法简单，但只能得到数值解，不易直接得到公式解）不易直接得到公式解）l变换域法（变换域法（Z域求解，方法简便有效）域求解，方法简便有效）递推解法例例10、设因果系统用差分方程、设因果系统用差分方程 y(n)=ay(n1)+x(n)描述，输入描述，输入x(n)=(n)若初始条件若初始条件y(-1)=0，求输出序列，求输出序列y(n)。若初始条件改为若初始条件改为y(-1)=1，求，求y(n)

12、例例11、设差分方程如下，求输出序列、设差分方程如下，求输出序列y(n)。 非因果系统非因果系统结论结论l差分方程本身不能确定该系统是因果系统差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。限制。l一个线性常系数差分方程描述的系统不一一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关。态有关。课堂练习1、以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。答案 （1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定。课堂练习课堂练习3、判断题：、判断题：一个系统是

13、因果系统的充要条件是，一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应单位序列响应h(n)是因果序列。是因果序列。答案：答案：错错课堂练习l4、将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示 。5、 判断下面的序列是否是周期的判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的，若是周期的， 确定确定其周期。其周期。 (1)(2)解解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。课堂练习6、 设线性时不变系统的单位脉冲响应设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输和输入入x(n)分别有以下几种情况，分别有以下

14、几种情况， 分别求输出分别求输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n) , x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n) , x(n)=(n)(n2)解：解： （1）1，2，3，4，4，3，2，1 （2）2，2，0，0，-2，-2课堂练习频谱分析：频谱分析：频谱分析：频谱分析：把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，简称信号的谱分析。简称信号的谱分析。傅立叶分析：傅立叶分析：傅立叶分析：傅立叶分析：用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统的频域分析用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统的频域分析。频域分析法在系统分析中极其重要，

15、主要是因为：频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为：(1) 频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；(2) 利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多实际问题，并可获得清晰的物理概念；多实际问题，并可获得清晰的物理概念；(3) 连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基础。础。 (4) 简化了求解微分方程的过程简化了求解微分方程的过程傅立叶分析周期信号周期信号 ，周期为，周期为

16、，角频率，角频率该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数其中其中(一)周期信号的傅立叶级数 式中式中 称为傅立叶系数，是复数。称为傅立叶系数，是复数。例：例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：解： 直接代入公式有直接代入公式有所以所以(一)周期信号的傅立叶级数 1.1.1.1.周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分

17、量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。(二)周期信号的频谱在傅立叶分析中，把各个分量的幅度在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 随频率或角频率的变化称随频率或角频率的变化称为信号的幅度谱。为信号的幅度谱。而把各个分量的相位而把各个分量的相位 随频率或角频率的变化称为信号的相位谱。随频率或角频率的变化称为信号的相位谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为

18、双边谱。指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。频谱图：频谱图：若把相位为零的分量的幅度看作正值，若把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为把相位为的分量的幅度看作负值，那的分量的幅度看作负值，那么幅度谱和相位谱可合二为一。么幅度谱和相位谱可合二为一。幅度谱幅度谱相位谱相位谱(二)周期信号的频谱周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为 对周期信号对周期信号 ，如果令，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的间隔才趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号重复出现，周期信号因此变为非周期信号.从傅立叶级数到傅立叶变换 当

19、当 T 增加时，基波频率变小、离增加时，基波频率变小、离散谱线变密，频谱幅度变小，但散谱线变密，频谱幅度变小，但频谱的形状保持不变。频谱的形状保持不变。在极限情况下，周期在极限情况下，周期T为无穷大，为无穷大，其谱线间隔与幅度将会趋于无穷其谱线间隔与幅度将会趋于无穷小。这样，原来由许多谱线组成小。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会联成的周期信号的离散频谱就会联成一片，形成非周期信号的连续频一片，形成非周期信号的连续频谱谱 。上两式称为傅立叶变换对，采用下列记号：上两式称为傅立叶变换对，采用下列记号：傅立叶正变换傅立叶正变换傅立叶反变换傅立叶反变换(三)傅立叶变换自定义矩形脉冲信号

20、矩形脉冲信号典型信号的傅立叶变换 时域卷积性质时域卷积性质若若 则则频域卷积性质频域卷积性质（四）傅里叶变换的性质拉氏变换对拉氏变换对正变换正变换反变换反变换记作记作 ， 称为原函数，称为原函数， 称为象函称为象函数数采用采用 系统，相应的单边拉氏变换为系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号考虑到实际信号都是有起因信号拉普拉斯变换的定义 收敛域：使收敛域：使F(s)存在的存在的s 的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1.

21、5模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法采样定理；采样定理；采样前的模拟信号和采样后得到的采样信采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系；号之间的频谱关系；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。号。什么是信号抽样为什么进行信号抽样(1) 信号稳定性好信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。数据用二进制表示，受外界影响小。(4) 系统精度高系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。可通过增加字长提高系统的精度。(5) 系统灵活性强系统灵活性强: 改变系统的系数使系

22、统完成不同功能。改变系统的系数使系统完成不同功能。(2) 信号可靠性高信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。存储无损耗，传输抗干扰。离散信号与系统的主要优点：离散信号与系统的主要优点：(3) 信号处理简便信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等信号压缩，信号编码，信号加密等l对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关号通过一个电子开关S。实际抽样电子开关合上时间电子开关合上时间0，则形成理想采，则形成理想采样样理想抽样理想采样设设 对对 进行傅里叶变换，得到进行傅里叶变换，得到 理想采样采样信号的频谱是原采样信号的频谱是原模拟信号频谱以模

23、拟信号频谱以s为周期，进行周期性为周期，进行周期性延拓而成的，且频谱延拓而成的，且频谱幅度为幅度为1/T。信号时域的离散化导致其频域的周期化信号时域的离散化导致其频域的周期化采样信号频谱频谱混叠频谱混叠采样信号的恢复采样信号的恢复采样信号的恢复低通滤波器低通滤波器G(j）的单位冲激响应）的单位冲激响应g(t)为：为：采样信号的恢复采样信号的恢复奈奎斯特采样定理l对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率采样频率s为周期为周期进行进行周期性延拓周期性延拓形成的。形成的。l设连续信号设连续

24、信号xa(t)属属带限带限信号，最高截止频率为信号，最高截止频率为c，如果采样角频率，如果采样角频率s2c，那么让采样信号，那么让采样信号通过一个增益为通过一个增益为T、截止频率为截止频率为s/2的理想的理想低低通通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则否则,s2c会造成采样信号的频谱混叠现象，会造成采样信号的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。不可能无失真地恢复原连续信号。抽样定理的工程应用许多实际工程信号不满足带限条件许多实际工程信号不满足带限条件 抗抗 混混低通滤波器低通滤波器 混叠误差混叠误差混叠误差混叠误差与与截断误差截断误差截断

25、误差截断误差比较比较抽样定理的工程应用重要公式课堂练习7、设设LTI系统由下面差分方程描述：系统由下面差分方程描述：设系统是因果的，设系统是因果的，利用递推法求系统利用递推法求系统的单位脉冲响应。的单位脉冲响应。解解： 令x(n)=(n), 则n=0时， n=1时， n=2时， n=3时， 所以l8、数字信号是指、数字信号是指_的信号。的信号。时间幅度都离散的时间幅度都离散的9、若用单位序列及其移位加权和表示x(n)=_。10、序列、序列是是周期序列的条件是周期序列的条件是_。l11、序列序列2，3，2，1与序列与序列2，3，5，2，1相加为相加为_，相乘为，相乘为_。l4，6，7，3，1l4

26、，9，10，2l12、判断正误 数字信号处理的主要对象是数字信数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。目的的。( ) 对l13、判断正误 单位阶跃序列与矩形序列的关系是单位阶跃序列与矩形序列的关系是错错l14、判断正误、判断正误因果系统一定是稳定系统。因果系统一定是稳定系统。()错错l15、判断正误 如果系统对输入信号的运算关系在整个运如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。（）时不变系统。（） 对l16、判断正误所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的

27、所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。（）系统。（） 对l17、判断正误 差分方程本身能确定该系统的因果和稳差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。定性。()错。错。差分方程本身不能确定该系统的因果和稳差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性，还需要用初始条件进行限制。定性，还需要用初始条件进行限制。l18、判断正误 若连续信号属带限信号，最高截止频率为若连续信号属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率，如果采样角频率s2c，那么让采，那么让采样信号通过一个增益为样信号通过一个增益为T、截止频率为截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信

28、号。出原连续信号。()错错引言时域分析时域分析频域分析频域分析复频域分析复频域分析连续连续信号信号信号：连续变量时信号：连续变量时间的函数间的函数系统：微分方程系统：微分方程傅里叶变换傅里叶变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换离散离散信号信号信号：离散信号信号：离散信号（序列）（序列）系统：差分方程系统：差分方程傅里叶变换傅里叶变换Z变换变换一、时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义正变换：正变换：序列序列x(n)的傅里叶变换（离散时间的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换傅里叶变换DTFT）定义为：）定义为：序列的傅里叶变换存在的充分条件是序列序列的傅里叶变换存在的充分条件是序列x(n)

29、满足绝对可和的条件，即满足绝对可和的条件，即一、时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义l反变换反变换 X(ej)的傅里叶反变换为：的傅里叶反变换为：性质：性质：傅里叶变换的周期性、线性性质傅里叶变换的周期性、线性性质时移与频移性质、对称性时移与频移性质、对称性时域卷积定理、频域卷积定理时域卷积定理、频域卷积定理帕斯维尔定理帕斯维尔定理 例例1、设、设x(n)=RN(n)，求，求x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。当当N=4时，其幅度与相位随频率时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图所示：的变化曲线如图所示： 1、傅里叶变换的周期性、傅里叶变换的周期性l傅里叶分析规律：傅里叶分析

30、规律：l则离散非周期序列的傅里叶变换是：则离散非周期序列的傅里叶变换是：连续周期连续周期的。的。离散离散连续连续周期性周期性非周期性非周期性1、傅里叶变换的周期性、傅里叶变换的周期性傅里叶变换是频率傅里叶变换是频率的周期函数，周期是的周期函数，周期是2。说明：由于傅里叶变换的周期是说明：由于傅里叶变换的周期是2，一般只分析，一般只分析或或02的范围。的范围。1、傅里叶变换的周期性、傅里叶变换的周期性2、线性性质3、时移与频移性质时移性质：时移性质：频移性质：频移性质：4、傅里叶变换的对称性l（1）共轭对称的定义）共轭对称的定义设序列设序列xe(n)满足：满足：则称则称xe(n)为共轭对称序列。

31、为共轭对称序列。4、傅里叶变换的对称性结论：共轭对称序列的实部是偶对称的，虚部结论：共轭对称序列的实部是偶对称的，虚部是奇对称的。是奇对称的。4、傅里叶变换的对称性l（2）共轭反对称定义）共轭反对称定义设序列设序列xo(n)满足：满足：则称则称xo(n)为共轭反对称序列。为共轭反对称序列。4、傅里叶变换的对称性结论：共轭反对称序列的实部是奇对称的，虚结论：共轭反对称序列的实部是奇对称的，虚部是偶对称的。部是偶对称的。（3）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即之和表示，即 又又则则4、傅里叶变换的对称性l同理同理4、傅里叶变换的对称性 （4）傅里

32、叶变换的对称性质）傅里叶变换的对称性质将上式进行傅里叶变换，得到将上式进行傅里叶变换，得到:4、傅里叶变换的对称性结论：结论：l序列分成实部与虚部两部分，序列分成实部与虚部两部分，l实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性；实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性；l虚部和虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。反对称性。4、傅里叶变换的对称性将序列分成共轭对称部分将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反和共轭反对称部分对称部分xo(n)，即，即 x(n)=xe(n)+xo(n)则则4、傅里叶变换的对称性结论：结论：l序列序列x(n)的共轭对称部分的共轭对称部分xe(n)

33、对应着对应着X(ej)的实部的实部ReX(ej)；l序列序列x(n)的共轭反对称部分的共轭反对称部分xo(n)对应着对应着X(ej)的虚部乘的虚部乘j，即，即jImX(ej)。4、傅里叶变换的对称性5、时域卷积定理若若y(n)=x(n)*h(n),则则6、频域卷积定理 若若y(n)=x(n)h(n),则则7、帕斯维尔定理定理表明：时域的总能量等于频域的总定理表明：时域的总能量等于频域的总能量。能量。2.3周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式傅里叶变换表示式l掌握周期序列的离散傅里叶级数掌握周期序列的离散傅里叶级数l掌握周期序列的傅里叶变换掌握周期序列的傅里叶变换

