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1、二维固体问题的有限元法第7章 2021/7/11内容l引言l线性三角形单元场变量的插值构造形函数使用面积坐标应变矩阵单元矩阵l线性矩形单元构造形函数应变矩阵单元矩阵高斯积分计算 me2021/7/12内容l线性四边形单元坐标映射应变矩阵单元矩阵评述l高次单元l讨论 (高斯积分)l实例研究2021/7/13引言l2D固体单元用于分析平面应变问题和平面应力题。 l 2D固体单元可以为具有直边或曲边的三角形、矩形或四边形。 l2D固体单元可在2D固体所在平面内变形。 l任一点处拥有分别沿x 和 y方向的两个位移分量和力分量。 2021/7/14引言l对平面应变问题可取单位厚度，但对平面应力问题必须使
2、用实际厚度。l分析中，假设单元具有均匀厚度h。 l可方便地得到变厚度的2-D单元，其推导过程与均匀厚度的完全一样。2021/7/152D2D固体固体 平面应力和平面应变平面应力和平面应变平面应力平面应变2021/7/16线性三角形单元l比四边形单元的精度低l被大多数用于生成复杂几何形体的网格生成器所采用l线性三角形单元 节点 三角形单元2021/7/17场变量的插值式中(形函数) 节点1 节点2 节点3节点1的位移节点2的位移节点3的位移2021/7/18构造形函数假设：i= 1, 2, 3or2021/7/19构造形函数德耳塔函数性质：故，解得，对于对于2021/7/110构造形函数将 a1
3、、 b1 和 c1 代回到 N1 = a1 + b1x + c1y得：三角形面积 力矩矩阵2021/7/111构造形函数类似地，2021/7/112构造形函数式中ijki= 1, 2, 3通过循环轮换确定j和 k 的值i = 1, 2j = 2, 3k = 3, 12021/7/113使用面积坐标l为构造形函数的另一种方法 2-3-P:类似地： 3-1-PA2 1-2-PA32021/7/114使用面积坐标单位分解性：德耳塔函数性质：如当P 位于节点 2 或 节点3 时，L1 = 0故，2021/7/115应变矩阵式中(常应变单元)2021/7/116单元矩阵 常数矩阵2021/7/117单元
4、矩阵对于均匀密度和厚度的单元：Eisenberg 和 Malvern (1973)公式：2021/7/118单元矩阵对于均布载荷：2021/7/119线性矩形单元l应变矩阵不为常量l可更精确地表示应力和应变l由于形状规则使其公式推导简捷2021/7/120构造形函数构造形函数考虑任一矩形单元 节点1的位移 节点2的位移 节点3的位移 节点4的位移2021/7/121构造形函数式中 节点1 节点2 节点3 节点42021/7/122构造形函数德耳塔函数性质单位分解性节点1节点2节点3节点42021/7/123应变矩阵注意：不再为常数矩阵！2021/7/124单元矩阵 dxdy = ab dd 故
5、，2021/7/125单元矩阵对于均布载荷：2021/7/126高斯积分l用于计算ke 和 me中的积分 (实际中)沿1维方向：对于被积函数为n = 2m - 1 阶的多项式，利用m 个高斯点可得到精确解沿2维方向：2021/7/127高斯积分m 高斯点高斯点 x xj 高斯权高斯权 wj 精确阶数精确阶数 n 1 0 2 1 2 -1/3, 1/31, 1 3 3-0.6, 0, 0.65/9, 8/9, 5/9 54-0.861136, -0.339981, 0.339981, 0.861136 0.347855, 0.652145, 0.652145, 0.347855 75-0.906
6、180, -0.538469, 0,0.538469, 0.906180 0.236927, 0.478629, 0.568889, 0.478629, 0.236927 96-0.932470, -0.661209, -0.238619, 0.238619, 0.661209, 0.932470 0.171324, 0.360762, 0.467914, 0.467914, 0.360762, 0.171324 112021/7/128计算 me2021/7/129计算 me 例如注意：实际中经常利用高斯积分求积2021/7/130线性四边形单元l矩形单元应用受限l应用其边不平行的四边形单元
7、更方便l对于不规则的形状，在应用高斯积分前须进行坐标映射2021/7/131坐标映射物理坐标自然坐标(位移插值)(坐标插值)2021/7/132坐标映射式中,节点1的坐标节点2的坐标节点3的坐标节点4的坐标2021/7/133坐标映射 将 = 1 代入 或 消去 ，2021/7/134应变矩阵或式中(雅可比矩阵)因为,2021/7/135应变矩阵故，将Ni对于x 和 y的微分转换成Ni对于 和 的微分(形函数对于物理坐标的微分与其对于自然坐标的微分之间的关系)2021/7/136单元矩阵Murnaghan (1951)公式： dA= |J | dd 2021/7/137评述l用于坐标插值的形函
8、数与用于位移场插值的形函数相同，所以这种单元被称为等参数单元。 l注意用于坐标插值的形函数不一定非得等于用于位移插值的形函数。 l当用于坐标插值和用于位移插值的形函数不相同时，则形成所谓的次参数单元和超参数单元。2021/7/138高次单元l高次三角形单元nd = (p+1)(p+2)/2 节点 i,Argyris( 1968)形函数公式：2021/7/139高次单元l高次三角形单元三次单元二次单元2021/7/140高次单元l高次矩形单元拉格朗日型：(Zienkiewicz 等, 2000)2021/7/141高次单元l高次矩形单元(9节点2次单元)2021/7/142高次单元l高次矩形单元
9、Serendipity型：(8节点2次单元)2021/7/143高次单元l高次矩形单元(12节点3次单元)对于角节点：对于边节点：对于边节点： 其中 其中和和2021/7/144曲边单元2021/7/145讨论 (高斯积分)l当采用高斯积分算法时，须决定所用的高斯点数。l理论上讲，对于一个1维积分，采用m个积分点可获得以(2m-1)阶多项式为被积函数的精确结果。 l作为一普遍适用的法则，对于高次单元应使用较多的高斯点。 2021/7/146讨论 (高斯积分)l采用较少数量的高斯点有利于消除由位移法所引起的过硬现象。 l使用形函数将限定了单元内部的位移模式。这意味着在某种程度上以形函数的形式规定
10、了单元的位移，即相当于对单元施加了预约束。 受如此约束的单元应较硬。常可观察到高次单元通常较低次单元软，这是由于高次单元对单元的这种约束较弱。2021/7/147讨论 (高斯积分)l线性单元在每个方向上取2个高斯点，2次单元在每个方向上取2或3个高斯点在许多情况下已足够。 l大多数基于显式公式的显式有限元程序倾向于采用单点积分以最大限度的节省CPU时间。2021/7/148实例研究l侧驱动微型电动机2021/7/149实例研究双晶硅材料特性杨氏模量， E169GPa泊松比， 0.262密度， 2300kgm-310N/m10N/m10N/m2021/7/150实例研究分析1：使用24个双线性四
11、边形单元（41个节点）的Von Mises 应力分布2021/7/151实例研究分析2：使用96个双线性四边形单元（129个节点）的Von Mises 应力分布2021/7/152实例分析分析3：使用144个双线性四边形单元（185个节点）的Von Mises 应力分布2021/7/153实例分析分析4：使用24个8节点四边形单元（105个节点）的Von Mises 应力分布2021/7/154实例分析分析5：使用192个3节点三角形单元（129个节点）的Von Mises 应力分布2021/7/155实例分析分析编号单元数量/类型模型的总节点数最大Von Mises 应力 (GPa)124/双线性四