34、一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数设设是以是以N为周期的周期序列，其离为周期的周期序列，其离散傅里叶级数的系数是散傅里叶级数的系数是则则)(kX例例2、设、设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期进为周期进行周期延拓，得到周期序列，周期为行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求，求DFS一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数l幅度特性一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数各种傅里叶变换的定义及特点类别类别时域特时域特点点频域特频域特点点公式公式连续傅连续傅里叶级里叶级数

35、数连续连续周期周期离散离散非周期非周期连续时连续时间傅里间傅里叶变换叶变换连续连续非周期非周期连续连续非周期非周期各种傅里叶变换的定义及特点类别类别时域特时域特点点频域特频域特点点公式公式离散傅离散傅里叶级里叶级数数离散离散周期周期离散离散周期周期离散时离散时间傅里间傅里叶变换叶变换离散离散非周期非周期连续连续周期周期二、周期序列的傅里叶变换l因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它的的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数成离散傅里叶级数，引入奇异函数(W)，其，其FT可以用公式表示出来。

36、可以用公式表示出来。l（知识回顾）连续信号的傅里叶变换对（知识回顾）连续信号的傅里叶变换对l离散信号中存在傅里叶变换对离散信号中存在傅里叶变换对周期序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换例例3、设、设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期进为周期进行周期延拓，得到周期序列，周期为行周期延拓，得到周期序列，周期为8，求，求FT解：已知解：已知得：得：l其幅度频谱为：l对比例2二、周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换课堂练习2、序列、序列的傅里叶变换的傅里叶变换为为_。3 设系统的单

37、位脉冲响应设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a0时，时，h(n)=0B当当n0时，时，h(n)0C当当n0时，时，h(n)=0D当当n1时时 X(z)存在，因此收敛域为存在，因此收敛域为|z|1二、序列特性对收敛域的影响l1有限长序列有限长序列其其z变换为：变换为：有限长序列的收敛域一般是有限长序列的收敛域一般是0|z|，有，有时也包括时也包括z=0或或z=处。处。其它有限长序列有限长序列l n10,n20时，时，ROC为：为：ln10时，时，ROC为：为：ln10,n20时，时，ROC为：为：0|z|0|z|0|z|有限长序列有限长序列l例例6、求、求x(n)=RN(n)的的Z

38、变换及其收敛域。变换及其收敛域。解：解：收敛域为：收敛域为：0a, 求其逆求其逆Z变换变换x(n)。解解n0时，时，F(z)在在c内只有内只有1个极点：个极点：z1=a；n0时，时，F(z)在在c内有内有2个极点：个极点：z1=a,z2=0（高阶）；（高阶）；1、留数法l则则n0时，时，ln0时，围线内有高阶极点，由于时，围线内有高阶极点，由于F(z)的分母阶的分母阶次比分子阶次高二阶以上，因而求圆外极点留次比分子阶次高二阶以上，因而求圆外极点留数。由于围线外无极点，故数。由于围线外无极点，故n|a1|，对应的，对应的x(n)是因果序列；是因果序列；（2）|z|a|，对应的，对应的x(n)是左

39、序列；是左序列；（3）|a|z|a1|:这种情况的原序列是因果序列，无须求这种情况的原序列是因果序列，无须求n0时的时的x(n)。当当n0时，时，F(z)在在c内有两个极点：内有两个极点：z=a和和z=a1，因此，因此1、留数法最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。 1、留数法（2） 收敛域为收敛域为|z|a|:原序列是左序列，无须计算原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当情况。实际上，当n0时，围线积分时，围线积分c内没有极点，因此内没有极点，因此x(n)=0。n0时，时，c内只有一个极点内只有一个极点z=0，且是，且是n阶极点，改求阶极点，改求c外外极点留数之和。即极点留数之和

40、。即最后将最后将x(n)表示成封闭式：表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)1、留数法（3） 收敛域为收敛域为|a|z|a1|: x(n)是双边序列。根据被积函数是双边序列。根据被积函数F(z)，按按n0和和n0两种情况分别求两种情况分别求x(n)。 n0时，时，c内只有内只有1个极点：个极点：z=a, 则则 x(n)=ResF(z), a=ana1/a收敛域1、留数法na课堂练习l2、 的Z变换为 _ ，收敛域为_。 1/(1-az-1) ，zal3、判断题、判断题序列序列z变换的收敛域内可以含有极点。变换的收敛域内可以含有极点。()错错课堂练习4、已知、已知求求z反变换。反变换。解

41、解:所以当所以当n0时，时，x(n)=0。只需考虑。只需考虑n0时的情况。时的情况。课堂练习如图所示，取收敛域的一个围线如图所示，取收敛域的一个围线c，可知，可知当当n0时时,C C内有两个一阶极点内有两个一阶极点 ，所以所以 课堂练习5、已知已知，求求z反变换。反变换。课堂练习如图所示，取收敛域的一个围线如图所示，取收敛域的一个围线c，分两种情况讨论：分两种情况讨论：（1）n1时，时，C C内只有一个一阶极点内只有一个一阶极点 课堂练习课堂练习（2 2）当）当n0, ,0,1,即即s平面的平面的右半平面右半平面映射到映射到z平面平面单位圆外单位圆外；r1,即即s平面的平面的左半平面左半平面映

42、射到映射到z平面平面单位圆内单位圆内；s平面和平面和z平面之间的映射关系平面之间的映射关系（2）与与的关系（的关系（=T）s平面宽平面宽的水平条带对的水平条带对应应整个整个z平面。平面。= 0， = 0，s平面的实轴对应平面的实轴对应 z平面正实轴；平面正实轴；s平面和平面和z平面之间的映射关系平面之间的映射关系 s平面宽平面宽的水平条的水平条带，同样对应带，同样对应整个整个z平面。平面。s平面和平面和z平面之间的映射关系平面之间的映射关系六、z变换与理想抽样信号傅立叶变换的关系序列的序列的z变换为：变换为：傅立叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例傅立叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例理想抽样信号的

43、拉普拉斯变换为：理想抽样信号的拉普拉斯变换为：z变换与傅立叶变换的关系可得可得z变换与傅立叶变换之间的关系：变换与傅立叶变换之间的关系： 抽样序列在单位圆上的抽样序列在单位圆上的z变换变换,就等于理想抽样信就等于理想抽样信号傅立叶变换。号傅立叶变换。 单位圆上的单位圆上的z变换称为序列的傅里叶变换变换称为序列的傅里叶变换(频谱频谱)，也称为离散时间傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换(DTFT)。2.6利用利用Z变换分析信号和系统的频变换分析信号和系统的频响特性响特性一、系统函数一、系统函数在线性时不变系统中，在线性时不变系统中，h(n)表示系统的表示系统的单位单位冲激响应冲激响应，它反映了系统

44、的特性。，它反映了系统的特性。H(z)称作线称作线性时不变系统的性时不变系统的系统函数系统函数。 系统函数系统函数在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。令令，得，得h(n)的傅立叶变换（系统的频的傅立叶变换（系统的频率响应）。率响应）。二、因果稳定系统（从z变换收敛域判断） 回顾因果稳定的线性时不变系统的充要条件是？回顾因果稳定的线性时不变系统的充要条件是？因果：因果：h(n)是因果序列。是因果序列。稳定：稳定：h(n)绝对可和。绝对可和。故，线性时不变系统因果稳定的充要条件是：故，线性时不变系统因果稳定的充要条件是：h(n)是是因果序列因果序列且且绝

45、对可和绝对可和，即：，即：h(n)序列绝对可和，即序列绝对可和，即h(n) 的傅里叶变换存在，的傅里叶变换存在，则其则其z变换收敛域必须包括变换收敛域必须包括 。单位圆单位圆因果稳定系统（从z变换收敛域判断） 所以：一个所以：一个因果稳定系因果稳定系统统的系统函数的系统函数H(z)的收敛域必须在从的收敛域必须在从单位圆到单位圆到的整个的整个z域内域内收敛。收敛。 或：或：系统函数的全部极点都必须在单位圆内。系统函数的全部极点都必须在单位圆内。思考：判断系统因果稳定的方法有几种？思考：判断系统因果稳定的方法有几种？解解H(z)的极点为的极点为z=a, z=a1。（1） 收敛域为收敛域为a1|z|

46、: 对应的系统是因果系统，但由于收对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。（2） 收敛域为收敛域为0|z|a: 对应的系统是非因果且不稳定系统。对应的系统是非因果且不稳定系统。（3） 收敛域为收敛域为a|z|a1: 对应一个非因果系统，但由于收敛对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。域包含单位圆，因此是稳定系统。例例14、已知、已知分析其因果性和稳定性。分析其因果性和稳定性。因果稳定系统（从z变换收敛域判断）三、系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：线性移不变系统常用差分方程表示：取取z变换得

47、：变换得：系统函数和差分方程的关系分析：分析： 在已知在已知收敛域收敛域的条件下系统的条件下系统的特性由系数的特性由系数bm、ak决定。决定。在已知收敛域的条件下系统在已知收敛域的条件下系统的特性由系数的特性由系数cm、dk决定。决定。注：仅有差分方程，不能唯一确定系统注：仅有差分方程，不能唯一确定系统四、系统的频率响应的意义 系统单位抽样响应系统单位抽样响应h(n)的傅立叶变换的傅立叶变换称称作系统作系统频率响应频率响应。对于线性时不变系统：对于线性时不变系统：系统的频率响应的意义若输入为正弦信号，输出也为正弦信号。五、频率响应的几何确定1 1、频率响应的零极点表达式、频率响应的零极点表达式

48、频率响应的几何确定频率响应的几何确定2、几点说明、几点说明(1)单位圆附近的单位圆附近的零点零点对幅度响应的对幅度响应的谷点谷点的的位位置与深度置与深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。谷点为零。零点可在单位圆外。(2)单位圆附近的单位圆附近的极点极点对幅度响应的对幅度响应的峰点峰点的的位位置置和和高度高度有明显影响，极点越接近单位圆，峰有明显影响，极点越接近单位圆，峰值就越尖锐。极点在单位圆上，系统不稳定。值就越尖锐。极点在单位圆上，系统不稳定。频率响应的几何确定零点在单位圆上零点在单位圆上0和和pi处；极点在处；极点在处处。频率

49、响应的几何确定解：系统的传输函数为：解：系统的传输函数为： 例例1515、已知系统的差分方程为：、已知系统的差分方程为：指出系统函数的零极点并分析系统的频响特性。指出系统函数的零极点并分析系统的频响特性。解：解：极点为极点为z=b ，零点为，零点为z=0例例16、已知、已知H(z)=1zN，试定性画出系统的幅频，试定性画出系统的幅频特性。特性。解解极点：极点：H(z)的极点为的极点为z=0，这是一个，这是一个N阶极点，它不影阶极点，它不影响系统的幅频响应。响系统的幅频响应。零点：零点：零点有零点有N个，由分子多项式的根决定。个，由分子多项式的根决定。即频率响应的几何确定lN个零点等间隔分布在单

50、位圆上，设个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布，极零点分布如图所示：如图所示：频率响应的几何确定重要公式重要公式l傅里叶变换的正变换傅里叶变换的正变换l傅里叶变换的逆变换傅里叶变换的逆变换l注意正变换存在的条件是：序列服从绝对可注意正变换存在的条件是：序列服从绝对可和的条件。和的条件。l离散傅里叶级数变换对离散傅里叶级数变换对l可用于表现周期序列的频谱特性。可用于表现周期序列的频谱特性。l周期序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换 如果周期序列的周期是如果周期序列的周期是N，则其频谱由则其频谱由N条谱线组成，条谱线组成，注意画图时要用注意画图时要用带箭头带箭头的线段的线段表示。表示。

51、lZ变换的正变换变换的正变换双边双边Z变换注意收敛域变换注意收敛域课堂练习l1、若、若H（Z）的收敛域包括）的收敛域包括点，则点，则h（n）一定是）一定是_序列。序列。因果因果l2、线性时不变系统、线性时不变系统h(n)是因果系统的充是因果系统的充要条件是要条件是_。lh(n)=0,n0或或收敛域在某圆的外面收敛域在某圆的外面l3、线性时不变系统线性时不变系统h(n)是稳定系统的充是稳定系统的充要条件是要条件是_。lh(n)绝对可和绝对可和或或收敛域包括单位圆收敛域包括单位圆l4、时域离散线性时不变系统的系统函数、时域离散线性时不变系统的系统函数为为若要求系统稳定，则若要求系统稳定，则a的取值

52、域为的取值域为_和和b的取值域为的取值域为_。l|a|1,|b|1l5、时域离散线性时不变系统的系统函数、时域离散线性时不变系统的系统函数为为若要求系统因果稳定，则若要求系统因果稳定，则a的取值域为的取值域为_和和b的取值域为的取值域为_。l0|a|1,0|b|M，LN）用）用w(n)表示，表示，w(n)=y(n)的条件是的条件是_。llLM+N-1l2、对6点有限长序列5，1，3，0，5，2进行向左2点圆周移位后得到序列_。l3，0， 5，2，5，1 课堂练习3、离散傅里叶变换中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，都隐含有周期性的意思。( ) 对4、 已知长度为N=10的两个有限

53、长序列：（1）做图表示x1(n)、 x2(n)（2）求y1(n)=x1(n) * x2(n)（3）求y2(n)=x1(n) * x2(n) ， 循环卷积区间长度L=10。课堂练习5、假设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号x(n)分别用下式表示（1）计算该系统的输出信号y(n)（2）如果对x(n)和h(n)分别进行12点DFT，得到X(k)和H(k),令求y1(n)解：（1）y(n)=1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1（2）y1(n)= 1,2,3,4,4,4,4,4,3,2,1,04.2基基2FFT算法算法一、一、DFTDFT的计算工作量的计算工作量 以正变换为例：以正变换

54、为例： 计算所有的计算所有的X X( (k k) )就要就要N N 2 2次复数次复数乘法乘法运算运算, ,N N( (N N-1)-1)N N 2 2次复数次复数加法加法运算。运算。 当当N N很很大大时时, ,运运算算量量将将是是惊惊人人的的, ,如如N N=1024,=1024,则则要要完完成成1048576 1048576 次次( (一百多万次一百多万次) )运算。这样运算。这样, ,难以做到实时处理。难以做到实时处理。 通常通常x( (n n) )和和 都是复数都是复数, ,所以计算一个所以计算一个X X( (k k) )的值需要的值需要N N 次复数次复数乘法乘法运算运算, ,和和

55、N N-1-1次复数次复数加法加法运算。运算。l算法基本思想：算法基本思想：FFT算法就是不断地把长序列的算法就是不断地把长序列的DFT分解成几分解成几个短序列的个短序列的DFT，并利用的周期性和对，并利用的周期性和对称性来减少称性来减少DFT的运算次数。的运算次数。回顾： 的性质有关系数关系：有关系数关系： 利利用用这这些些性性质质可可大大大大减减少少DFT的的计计算算量量，用用这这种方法计算种方法计算DFT称为快速傅里叶变换（称为快速傅里叶变换（FFT)。FFT分分按时间抽取按时间抽取(DIT)和和按频率抽取按频率抽取(DIF)两大类。两大类。二、二、按时间抽取法基按时间抽取法基2FFT算

56、法原理算法原理(一一)N/2点点DFT1、先将、先将x(n)按按n的的奇偶奇偶分为两组作分为两组作DFT，设，设N=2L,不足时可补零。这样有不足时可补零。这样有:n为偶数时为偶数时:n为奇数时为奇数时:下面用下面用x1(r)和和x2 (r)来求来求x(n)的的DFT。(一一)N/2点点DFT 2、两点结论、两点结论:(1)、均为均为N/2点的点的DFT。(2)只能确定出只能确定出的的N/2个值个值（即前一半的结果）（即前一半的结果）(一一)N/2点点DFT(一一)N/2点点DFT3、X(k)的后一半的确定的后一半的确定由于由于（周期性）（周期性）,所以所以:(一一)N/2点点DFT可见可见,

57、 X(k)的后一半，也完全由的后一半，也完全由X1(k), X2 (k)确定。确定。N点的点的DFT可由两个可由两个N/2点的点的DFT来计算来计算.(一一)N/2点点DFT4、蝶形运算、蝶形运算蝶形运算蝶形运算，运算结构如下：，运算结构如下：(一一)N/2点点DFT例如例如 N N=8=8时的时的DFT,DFT,可以分解为两个可以分解为两个N N/2=4/2=4点的点的DFTDFT。 具体方法如下具体方法如下: :(1)(1)n n为偶数时为偶数时, ,即即分别记作分别记作: :(一一)N/2点点DFT (2) (2) n n为奇数时为奇数时, ,分别记作分别记作: :(一一)N/2点点DF

58、T整个过程如下图所示整个过程如下图所示:X X1(0)(0)X X1(1)(1)X X1(2)(2)X X1(3)(3)X X2(0)(0)X X2(1)(1)X X2(2)(2)X X2(3)(3)x1 1(0)=(0)=x(0)(0)x1(1)=(1)=x(2)(2)x1(2)=(2)=x(4)(4) x1(3)=(3)=x(6) (6) x2(0)=(0)=x(1) (1) x2(1)=(1)=x(3) (3) x2(2)=(2)=x(5) (5) x2(3)=(3)=x(7) (7) N/2N/2点点 DFTDFTN/2N/2点点 DFTDFTW0NX(0)X(0)X(4)X(4)W1

59、NX(1)X(1)X(5)X(5)W2NX(2)X(2)X(6)X(6)W3NX(3)X(3)X(7)X(7)(1)(1)N N/2/2点的点的DFTDFT运算量运算量: : 复乘次数复乘次数: : 复加次数复加次数: :(2)(2)两个两个N N/2/2点的点的DFTDFT运算量运算量: :上述次数的上述次数的2 2倍；倍；(3)(3)N N/2/2个蝶形运算的运算量个蝶形运算的运算量: :复乘次数复乘次数: :复加次数复加次数: : (一一)N/2点点DFT5、运算量分析、运算量分析按按奇、偶奇、偶分组后的计算量：分组后的计算量：(一一)N/2点点DFT总共运算量总共运算量: :复乘复乘:

60、 :复加复加: : 比比较较N N点点DFTDFT的的运运算算量量，N N点点DFTDFT的的复复乘乘为为N N 2 2 ; ;复复加加N N( (N N-1);-1);与与分分解解后后相相比比可可知知, ,计计算算工工作作量量差差不不多减少一半。多减少一半。 (二) N/4点DFT 由于由于N N=2=2L , ,所以所以 N N/2/2仍为偶数仍为偶数, ,可以进一步把可以进一步把每个每个N N/2/2点的序列再按其点的序列再按其奇偶奇偶部分分解为两个部分分解为两个N N/4/4的子序列。例如，的子序列。例如，n n为偶数时的为偶数时的 N N/2/2点分点分解为解为: :分解后的每个序列

61、进行分解后的每个序列进行N N/4/4点的点的DFT,DFT,得到得到(二) N/4点DFT从而有：从而有：(二) N/4点DFT 同同样样对对n为为奇奇数数时时，N/2点点分分为为两两个个N/4点点的的序列序列:分解后的每个序列进行分解后的每个序列进行N N/4/4点的点的DFT,DFT,得到得到(二) N/4点DFT从而有：从而有：(二) N/4点DFT 利用可约性：利用可约性： 可将系数可将系数 化为统一的点数。化为统一的点数。如下所示：如下所示：(二) N/4点DFT 例如，例如，N=8时的时的DFT可分解为四个可分解为四个N/4的的DFT，具体步骤如下具体步骤如下: （1）序列分解）

62、序列分解(二) N/4点DFT同样：同样： 分别构成4个N/4点DFT，从而得到X3(0)、X3(1)、X4(0)、X4(1) 、X5(0)、X5(1) 、X6(0)、X6(1) 。(二) N/4点DFT （2）蝶形运算）蝶形运算 由由X3(0),X3(1),X4(0),X4(1)进行碟形运算进行碟形运算,得到得到X1(0),X1(1),X1(2),X1(3)。由由X5(0),X5(1),X6(0),X6(1)进行碟形运算进行碟形运算,得到得到X2(0),X2(1),X2(2),X2(3)。由由X1(0),X1(1),X1(2),X1(3)，X2(0),X2(1),X2(2),X2(3)再进行

63、碟形运算再进行碟形运算,得到得到X(0),X(1),X(2),X(3)X(4),X(5),X(6),X(7)(二) N/4点DFT(二) N/4点DFT这样这样, ,又一次分解又一次分解, ,得到四个得到四个N N/4/4点点DFT,DFT,两级蝶形运两级蝶形运算算, ,其运算量又大约其运算量又大约减少一半减少一半。 对于对于N N=8=8时时DFT,DFT,N N/4/4点即为两点点即为两点DFT,DFT,也可以用蝶形运也可以用蝶形运算实现，如下所示：算实现，如下所示： (二) N/4点DFT也即也即：8点DIT-FFT运算流图这种这种FFT算法算法,是是在时间上在时间上对输入序对输入序列次

64、序的奇偶性进行分列次序的奇偶性进行分解的，所以解的，所以称作称作按时间抽取的算法（按时间抽取的算法（DIT）三、三、DIT-FFT与与DFT运算量的比较运算量的比较N=8需三级蝶形运算需三级蝶形运算N=23=8，由此，由此可知，可知，N=2M共需共需M级蝶形运算级蝶形运算,而且每级而且每级都由都由N/2个蝶形运算个蝶形运算组成，每个蝶组成，每个蝶形运算形运算有有一次复乘，两次复加一次复乘，两次复加。N点的点的FFT的运算量为：的运算量为：复乘次数：复乘次数：(N/2)*M=(N/2)log2N复加次数：复加次数：N*M=Nlog2NN点的点的DFT直接计算的运算量为：直接计算的运算量为：复乘次

65、数：复乘次数：N*N复加次数：复加次数：N*（N-1）三、三、DIT-FFT与与DFT运算量的比较运算量的比较四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想 1、原位运算、原位运算输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器由运算流图可知，由运算流图可知，基基2FFT算法算法一共有一共有log2 N=M级蝶形运算，每一级共级蝶形运算，每一级共N/2个蝶形运算，个蝶形运算，而且每个蝶形仅与蝶形的而且每个蝶形仅与蝶形的2个输入有关，也仅有个输入有关，也仅有2个输出值，这个输出值，这4个值均与其它蝶形运算无关，个值均与其它蝶形运算无关，

66、而且而且2个输入值在计算完输出值后没有其它用途。个输入值在计算完输出值后没有其它用途。因此，可用因此，可用2个输入单元保存个输入单元保存2个输出值。个输出值。即实即实现所谓现所谓原位运算原位运算。四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想l2、旋转因子的变化规律、旋转因子的变化规律N点点DIT-FFT运算流图中，每级都有运算流图中，每级都有N/2个蝶形。个蝶形。每个蝶形都要乘以旋转因子，每个蝶形都要乘以旋转因子，p为旋转因子为旋转因子的指数。但各级的旋转因子和循环方式都有所的指数。但各级的旋转因子和循环方式都有所不同。为了编写计算程序，应先找出旋转因子不同。为了编写计算程序

67、，应先找出旋转因子与运算级数的关系。用与运算级数的关系。用L表示从左到右的运算级表示从左到右的运算级数数(L=1，2，M)。第第L级共有级共有2L1个不同的个不同的旋转因子。旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下：时的各级旋转因子表示如下：四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想对对N=2M的一般情况，第的一般情况，第L级的旋转因子为级的旋转因子为四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想因为因为所以所以按上两式确定第按上两式确定第L级运算的旋转因子级运算的旋转因子(实际编程序时，实际编程序时，L为最外层循环变量为最外层循环变量)。四、四、DI

68、T-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想3 蝶形运算规律蝶形运算规律设序列设序列x(n)经倒序后，存入数组经倒序后，存入数组A中。如果蝶形运算中。如果蝶形运算的两个输入数据相距的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式：可表示成如下形式：式中式中下标下标L表示第表示第L级运算，级运算，AL(J)则表示第则表示第L级运算后的数组级运算后的数组元素元素A(J)的值（即第的值（即第L级蝶形的输出数据）。而级蝶形的输出数据）。而AL1(J)表表示第示第L级运算前级运算前A(J)的值（即第的值（即第L级蝶形的输入数据）。级蝶形的输入数据）。

69、四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想4、编程思想、编程思想运算规律：运算规律：l第第L级中，每个蝶形的两个输入数据相距级中，每个蝶形的两个输入数据相距B=2L1个点；个点；l每级有每级有B个不同的旋转因子；个不同的旋转因子；l同一旋转因子对应着间隔为同一旋转因子对应着间隔为2L点的点的2ML个蝶形。个蝶形。四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想5、序列的倒序序列的倒序由图可知，输出由图可知，输出X(k)按正常顺序排列在按正常顺序排列在存储单元，而输入是按顺序存储单元，而输入是按顺序:这种顺序称作这种顺序称作倒序倒序。造成这种排列的原因是序列按下

70、标是否造成这种排列的原因是序列按下标是否奇偶数抽取而引起的。奇偶数抽取而引起的。四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想形成倒序的树状图形成倒序的树状图n =00n =10n =01n =11n =01n =1101010101 (n2)x(000) 0x(100) 4x(010) 2x(110) 6x(001) 1x(101) 5x(011) 3x(111) 7（偶）（奇）四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 01 0 0 0 1 11 1 0 0 0 4 0 4 2 02 0 1

71、 1 0 00 0 1 1 0 2 0 2 3 03 0 1 1 1 11 1 1 1 0 6 0 6 4 14 1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 5 15 1 0 0 1 11 1 0 0 1 5 1 5 6 16 1 1 1 0 00 0 1 1 1 3 1 3 7 17 1 1 1 1 11 1 1 1 1 7 1 7 自然顺序自然顺序n n 二进制二进制n n n n n n 倒位序二进制倒位序二进制n n n n n n 倒位顺序倒位顺序n n 2 1 0 0 1 2四、四、DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想一、算法原理一、算法原理1.N点点DFT

72、的另一种表达形式的另一种表达形式五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF-FFT) 由于由于 故故 因此因此 X(k)X(k)可表为可表为五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF-FFT)2.2.N N点点DFTDFT按按k的的奇奇偶偶分分组组可可分分为为两两个个N N/2/2点点DFTDFT 当当k为偶数为偶数, ,即即 k=2=2m时时,(-1),(-1)k k =1 =1 当当k为奇数为奇数, ,即即 k=2=2m+1 +1 时时 (-1)(-1)k k =-1 =-1 这时这时X(X(k) )可分为两部分：可分为两部分：k为偶数时为偶数时：五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF

73、-FFT) k k为奇数时：为奇数时：令令五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF-FFT)3.3.蝶形运算蝶形运算 X(k)按按奇偶奇偶k值值分为两组，其偶数组是分为两组，其偶数组是x1(n)的的N/2点点DFT，奇数组则是，奇数组则是x2(n)的的N/2点点DFT。五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF-FFT)4.4.N N=8=8时时, ,按按k k的奇偶分解过程的奇偶分解过程 先蝶形运算，后先蝶形运算，后DFT:DFT:五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF-FFT)再将再将N N/2/2点点DFTDFT按按k k的奇偶分解为两个的奇偶分解为两个N N/4/4点的点的DFT

74、,DFT,如此进行下去如此进行下去, ,直至分解为直至分解为2 2点点DFTDFT。 例如例如 N N=8=8时时DIFDIF的的FFTFFT流图如下：流图如下：五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF-FFT)5、DIFDIF法与法与DITDIT法的异同法的异同相同点：相同点： (1)(1)进行原位运算；进行原位运算； (2)(2)运算量相同运算量相同 复乘复乘：（：（N N/2)/2)LogLog2 2N N次次, ,复加复加：N NLogLog2 2N N次。次。不同点：不同点： (1)DIT(1)DIT输入为倒序输入为倒序, ,输出为自然顺序；输出为自然顺序；DIFDIF正好与此相反

75、。正好与此相反。 (2)(2)蝶形运算不同。蝶形运算不同。五、频域抽取法五、频域抽取法FFT(DIF-FFT)六、六、IDFT算法算法方法方法1： 比较两者差别：两者差别： （1）把）把DFT中的每一个系数中的每一个系数 改为改为 ， （2）再乘以常数）再乘以常数 1/N 。方法方法2：由由故故将将X(k)取共轭（虚部乘以取共轭（虚部乘以-1）对对直接作直接作FFT对对FFT的结果取共轭并乘以的结果取共轭并乘以1/N，得，得x(n)六、六、IDFT算法算法七、七、FFT的应用的应用实数序列的实数序列的FFT以以上上讨讨论论的的FFT算算法法都都是是复复数数运运算算,包包括括序序列列x(n)也也

76、认认为为是是复复数数，但但实实际际存存在在的的信信号号是是实实数数序列。序列。如如果果把把实实信信号号看看成成虚虚部部为为零零的的复复信信号号(x(n)+j0),再再用用FFT求求其其离离散散傅傅里里叶叶变变换换。这这种种作作法法也也可可以以，但但很很不不经经济济，因因为为把把实实序序列列变变成成复复序序列列，存存储储器器要要增增加加一一倍倍，且且计计算算机机运运行行时时，即即使使虚虚部部为为零零，也也要要进进行行涉涉及及虚虚部部的的运运算算，浪浪费了运算量。费了运算量。 合理的解决方法是利用复数合理的解决方法是利用复数FFT对实数进行对实数进行有效计算，下面介绍两种方法。有效计算，下面介绍两

77、种方法。用一个用一个N点点FFT同时计算两个同时计算两个N点实序列的点实序列的DFT设设x(n)、y(n)是彼此独立的两个是彼此独立的两个N点实序列点实序列,且且X(k)=DFTx(n)，Y(k)=DFTy(n)则则X(k)、Y(k)可通过一次可通过一次FFT运算同时获得。运算同时获得。首首先先将将x(n)、y(n)分分别别当当作作复复序序列列的的实实部部及及虚虚部，令部，令g(n)=x(n)+jy(n)七、七、FFT的应用的应用实数序列的实数序列的FFT通过通过FFT运算可获得运算可获得g(n)的的DFT值值G(k)，记作：，记作：利用离散傅里叶变换的利用离散傅里叶变换的共轭对称性共轭对称性

78、说明：下标r和i分别表示实部和虚部七、七、FFT的应用的应用实数序列的实数序列的FFT 作一次作一次点复序列的点复序列的FFT，再通过加、减，再通过加、减法运算就可以将法运算就可以将X(k)与与Y(k)分离出来。显然，这分离出来。显然，这将使运算效率提高一倍。将使运算效率提高一倍。七、七、FFT的应用的应用实数序列的实数序列的FFT课堂练习1、一个蝶形运算，需要、一个蝶形运算，需要_次复数乘次复数乘法和法和_次复数加法运算。次复数加法运算。l一次，两次一次，两次 2、对于、对于N点（点（N=2M）的按时间抽取的基）的按时间抽取的基2FFT算法，共需要作算法，共需要作_次复数次复数乘和乘和_次复

79、数加。次复数加。lMN/2 , MN课堂练习3、下列关于、下列关于FFT说法错误的是（说法错误的是（）。）。A.DIF-FFT算法与算法与DIT-FFT算法的运算量一样。算法的运算量一样。B.DIT-FFT算法输入序列为自然顺序，而输出为算法输入序列为自然顺序，而输出为倒序排列。倒序排列。C.DIF-FFT算法与算法与DIT-FFT算法的蝶形运算略有算法的蝶形运算略有不同，不同，DIF-FFT蝶形先加蝶形先加(减减)后相乘，而后相乘，而DIT-FFT蝶形先乘后加蝶形先乘后加(减减) 。D.FFT算法就是不断地把长序列的算法就是不断地把长序列的DFT分解成几分解成几个短序列的个短序列的DFT来减

80、少来减少DFT的运算次数。的运算次数。lB课堂练习l作业： 画出画出16点基点基2DIT-FFT和基和基2DIF-FFT的运算流图，并计算其复乘和复加的的运算流图，并计算其复乘和复加的计算量。计算量。l思考：用一个用一个N点的点的FFT运算获得一个运算获得一个2N点实序点实序列的列的DFT。计算步骤：计算步骤：（1）由）由x1(n)及及x2(n)组成复序列，经组成复序列，经FFT运算求运算求Y(k)（2）利用共轭对称性求出）利用共轭对称性求出X1(k)、X2(k)（3）最后利用上式求出）最后利用上式求出X(k),达到用一个达到用一个N点的点的FFT计算一个计算一个2N点的实序列的点的实序列的D

81、FT的目的。的目的。1、滤波器的差分方程、滤波器的差分方程 所所以以，一一个个滤滤波波系系统统的的输输出出是是其其过过去去N N点点输输出出的的线线性性组组合合加加上上当当前前输输入入序序列列与与过过去去M M点点输输入入序序列列的的线线性性组组合合。输输出出 除除了了与与当当前前的的输输入入 有有关关，同同时时还还与与过过去去的的输输入入和和过过去去的的输输出出有有关关，系系统统是是带带有有记忆的记忆的。5.1 引言5.1 引言数字滤波是数字信号处理的一个基本应用。数字滤波是数字信号处理的一个基本应用。一个数字滤波器的系统函数一般表示为有理函一个数字滤波器的系统函数一般表示为有理函数形式：数

82、形式：2、数字滤波器的实现方法：、数字滤波器的实现方法：数字滤波器的数字滤波器的功能功能就是就是把输入序列把输入序列x(n)通通过一定的运算变换成输出序列过一定的运算变换成输出序列y(n)。（a）直接利用通用的计算机和通用软件编程）直接利用通用的计算机和通用软件编程实现；实现；（b）利用专用数字硬件、专用的）利用专用数字硬件、专用的DSP芯片实芯片实现。现。3、数字滤波的基本操作：、数字滤波的基本操作：加法，加法，乘法，乘法，延迟。延迟。5.1 引言5.2 用信号流图表示网络结构1、信号流图的表示方法、信号流图的表示方法为了表示简单，通常用信号流图来表示其为了表示简单，通常用信号流图来表示其运

83、算结构。运算结构。延迟：相乘：相加：（b）信号流图表示法（a）方框图表示法2、基本信号流图满足的条件：、基本信号流图满足的条件：（1）信号流图中所有支路都是基本支路，信号流图中所有支路都是基本支路，即支路增益是常数或者是即支路增益是常数或者是z1；（2）流图环路中必须存在延迟支路；流图环路中必须存在延迟支路；（3）节点和支路的数目是有限的。节点和支路的数目是有限的。5.2 用信号流图表示网络结构3、几个基本概念：、几个基本概念：a）输入节点输入节点或源节点，或源节点，x(n)所处的节点；所处的节点；b）输出节点输出节点或吸收节点，或吸收节点，y(n)所处的节点；所处的节点；c）分支节点分支节点

84、，一个，一个(以上以上)输入，一个输入，一个(以上以上)输输出的节点；将值出的节点；将值分配分配到每一支路，到每一支路，当支路不标当支路不标传输系数时，就认为其传输系数为传输系数时，就认为其传输系数为1；d）相加器（节点）相加器（节点)或和点，有两个或两个以上或和点，有两个或两个以上输入的节点。输入的节点。注意：任何一节点值等于所有输入支路的信号注意：任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。之和。5.2 用信号流图表示网络结构5.2 用信号流图表示网络结构图示基本信号流图，写出各节点变量的表达式图示基本信号流图，写出各节点变量的表达式l根据信号流图可以求出网络的系统函数，方根据信号流图可以求出

85、网络的系统函数，方法是法是列出各个节点变量方程，形成联立方程列出各个节点变量方程，形成联立方程组，并进行求解，求出输出与输入之间的组，并进行求解，求出输出与输入之间的z域域关系。关系。5.2 用信号流图表示网络结构经过联立求解得到：经过联立求解得到： 当结构复杂时，上面利用节点变量方程联当结构复杂时，上面利用节点变量方程联立求解的方法较麻烦，可用立求解的方法较麻烦，可用梅森（梅森（Masson）公）公式式直接写直接写H(z)表示式方便。表示式方便。5.2 用信号流图表示网络结构71235465.2 用信号流图表示网络结构根据信号流图写出输入与输出之间的关系。根据信号流图写出输入与输出之间的关系

86、。5.3 IIR系统的基本网络结构IIR滤波器的特点：滤波器的特点：1、单位冲激响应、单位冲激响应h(n)是无限长的。是无限长的。2、系统函数、系统函数H(z)在有限在有限z平面（平面（）上有极点存在，系统可能不稳定。上有极点存在，系统可能不稳定。3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。反馈。IIR（Infiniteimpluseresponse）无限长单位冲激响应一、直接型一、直接型1、直接、直接I型型（1）差分方程（）差分方程（N阶）阶）（2）系统函数）系统函数5.3 IIR系统的基本网络结构（3）结构流图（按差分方程可以写出）结构流图（按差

87、分方程可以写出）5.3 IIR系统的基本网络结构（4）特点）特点第一个网络实现第一个网络实现零点零点，即实现，即实现x(n)延时加权：延时加权：第二个网络实现第二个网络实现极点极点，即实现，即实现y(n)延时加权：延时加权： 可见，第二网络是输出延时，即可见，第二网络是输出延时，即反馈网络反馈网络。网络共需（网络共需（M+N）个存储延时单元。）个存储延时单元。5.3 IIR系统的基本网络结构2、直接、直接II型（典范型型（典范型） 线性移不变系统的性质，线性移不变系统的性质，交换内部子系交换内部子系统的位置统的位置，其系统函数不变，即，其系统函数不变，即总的输入输出总的输入输出关系不变关系不变

88、，但系统内部的状态会改变。但系统内部的状态会改变。为此，可以交换直接为此，可以交换直接I型中型中2个网络的位置。个网络的位置。5.3 IIR系统的基本网络结构交换直接交换直接I型中型中2个网络的位置如下：个网络的位置如下：交换后，中间的延迟变量相同，可以合并。交换后，中间的延迟变量相同，可以合并。5.3 IIR系统的基本网络结构所以：直接所以：直接II型（典范型型（典范型）的结构）的结构改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这样改变级联次序后，将中间的两条完全相同的延时链合并。这样延时单元可以节省一倍，即延时单元可以节省一倍，即N阶滤波器只需要阶滤波器只需要N级延时单元。级延时单元

89、。5.3 IIR系统的基本网络结构例例IIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)为为画出该滤波器的直接型结构。画出该滤波器的直接型结构。解：由解：由H(z)写出差分方程如下：写出差分方程如下：5.3 IIR系统的基本网络结构该滤波器的直接型结构如下该滤波器的直接型结构如下：（请填入（请填入有关系数）有关系数）附：5.3 IIR系统的基本网络结构直接型结构的缺点：直接型结构的缺点：u 系数系数a ai i 、b bi i对滤波器性能的控制关系不直接，对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方便。调整不方便。 u极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频

90、率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。或产生较大误差。5.3 IIR系统的基本网络结构二、级联型二、级联型 把把H(z) H(z) 分解（分解（因式分解因式分解）成几个一阶）成几个一阶或二阶数字网络的级联形式：或二阶数字网络的级联形式：式中式中 表示一个一阶或二阶的数字表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个网络的系统函数，每个 的网络结的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构。构均采用前面介绍的直接型网络结构。5.3 IIR系统的基本网络结构实现步骤

91、：实现步骤：（1）先将系统函数按零、极点进行因式分解）先将系统函数按零、极点进行因式分解 其中，其中，pk为实零点，为实零点，ck为实极点；为实极点；qk，qk*表示表示复共轭零点，复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点，表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2 5.3 IIR系统的基本网络结构（2）将）将共轭因子展开共轭因子展开，构成实系数二阶因子，构成实系数二阶因子，则得则得（3）将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在）将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络：一起，形成一个二阶网络： 5.3 IIR系统的基本网络结构用公式表示为用公式表示为:分解后的分解后

92、的 可用二阶或一阶的直接型结构实现。可用二阶或一阶的直接型结构实现。5.3 IIR系统的基本网络结构图图: 一阶和二阶直接型网络结构一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构直接型二阶网络结构 5.3 IIR系统的基本网络结构例例IIR数字滤波器的系统函数数字滤波器的系统函数H(z)为为试画出其级联型网络结构。试画出其级联型网络结构。解解： 将将H(z)分分子子、分分母母进进行行因因式式分分解解，然然后后两两两两组组合合，得到：得到：5.3 IIR系统的基本网络结构所以，该级联型网络结构为所以，该级联型网络结构为（请输入有关参数）（请输入有关

93、参数）附：5.3 IIR系统的基本网络结构级联型结构的特点：级联型结构的特点：u每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和每一个基本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点，通过调整系数便于准确实现滤波器一对零点，通过调整系数便于准确实现滤波器的零点、极点，也便于性能调整。的零点、极点，也便于性能调整。u后面的网络输出不会再流到前面，因而运算的后面的网络输出不会再流到前面，因而运算的累积误差较小。累积误差较小。5.3 IIR系统的基本网络结构三、并联型三、并联型把把H(z)分解（分解（部分分式展开部分分式展开）成几个一阶）成几个一阶或二阶数字网络的或二阶数字网络的并联并联形式：形式： 式式中中，H

94、k(z)通通常常为为一一阶阶网网络络和和二二阶阶网网络络，网网络络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为5.3 IIR系统的基本网络结构 并联结构并联结构并联结构的一阶和二阶基本节结构并联结构的一阶和二阶基本节结构5.3 IIR系统的基本网络结构例例画出画出H(z)的并联型结构。的并联型结构。解解：本本H(z)已已经经分分解解成成并并联联形形式式，只只需需将将每每一一部部分分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。5.3 IIR系统的基本网络结构 附：请输入有关参数请输入有关参数5.3 IIR系统的基本网络结

95、构并联型结构的特点：并联型结构的特点：u每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因而并联型结构定一对共轭极点，因而并联型结构可以单独调整极点位可以单独调整极点位置置。但不能直接控制零点。但不能直接控制零点。u在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所在运算误差方面，并联型各基本节的误差互不影响，所以比级联型误差要稍小一些。以比级联型误差要稍小一些。u由于网络并联，可同时对输入信号进行运算，因而运算由于网络并联，可同时对输入信号进行运算，因而运算速度最快。速度最快。 因此当要求有准确的传输零点时，采用级联因此当要求有准

96、确的传输零点时，采用级联型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采型最合适，其他情况下这两种结构性能差不多，或许采用并联型稍好一点。用并联型稍好一点。5.3 IIR系统的基本网络结构5.4 FIR系统的基本网络结构FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：FIR滤波器的差分方程：滤波器的差分方程：一、一、FIR滤波器的特点：滤波器的特点：1、h(n)为有限个非零值；为有限个非零值；2、H(z)在在|z|0处收敛，在处收敛，在|z|0处只有零点，而全处只有零点，而全部极点都在部极点都在z=0处，因而系统总是因果稳定的；处，因而系统总是因果稳定的；3、实现结构上主要是非递归结构，没有

97、输出到输、实现结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。入的反馈。FIR（FiniteImpluseResponse）有限长单位冲激响应）有限长单位冲激响应5.4 FIR系统的基本网络结构一、直接型（卷积型、横截型）一、直接型（卷积型、横截型）它是直接根据卷积和公式画出，适合它是直接根据卷积和公式画出，适合N较较小的情况。小的情况。5.4 FIR系统的基本网络结构二、级联型二、级联型当需要控制滤波器的当需要控制滤波器的传输零点传输零点时，可将时，可将H(z)分分解（解（因式分解因式分解）为二阶实系数因子的乘积形式。）为二阶实系数因子的乘积形式。说明：说明：（1）N/2表示取表示取N/2的整

98、数部分。的整数部分。（2）当）当N为偶数时，有一个为偶数时，有一个 为为0。5.4 FIR系统的基本网络结构当当N为奇数时的结构如下为奇数时的结构如下：5.4 FIR系统的基本网络结构一般级联结构（一般级联结构（N为奇数）为奇数） 特点：特点： （1）每级结构可控制一对零点。）每级结构可控制一对零点。 （2）所需系数）所需系数 多，乘法次数也多。多，乘法次数也多。5.4 FIR系统的基本网络结构N为偶数呢？为偶数呢？例例设设FIR网络系统函数网络系统函数H(z)如下式：如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3试画出试画出H(z)的直接型结构和级联型结构。的直接型结构

99、和级联型结构。解：解： 将将H(z)进行因式分解，得到：进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)5.4 FIR系统的基本网络结构 （a）直接型）直接型（b）级联型）级联型 H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)附：5.4 FIR系统的基本网络结构若若FIR滤波器的单位脉冲响应滤波器的单位脉冲响应h(n)为实数，为实数，其长度为其长度为N，且满足条件，且满足条件或或偶对称：偶对称：奇对称：奇对称：则则FIR数字滤波器具有数字滤波器具有线性相位特性线性相位特性。5.

100、5 FIR系统的线性相位结构 若若 为偶数为偶数，则:当 满足偶对称条件偶对称条件时 若若 为奇数为奇数，则:5.5 FIR系统的线性相位结构当 满足奇对称条件奇对称条件时 若若 为偶数为偶数，则: 若若 为奇数为奇数，则:据以上结论可作出据以上结论可作出 N 分别为偶数和奇数两种情形下的分别为偶数和奇数两种情形下的线性相位线性相位FIR滤波器的对称结构流图：滤波器的对称结构流图：5.5 FIR系统的线性相位结构 若若N 为偶数，其为偶数，其线性相位线性相位FIR滤波器的对称结构流图滤波器的对称结构流图图中：图中：“ +1+1 ” 对应对应偶对称偶对称情况，情况，“ -1-1 ” 对应对应奇对

101、称奇对称情况。情况。5.5 FIR系统的线性相位结构 若若N 为奇数，其为奇数，其线性相位线性相位FIR滤波器的对称结构流图滤波器的对称结构流图5.5 FIR系统的线性相位结构图中：图中：“ +1+1 ” 对应对应偶对称偶对称情况，情况，“ -1-1 ” 对应对应奇对称奇对称情况。情况。l1、IIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的。( ) 课堂练习l2、通常IIR滤波器具有递归型结构。( ) 课堂练习l3、FIR滤波器的单位脉冲响应是有限长的。( ) 课堂练习课堂练习l4、已知一个IIR滤波器的系统函数为 则此滤波器的直接型结构表示为_。l5、若数字滤波器的结构如图所示：则它的差分方程为 ， 系

102、统函数为 。 y(n)=2y(n1)0.8y(n2)+x(n)+3x(n1) 课堂练习l6、假设滤波器的单位脉冲响应为：求出滤波器的系统函数，并画出它的直接型结构。答： 课堂练习l7、已知系统的单位脉冲响应为： 试写出系统的系统函数，并画出它的直接型结构。解： 将进行Z变换，得到它的系统函数 课堂练习8 图中画出了四个系统，图中画出了四个系统， 试用各子系统的单位脉冲响试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，应分别表示各总系统的单位脉冲响应， 并求其总系统函数。并求其总系统函数。 课堂练习解解：(1) h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n), H(z)=H1(z)H2(

103、z)H3(z)(2) h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z)(3) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n), H(z)=H1(z) H2(z)+H3(z)(4) h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)*h4(n)+h5(n) =h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n) H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z)课堂练习6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念l滤波的目的滤波的目的 为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号为了抑制输入信号的某些频率成

104、分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。频谱中各频率分量的相对比例。 广义滤波包括对广义滤波包括对信号的检测信号的检测与与参量的估计参量的估计。信号的检测：信号的检测：确定在干扰背景中信号是否存在。确定在干扰背景中信号是否存在。信号参量的估计：信号参量的估计：为识别信号而确定信号的某一个或某为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值。几个参量的估值。l滤波技术滤波技术 滤波器设计：滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。该特性的传输函数。 滤波过程的实现：滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到获得传输函数后，以何种方式达

105、到对输入信号进行滤波的目的。对输入信号进行滤波的目的。l数字滤波器：数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。件或程序。l优点：优点：数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器

106、的基本概念数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计原理数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字数字滤波器的设计是已知它的频率特性滤波器的设计是已知它的频率特性，求它的，求它的系统函数系统函数H(z)或单位脉冲响应或单位脉冲响应h(n).完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做到，完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤波器但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤波器也允许有一定的误差。所以也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通常是给出的频率特性通常是频率特性指标频率特性指标。在误差范围内，往往有多个。在误差范围内，往

107、往有多个H(z)或或h(n)满足指标。因此，满足指标。因此，设计出的设计出的H(z)或或h(n)不是唯一不是唯一的。的。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 分类分类: 低通低通(LP), 高通高通(HP),带通带通(BP), 带阻带阻(BS) 加性噪声加性噪声若若 中的有用成分中的有用成分 和希望去除的成分和希望去除的成分各自占有不同的频带各自占有不同的频带, , 通过一个线性系统可将通过一个线性系统可将 有效去除有效去除. .一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类1、经典滤波器与现代滤波器、经典滤波器与现代滤波器经典滤波器经典滤波器种类：种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器

108、、线性预测、维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器自适应滤波器乘法性噪声乘法性噪声卷积性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤波信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。方法难以去除噪声。目标：目标：根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。号，从而达到最佳滤波的目的。现代滤波器现代滤波器一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类2 2、理想滤波器的频率响应、理想滤波器的频率响应一、数字滤

109、波器的分类一、数字滤波器的分类几点说明：几点说明： （1）由于频率特性的周期性，）由于频率特性的周期性，只需考虑数只需考虑数字频率在字频率在(02)范围的幅度响应范围的幅度响应。 （2）根根据据耐耐奎奎斯斯特特定定理理，输输入入信信号号不不得得超超过过采采样样频频率率的的一一半半，而而且且实实序序列列的的频频谱谱具具有有共共轭轭对对称称性性质质，所所以以，频频率率特特性性只只能能限限于于（ 0 ）内。内。 （3）图图示示的的滤滤波波器器特特性性没没有有过过渡渡带带，不不可可能能实现。只能在误差范围内实现。只能在误差范围内近似实现近似实现。一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类3、本课程数字滤

110、波器设计的适用对象、本课程数字滤波器设计的适用对象通常用的数字滤波器一般属于通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器选频滤波器，其，其有有用信号和干扰信号的用信号和干扰信号的频谱分别在不同的频段频谱分别在不同的频段。用。用IIRIIR或或FIRFIR系统实现时，系统实现时，系数是固定的系数是固定的。 如果两者的频谱共用同一个频段，则需使用自适如果两者的频谱共用同一个频段，则需使用自适应滤波器实现，它与普通滤波器不一样的地方是，它应滤波器实现，它与普通滤波器不一样的地方是，它的滤波系数是随输入信号的变化而变化。的滤波系数是随输入信号的变化而变化。 一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类 设输入为一

111、个低频正弦波与一个高频正弦波设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波叠加而成。叠加而成。左边为时域波形，左边为时域波形，右边为它的频谱。右边为它的频谱。滤波前：滤波前：滤波后：滤波后：一、数字滤波器的分类一、数字滤波器的分类二、二、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标数字滤波器的频率特性：数字滤波器的频率特性：其中：其中：选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。若对输出波形有要求时，则需考虑性不作要求。若对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。线性相位问题。幅频特性表示信号通幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率过该滤波器后各频率成分振幅衰减

112、情况成分振幅衰减情况相频特性反映各频率相频特性反映各频率成分通过滤波器后在成分通过滤波器后在时间上的延时情况时间上的延时情况通通带带阻阻带带过过渡渡带带低通滤波器的幅频特性指标示意图低通滤波器的幅频特性指标示意图二、二、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标 在阻带内，幅度响应以误差在阻带内，幅度响应以误差 逼近逼近0，即，即在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。在通带内，幅度响应以误差在通带内，幅度响应以误差逼近逼近1，即，即二、二、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标上述表示不是很方便，在具体的技术指标中，往上述表示不是很方便，在

113、具体的技术指标中，往往使用往使用通带允许的最大衰减（波纹）通带允许的最大衰减（波纹）和和阻带应达到阻带应达到的最小衰减的最小衰减表示，这里的两个指标都是正数。表示，这里的两个指标都是正数。定义为：定义为：二、二、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标 这里=0处幅度已归一化到1。二、二、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标：通带允许的最大衰减；：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减：阻带内应达到的最小衰减 p越小越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；p与与s间

114、距越小间距越小,过渡带就越窄。过渡带就越窄。低通滤波器的设计指标：低通滤波器的设计指标：二、二、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标三、数字滤波器设计方法概述三、数字滤波器设计方法概述设计设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：数字滤波器一般有以下两种方法：1.间接法间接法:首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等高通、带通、带阻等。2.直接法：直接法：直接在频域或

115、者时域中进行数字滤波器设计，直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计常用模拟滤波器: 1、巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2、切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3、椭圆(Ellipse)滤波器一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数给出，而模拟滤波器设计就是根据

116、设计指标，求系统函数Ha(s)。1 1、四个技术指标、四个技术指标工程实际中通常用损耗函数（衰减函数）工程实际中通常用损耗函数（衰减函数）A()来描述滤波器的幅频响应特性来描述滤波器的幅频响应特性损耗函数损耗函数A()是对幅频响应是对幅频响应|Ha(j)|的非线的非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。带和阻带频响特性的变化情况。1 1、四个技术指标、四个技术指标l模拟滤波器的设计指标：模拟滤波器的设计指标： p: 通带截止频率通带截止频率 s: 阻带截止频率阻带截止频率 p: 通带最大衰减通带最大衰减 s:阻带最小衰

117、减阻带最小衰减1 1、四个技术指标、四个技术指标 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数| |H Ha a(j(j)|)|2 2来表示，即来表示，即 由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数是实函数，因而因而Ha(j)满足满足 2 2、由幅度平方函数确定系统函数、由幅度平方函数确定系统函数l如果能由如果能由 p、p、 s和和s求出求出|Ha(j)|2，那，那么就可以求出么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要，由此可求出所需要的的Ha(s)。lHa(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半开平面，

118、相应的平面的左半开平面，相应的Ha(s)的极点必然的极点必然落在右半开平面。落在右半开平面。l这就是由这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的求所需要的Ha(s)的具体的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。2 2、由幅度平方函数确定系统函数、由幅度平方函数确定系统函数二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有具有通通带内最大平坦的振幅特性带内最大平坦的振幅特性,且随且随的增大，的增大，幅频幅频特性特性随随单调下降单调下降。1、原理、原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：巴特沃

119、斯低通滤波器的幅度平方函数为：巴特沃斯低通滤波器幅度特性与巴特沃斯低通滤波器幅度特性与N之间的关系之间的关系二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计由图可知：由图可知：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计 优点：幅度特性平坦，相位特性近似为线性相位；优点：幅度特性平坦，相位特性近似为线性相位；缺点：阶次缺点：阶次N一般较大。一般较大。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计以以s替换替换j，将幅度平方函数，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数： 二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l上式表明幅度平方函数有

120、上式表明幅度平方函数有2N个极点，极点个极点，极点sk用下式表示：用下式表示：2N个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为c的圆上的圆上(该圆称该圆称为巴特沃斯圆为巴特沃斯圆)，间隔是，间隔是/Nrad。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l设设N=3，极点有，极点有6个，它们分别为：个，它们分别为：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l设设N=4，极点有，极点有8个，它们分别为：个，它们分别为：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l为形成为形成因果稳定因果稳定的滤波器，的滤波器，2N个极点中只取个极点中只取s平面平面左半平面

121、左半平面的的N个极点构成个极点构成Ha(s)，而右半平，而右半平面的面的N个极点构成个极点构成Ha(s)。归一化后的系统函数：归一化后的系统函数：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计令令p=s/c，（，（p称为归一化复变量），则巴称为归一化复变量），则巴特沃斯滤波器的特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数归一化低通原型系统函数为：为：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计归一化原型系统函数归一化原型系统函数Ga(p)的系数的系数bk，以及极点，以及极点pk，可以由表，可以由表6.2.1得到。得到。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计表6.

122、2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计阶数阶数N取大于取大于或等于或等于N的最的最小整数。小整数。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计3、低通巴特沃斯滤波器的设计步骤、低通巴特沃斯滤波器的设计步骤(1)根据技术指标根据技术指标p、 p、s和和 s，求出滤波，求出滤波器的阶数器的阶数N和和c。(2)求出归一化极点求出归一化极点pk，及归一化低通原型系统，及归一化低通原型系统函数函数Ga(p)。(3)将将Ga(p

123、)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数得到实际的滤波器系统函数 二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计例例1、已知通带截止频率、已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大，通带最大衰减衰减 p=2dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减阻带最小衰减 s=30dB，按照以上技术指，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解：(1)确定阶数确定阶数N和和c 取取N=5二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计或直接或直接

124、查表查表可得极点：可得极点：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000归一化低通原型系统函数为归一化低通原型系统函数为式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361， b4=3.2361二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计(3) 去归一化去归一化将p=s/c代入Ga(p)中, 得到：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l巴特沃斯模拟滤波器的设计总结：巴特沃斯模拟滤波器的设计总结： 上述归一化公式和表格是相对上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率截止频率 给给出的。由指定的技术指

125、标出的。由指定的技术指标 ，利用上，利用上述公式和表格进行设计时，最关键的述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波个参数是滤波器的阶数器的阶数N和和3dB 截止频率截止频率 。 N用来求巴特沃思多项式，用来求巴特沃思多项式， 用来去归一化，求实用来去归一化，求实际滤波器的参数。际滤波器的参数。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计l切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器 切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器采用采用切比雪夫函数切比雪夫函数来逼近给来逼近给定的指标，该函数具有定的指标，该函数具有等波纹等波纹特性。它可将指标要求特性。它可将指标要求均匀发布在通带（或阻带）内，

126、故如此设计出的滤波均匀发布在通带（或阻带）内，故如此设计出的滤波器阶数较低。器阶数较低。切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器切比雪夫切比雪夫型型切比雪夫切比雪夫型型：通带等波纹、阻带单调：通带等波纹、阻带单调：通带单调、阻带等波纹：通带单调、阻带等波纹巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器的缺点是的缺点是阶次较高阶次较高，原因是，原因是它的频率特性在通带和阻带内都是随它的频率特性在通带和阻带内都是随的增大而单调的增大而单调减小，减小，如果在通带（阻带）满足指标，则在阻带（通如果在通带（阻带）满足指标，则在阻带（通带）内肯定有富裕量。带）内肯定有富裕量。三、切比雪夫滤波器的设计三、切比雪夫滤波器的

127、设计切比雪夫切比雪夫型的幅度平方函数为：型的幅度平方函数为：为小于为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，愈大，波动幅度也愈大波动幅度也愈大;p称为通带截止频率。令称为通带截止频率。令=/p，称为，称为对对p的归一化频率。的归一化频率。CN(x)称为称为N阶切比雪夫多项式。阶切比雪夫多项式。三、切比雪夫滤波器的设计三、切比雪夫滤波器的设计设计过程：设计过程： 1)1)根据要求的滤波器指标确定波纹参数根据要求的滤波器指标确定波纹参数 和阶数和阶数N N。 2) 2) 求归一化传输函数求归一化传输函数 。 3) 3) 去去归归一一化化。将将 代代入入归归一

128、一化化原原型型滤滤波波器器系系统函数，即得到实际滤波器传输函数统函数，即得到实际滤波器传输函数 。三、切比雪夫滤波器的设计三、切比雪夫滤波器的设计四、椭圆滤波器四、椭圆滤波器椭圆椭圆(Elliptic)滤波器允许在滤波器允许在通带和阻带内通带和阻带内都有等间隔的波动，可进一步减少滤波器的阶都有等间隔的波动，可进一步减少滤波器的阶次，但通带上的相位响应非线性失真（波形）次，但通带上的相位响应非线性失真（波形）较大。较大。五、三种滤波器比较五、三种滤波器比较 滤波器滤波器幅频特性幅频特性相频特性相频特性巴特沃斯巴特沃斯通带和阻带都单减通带和阻带都单减接近线性相位接近线性相位切比雪夫切比雪夫通带或阻

129、带单减通带或阻带单减介于两者之间介于两者之间椭圆椭圆通带和阻带都波动通带和阻带都波动线性相位最差线性相位最差复杂性复杂性:在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。 当阶数相同时，对相同的通带最大衰减当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带最和阻带最小衰减小衰减 s，巴特沃思滤波器

130、具有单调下降的幅频特性，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过

131、渡带最窄，通带和阻带均是等波纹椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。幅频特性。五、三种滤波器比较五、三种滤波器比较六、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计六、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 在模拟滤波器设计手册中，各种经典在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。 设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是: : (1) (1) 通过频率变换公式，先将希望设计的滤通过频率变换公式，先将希望设计的

132、滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；波器指标转换为相应的低通滤波器指标； (2) (2) 设计相应的低通系统函数设计相应的低通系统函数Q Q( (p p) )； (3) (3) 对对Q Q( (p p) )进行频率变换，得到希望设计的进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数滤波器系统函数H H ( (s s) )。 从从s平面到平面到z平面的映射原则平面的映射原则利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器已知的模拟滤波器传递函数传递函数H Ha a(s)(s)设计数字滤波设计数字滤波器器传递函数传递函数H(z)H(z)，这是一个由，这是一个由s

133、 s平面到平面到z z平面的平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：变换，这种映射变换应遵循两个基本原则： （1 1） H(z)H(z)的的频率响应要能模仿频率响应要能模仿H Ha a(s)(s)的频率的频率响应，响应，即即s s平面的虚轴应映射到平面的虚轴应映射到z z平面的单位圆平面的单位圆上。上。 （2 2）H Ha a(s) (s) 的的因果稳定性映射成因果稳定性映射成 H(z)H(z)后保持后保持不变，不变，即即s s平面的左半平面平面的左半平面 应映射到应映射到z z平面的单平面的单位圆内。位圆内。6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数

134、字低通滤波器s s平面和平面和z z平面之间的映射关系平面之间的映射关系 s s平面用直角坐标表示为：平面用直角坐标表示为： z z平面用极坐标表示为：平面用极坐标表示为： 又由于又由于 所以：所以： 因此因此: : 即：即： z z的模只与的模只与s s的实部相对应的实部相对应, , z z的相角只与的相角只与s s虚部虚部相对应。相对应。6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器（1）r与与的关系：的关系：=0,=0,0, ,0,1,即即s平面的平面的右半平面右半平面映射到映射到z平面平面单位圆外单位圆外；r1,即即s平面的平面的左半平面左

135、半平面映射到映射到z平面平面单位圆内单位圆内；6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器（2）与与的关系（的关系（=T）s平面宽平面宽的水平条带对的水平条带对应应整个整个z平面。平面。= 0， = 0，s平面的实轴对应平面的实轴对应 z平面正实轴；平面正实轴；6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器 s平面宽平面宽的水平条的水平条带，同样对应带，同样对应整个整个z平面。平面。6.36.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器一、用模拟滤波器设计一、用模

136、拟滤波器设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器设计过程是：设计过程是： （1 1）将给定的数字滤波器的技术指标，按某一）将给定的数字滤波器的技术指标，按某一变换规则变换规则转换转换成相应的模拟滤波器的性能指标。成相应的模拟滤波器的性能指标。（2 2）如要设计的不是数字）如要设计的不是数字低通低通滤波器，则需将步骤（滤波器，则需将步骤（1 1）中）中变换得到的相应（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标变换得到的相应（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标转换为低通性能指标。转换为低通性能指标。（3 3）设计一个过渡模拟低通滤波器）设计一个过渡模拟低通滤波器。（4 4）将模拟低通滤波器转换成相应类型

137、的过渡模拟滤波器。）将模拟低通滤波器转换成相应类型的过渡模拟滤波器。（5 5）再按照转换规则将模拟滤波器转换成数字滤波器。）再按照转换规则将模拟滤波器转换成数字滤波器。6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器数字低通滤波器二、脉冲响应不变法的变换原理二、脉冲响应不变法的变换原理 已知一个满足滤波器设计指标的模拟已知一个满足滤波器设计指标的模拟滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应h ha a(t)(t) ，先离散化，先离散化h ha a(t)(t)，使，使数字滤波器的单位脉冲响应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)h(n)正好等于模拟正好等于模拟滤波器的冲激响应

138、滤波器的冲激响应h ha a(t)(t)的采样值，即的采样值，即 从这个关系式出发，找出从这个关系式出发，找出H Ha a(s) (s) 和和H H (z)(z)之间的关系式。之间的关系式。 这里这里H Ha a(s)(s)表示表示 h ha a(t) (t) 的拉的拉普拉斯变换，普拉斯变换， H(z)H(z)表示表示h(n) h(n) 的的 z z 变换，即变换，即映射关系 ： z 平面S 平面二、脉冲响应不变法的变换原理二、脉冲响应不变法的变换原理数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特性之间的关系：性之间的关系： 上式说明，上式说明，H(eH(ej

139、TjT) )是是H Ha a(j)(j)以以2/T2/T为周期的周为周期的周期延拓函数（对数字频率，则是以期延拓函数（对数字频率，则是以22为周期）。为周期）。三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠 如果模拟滤波器的频率特性是如果模拟滤波器的频率特性是带限信号带限信号，带，带限于折叠频率以内时，即限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。 如果模拟滤波器的频率特性不是带限信号，如果模拟滤波器的频率特性不是带限信号，或采样频率不满足采样定理

140、时将会或采样频率不满足采样定理时将会产生混叠产生混叠。 由由于于实实际际的的模模拟拟滤滤波波器器，其其频频率率响响应应都都不不可可能能是是真真正正带带限限的的，因因而而数数字字滤滤波波器器的的频频率率响响应应不不可可避避免免地地存存在在频频谱谱的的混混叠叠，从从而而带带有有一一定定的失真。的失真。 模模拟拟滤滤波波器器频频率率响响应应在在折折叠叠频频率率以以上上衰衰减减越越大大，失失真真越越小小。这这时时，采采用用脉脉冲冲响响应应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠三、频谱混叠四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波

141、器的数字化 脉冲响应不变法特别适用于用脉冲响应不变法特别适用于用部分分式部分分式表达表达传递函数。传递函数。 设模拟滤波器的传递函数只有单阶设模拟滤波器的传递函数只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数极点，且分母的阶数高于分子阶数 N NM M，则可，则可表达为部分分式形式：表达为部分分式形式： 其相应的冲激响应其相应的冲激响应h ha a(t)(t)为为H Ha a(s)(s)的拉普拉斯反的拉普拉斯反变换：变换： 式中式中si 是是Ha(s)的的单阶极点。单阶极点。 在在脉脉冲冲响响应应不不变变法法中中，要要求求数数字字滤滤波波器器的的单单位位脉脉冲响应冲响应h(n)h(n)等于等于h ha

142、 a(t)(t)的采样，即的采样，即四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化对对h(n)h(n)取取z z变换，得到数字滤波器的系统函数：变换，得到数字滤波器的系统函数：四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化比较两式：比较两式： 四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化此时，四、模拟滤波器的数字化四、模拟滤波器的数字化例题例题例例5：设模拟滤波器的系统函数为：设模拟滤波器的系统函数为试用脉冲响应不变法设计试用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器。数字滤波器。例题例题 五、优缺点五、优缺点 脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟滤波器的

143、冲激响应。应完全模仿模拟滤波器的冲激响应。 优点：优点： （1）时域逼近好；（2）如线性相位关系不变。 缺缺点点： 存存在在频频谱谱混混叠叠，只只适适合合带带限限的的模模拟拟滤滤波波器器，如如低低通通、带带通通，但但不不适适合合高高通通、带带阻阻滤滤波波器器。而且对低通、带通应充分的带限。而且对低通、带通应充分的带限。6.4 6.4 用双线性变换法用双线性变换法一、变换原理一、变换原理 第一步：将第一步：将整个整个s平面压缩到另一个平面压缩到另一个s1平面的一平面的一条横带里，横带的宽度为条横带里，横带的宽度为2/T； 第二步：再通过变换第二步：再通过变换 将此横带变换到整将此横带变换到整个个

144、z平面上去。平面上去。 由此建立由此建立s平面与平面与z平面一一对应的平面一一对应的单值单值关系，关系，消除多值性，也就消除了混叠现象。消除多值性，也就消除了混叠现象。一、变换原理一、变换原理z平面一、变换原理一、变换原理 先推理先推理s与与s1之间的关系式之间的关系式一、变换原理一、变换原理从从s1s1平面转换到平面转换到z z平面，得平面，得或或二、优缺点二、优缺点优点：优点：缺点：缺点：没有频谱混叠。没有频谱混叠。 这种非线性关系如这种非线性关系如右图所示，表现为：右图所示，表现为： 所所以以，原原来来是是线线性性相相位位的的模模拟拟滤滤波波器器经经双双线线性性变变换后得到的却是换后得到

145、的却是非线性数字滤波器非线性数字滤波器。 在零频率附近，近似在零频率附近，近似为线性关系；随着为线性关系；随着的增的增加，非线性关系关系越来加，非线性关系关系越来越严重，造成两者的幅频越严重，造成两者的幅频响应不同（有畸变）。响应不同（有畸变）。二、优缺点二、优缺点 所以，所以，双线性变换适合用于设计双线性变换适合用于设计低通、低通、高通、带通、带阻高通、带通、带阻等等选频选频滤波器。滤波器。是目前使是目前使用的最普遍、最有成效的一种设计工具。用的最普遍、最有成效的一种设计工具。频率预校正频率预校正 模模拟拟滤滤波波器器的的频频率率点点与与数数字字滤滤波波器器的的频频率率点点是非线性对应关系，

146、应按是非线性对应关系，应按转换，称为频率预校正。转换，称为频率预校正。二、优缺点二、优缺点例题例题解解：（：（1）预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为例题例题（2）设计巴特沃斯低通模拟滤波器。设计巴特沃斯低通模拟滤波器。 计算得 N=5.3056，取N=6； c=0.7663 rad/s 查表得Ga(p)将将p=s/c代入代入Ga(p)，去归一化得到实际的，去归一化得到实际的Ha(s)为为例题例题（3）用双线性变换法将用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器转换成数字滤波器H(z),即即例题例题6.5 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、

147、带通和带阻滤波器的设计 对于数字高通、带通和带阻的设计，通对于数字高通、带通和带阻的设计，通用方法为用方法为双线性变换双线性变换。可以借助于模拟滤波器的频。可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的过渡模拟滤波器，再通率变换设计一个所需类型的过渡模拟滤波器，再通过双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器。过双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器。 具体设计步骤：具体设计步骤： （1 1） 确定所需类型数字滤波器的技术指标。确定所需类型数字滤波器的技术指标。（2 2） 将所需类型数字滤波器的边界频率转换成将所需类型数字滤波器的边界频率转换成相应类型模拟滤波器的边界频率，转换公式为相应类型

148、模拟滤波器的边界频率，转换公式为 （3 3） 将相应类型模拟滤波器技术指标转换成将相应类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器模拟低通滤波器技术指标。技术指标。（4 4） 设计模拟低通滤波器。设计模拟低通滤波器。（5 5） 通过频率变换将模拟低通转换成相应类通过频率变换将模拟低通转换成相应类型的过渡模拟滤波器。型的过渡模拟滤波器。（6 6） 采用双线性变换法将相应类型的过渡模采用双线性变换法将相应类型的过渡模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。 6.5 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计1、将模拟滤波器的传输函数Ha(

149、s)转换为数字滤波器的系统函数H(z)的常用方法有两种： 和 。 脉冲响应不变法、双线性变换法 课堂练习2、用双线性变换法设计IIR数字滤波器的主要优点是避免了频率响应的_现象。 频谱混叠 课堂练习 3、脉冲响应不变法的缺点是会产生 现象，优点是数字频率与模拟角频率成线性关系，因此适合 滤波器的设计。 频谱混叠，低通和带通 课堂练习4、数字滤波器两个分支IIR和FIR中，具有递归型结构的为 滤波器，绝对稳定的是 滤波器。 IIR，FIR 课堂练习课堂练习5、已知模拟滤波器的系统函数为：（1）分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求对应数字滤波器的系统函数，抽样间隔T=2。（2）比较两种变换方法的优

150、缺点。l解解: （1）脉冲响应不变法：课堂练习双线性变换法： （2）脉冲响应不变法的主要优点是模拟频率和数字频率之间的关系）脉冲响应不变法的主要优点是模拟频率和数字频率之间的关系是线性的，时域逼近好，其主要缺点是存在频谱混叠。是线性的，时域逼近好，其主要缺点是存在频谱混叠。双线性变换法的主要优点是避免了频谱混叠，其缺点是模拟频率和数双线性变换法的主要优点是避免了频谱混叠，其缺点是模拟频率和数字频率之间的关系是非线性的。字频率之间的关系是非线性的。课堂练习 6、简述利用模拟滤波器设计、简述利用模拟滤波器设计IIR数字低通数字低通滤波器的步骤？滤波器的步骤？（1）确定数字低通滤波器的技术指标：确定

151、数字低通滤波器的技术指标：通带边通带边界频率界频率p、通带最大衰减、通带最大衰减 p、阻带截止频率、阻带截止频率s、阻带最小衰减、阻带最小衰减 s。（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成相应将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。的模拟低通滤波器的技术指标。（3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。模拟低通滤波器。（4）用所选的转换方法，将模拟滤波器用所选的转换方法，将模拟滤波器Ha(s)转转换成数字低通滤波器系统函数换成数字低通滤波器系统函数H(z)。课堂练习引言IIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性优点：优点：缺点

152、：缺点：设计方便，可利用模拟滤波器的设计结果；设计方便，可利用模拟滤波器的设计结果； 非非线线性性相相位位，若若需需线线性性相相位位，则则要要增增加加相相位位校校正网络。正网络。引言FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性优点：优点：缺点：缺点：1 1）可可得得到到严严格格的的线线性性相相位位，又又可可具具有有任任意意的的幅幅度度特性。特性。2 2）系统无反馈，是无条件稳定系统。）系统无反馈，是无条件稳定系统。3 3）进行滤波时可采用）进行滤波时可采用FFTFFT。幅度特性较差，滤波器的阶次较高。幅度特性较差，滤波器的阶次较高。一、线性相位一、线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器1、相位失真

153、（波形失真之一）、相位失真（波形失真之一）当信号通过一个线性滤波器时，输出信号当信号通过一个线性滤波器时，输出信号的幅度和相位都会发生变化，即的幅度和相位都会发生变化，即两边取模：两边取模：两边取相位：两边取相位：一、线性相位一、线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器 当当输输入入信信号号的的不不同同频频率率分分量量通通过过滤滤波波器器时时，所所产产生生的相位延迟也不同，从而有可能产生的相位延迟也不同，从而有可能产生相位失真相位失真。 确确保保输输出出信信号号不不产产生生相相位位失失真真的的唯唯一一方方法法是是，使使不不同同输输入入频频率率分分量量的的信信号号通通过过滤滤波波器器时时都都有有

154、相相同同的时间延迟的时间延迟，即，即两边积分，可得到滤波器的线性相位特性。两边积分，可得到滤波器的线性相位特性。一、线性相位一、线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器2、线性相位、线性相位 线性相位是一个系统的相频特性是频率的线线性相位是一个系统的相频特性是频率的线性函数，有两类准确的线性相位性函数，有两类准确的线性相位式中式中、0 0为常数，此时通过这一系统（滤波器）为常数，此时通过这一系统（滤波器）的的各频率分量的时延各频率分量的时延为一相同的常数为一相同的常数 ，或者说系，或者说系统的群时延统的群时延(平均延迟时间平均延迟时间)为为。第一类线性相位第一类线性相位：第二类线性相位：第二类

155、线性相位：一、线性相位一、线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件讨论满足线性相位时，对讨论满足线性相位时，对h(n)的约束条件的约束条件FIR数字滤波器的数字滤波器的h(n)为有限长序列为有限长序列(0nnN-1)N-1)系统函数是：系统函数是：频率特性是：频率特性是：当当h(n)为实序列时为实序列时1、第一类线性相位对、第一类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件根据实部和虚部分别相等，可得二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件 两式相除：二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤

156、波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件 二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件2、第二类线性相位对、第二类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件根据实部和虚部分别相等，可得二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件 二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件 h(n)偶对称时的线性相位特性h(n)奇对称时的线性相位特性相位特性同样为一严格相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有的直线，但在零点处有/2的截距的截距二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件所

157、以，所以，FIR滤波器的线性相位的充要条件是滤波器的线性相位的充要条件是： 由于h(n)有奇对称和偶对称两种，而h(n)的点数又有奇数和偶数两种形式，共有四种形式，它们的性质各不相同。二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）1、h(n)为偶对称，为偶对称，N为奇数为奇数则：三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）2、h(n)为偶对称，N为偶数 分析同上，只是N为偶数，没有单

158、独的项。三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点） 三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点） 所以，当所以，当h(n)为偶对称，为偶对称，N为偶数时，为偶数时，所以，这种滤波器适合于设计所以，这种滤波器适合于设计低通低通和和带通带通滤波器。滤波器。因此这种情况不适合做在因此这种情况不适合做在w=处不等于零的滤处不等于零的滤波器，如高通，带阻滤波器。波器，如高通，带阻滤波器。三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）3、h(n)为奇对称，N为奇数三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特

159、性的特点（对称性和特殊频点）所以所以所以适用于所以适用于带通带通滤波器。滤波器。三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）4、h(n)为奇对称，N为偶数故适用于故适用于高通高通，带通带通滤波器。滤波器。三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）三、幅度特性的特点（对称性和特殊频点）四、线性相位四、线性相位FIRFIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点将h(n)=h(N1n)代入上式, 得到:（1）如）如z=zi是是H(z)的零点，其倒数的零点，其倒数也必然是其零点；也必然是其零点；（2）因为）因为h(n)是实序列，是实序列，H(z)的零点必定共轭成对

160、，因此的零点必定共轭成对，因此 也是其零点。也是其零点。因此，线性相位因此，线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒数的共轭对，滤波器零点必定是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了。确定其中一个，另外三个零点也就确定了。四、线性相位四、线性相位FIRFIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点四、线性相位四、线性相位FIRFIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点7.2 窗函数设计法一、一、窗函数设计法原理窗函数设计法原理逼近方法有三种：逼近方法有三种：1、窗函数设计法窗函数设计法（时域逼近）（时域逼近）2、频率采样法频率采样法（频域逼近）（频域逼近）3、最

161、优化设计最优化设计（等波纹逼近）（等波纹逼近）一般先给出为理想频率响应一般先给出为理想频率响应，现要，现要求设计一个求设计一个N点点()的的FIR滤波器滤波器去逼近去逼近。)(wjdeH一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理 理想频率响应理想频率响应hd(n)通过傅立叶反变换获得通过傅立叶反变换获得 一般来说，理想频率响应一般来说，理想频率响应 是是分段常数型分段常数型的，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理的，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应想单位脉冲响应hd(n) 一定是无限长序列，而且是非一定是无限长序列，而且是非因果的。因果的。而能实现的而能实现的h(n)只

162、能是只能是因果的、有限长序列因果的、有限长序列。一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理 怎样用一个有限长序列怎样用一个有限长序列h(n)来逼近无限长的来逼近无限长的hd(n)？最简单的办法是直接截取一段最简单的办法是直接截取一段hd(n)代替代替h(n)。这种截取可以形象地想象为。这种截取可以形象地想象为h(n)是是通过通过一个一个“窗口窗口”看到一段看到一段hd(n)。因此因此，h(n)也可表示为也可表示为hd(n)和一个和一个“窗函窗函数数”的乘积，即的乘积，即式中窗函数式中窗函数w(n)就是矩形脉冲函数就是矩形脉冲函数RN(n)，为了改善，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的

163、形式。设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式。一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理 窗函数设计法是从单位冲激响应着手，使窗函数设计法是从单位冲激响应着手，使h (n)逼近理想的单位冲激响应序列逼近理想的单位冲激响应序列hd(n) 如果窗函数如果窗函数w(n) 的序列值的序列值1，则在，则在0nN-1内，内，对对hd(n)作一定的调整（加权处理）作一定的调整（加权处理）。 w(n)是引起时域误差和频域误差的根本原因，因是引起时域误差和频域误差的根本原因，因此，此， 窗函数窗函数w(n)序列的序列的形状形状和和长度长度是非常关键的选择。是非常关键的选择。已知理想频率响应已知理想频率响应，求

164、，求hd(n)。（4）若不满足，则重新选择窗函数设计。一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法下面以一个截止频率为下面以一个截止频率为c的的线性相位理想线性相位理想低通滤波器低通滤波器为例，讨论为例，讨论FIR的设计问题。的设计问题。给定的理想低通滤波器为给定的理想低通滤波器为 下面是滤波器的理想频率特性二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法第一步：，计算第一步：，计算hd(n)二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法理想低通的理想低通的hd(n) 二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法 hd(n)是一个以是一个以中心中心的的偶对称偶

165、对称的的无限长非因无限长非因果序列果序列，如果截取一段，如果截取一段n=0N-1的的hd(n)作为作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，滤波器，延时延时应怎样选择？应怎样选择？为为h(n)长度长度N的一半的一半,即即第二步：用窗函数截取第二步：用窗函数截取hd(n)二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法 第三步，检验求第三步，检验求hd(n)的频率特性的频率特性二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法 其线性相位部分其线性相位部分表示延时一半长度表示延时一半长度用幅度函数和相位函数来表示，则有用幅度函数和相位函数来表示，则有二、矩形窗函数设

166、计方法二、矩形窗函数设计方法对频率响应起作用的是它的幅度函数对频率响应起作用的是它的幅度函数主瓣宽度主瓣宽度二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法加窗处理对矩形频率响应的影响加窗处理对矩形频率响应的影响（1）窗函数的频率特性使）窗函数的频率特性使矩形频率响应矩形频率响应产生带内产生带内和带外和带外波动波动。在。在(在过渡带的在过渡带的两侧两侧)波动最大，约为波动最大，约为8.95%，与，与N无关，称为无关，称为吉吉布斯效应布斯效应。（2）使理想特性不连续点处边沿加宽，形成过渡）使理想特性不连续点处边沿加宽，形成过渡带，带，过渡带宽等于窗函数频率响应的主瓣宽度过渡带宽等于窗函数频率响应的主

167、瓣宽度。（3）增加）增加N，只能改变窗谱的主瓣宽度只能改变窗谱的主瓣宽度、坐标坐标的比例、的比例、的绝对值大小等内容，但不能的绝对值大小等内容，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。改变主瓣与旁瓣的相对比例。二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法调整窗口调整窗口长度长度N只能有效地控制过渡带的宽只能有效地控制过渡带的宽度，而要减少带内波动以及增大阻带衰减，只度，而要减少带内波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的能从窗函数的形状形状上找解决问题的方法。构造上找解决问题的方法。构造新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使

168、的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。这样总是以加宽过渡带为代价的。二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法三、各种窗函数三、各种窗函数（1）矩形窗矩形窗2巴特列特（巴特列特（Bartlett）窗（又称三角形窗）窗（又称三角形窗）其幅度函数为三、各种窗函数三、各种窗函数3 汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗升余弦窗升余弦窗三、各种窗函数三、各种窗函数4 哈明（哈明（Hamming）窗）窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗 其幅度函数WHmg()为三、各种窗函数三、各种窗函数6种窗函数的

169、基本参数 三、各种窗函数三、各种窗函数四、窗函数法设计四、窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤(1)根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度窗函数的类型，并估计窗口长度N。(2)构造希望逼近的频率响应函数构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)(3)计算计算hd(n)(4)加窗得到设计结果：加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n)。例例1、 用窗函数法设计线性相位高通用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求通带截止频，要求通带截止频率率p=/2 rad，阻带截止频率，阻带截止频率s=/4 rad，通带最大衰减，通带最大

170、衰减 p=1 dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=40 dB。解解 （1） 选择窗函数选择窗函数w(n)，计算窗函数长度，计算窗函数长度N。已知阻带最小衰减已知阻带最小衰减 s=40 dB，由表可知汉宁窗和哈明窗均满，由表可知汉宁窗和哈明窗均满足要求，选择汉宁窗。足要求，选择汉宁窗。过渡带宽度过渡带宽度Btps=/4， 汉宁窗的精确过渡带宽度汉宁窗的精确过渡带宽度Bt=6.2/N，所以要求，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得，解之得N24.8。对高。对高通滤波器通滤波器N必须取奇数，取必须取奇数，取N=25, 则则例题例题（2） 构造Hd(ej):式中例题例题（3） 求出hd(n):将=1

171、2代入得 例题例题(n12)对应全通滤波器，是截止频率为3/8的理想低通滤波器的单位脉冲响应，二者之差就是理想高通滤波器的单位脉冲响应。这就是求理想高通滤波器的单位脉冲响应的另一个公式。（4） 加窗:例题例题1、FIR数字滤波器与IIR数字滤波器相比，最大的优点是可保证系统具有 特性。 线性相位 课堂练习2、下列关于IIR和FIR滤波器的说法中错误的是（ ）A. 从性能上来说，IIR滤波器系统函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此零点和极点相结合，可用较低的阶数获得较高的选择性，所用的存储单元少，计算量小，所以经济高效。B. IIR滤波器可以得到严格的线性相位。C. 对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数一般比IIR滤波器高。D. IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。 B课堂练习3、下列关于FIR滤波器的说法中正确的是（ ）A. FIR滤波器容易设计成线性相位特性B. FIR滤波器的脉冲响应长度是无限的C. FIR滤波器可以利用模拟滤波器进行间接法设计D. 对于相同的幅频特性要求，用FIR滤波器实现要比用IIR滤波器实现阶数低 A课堂练习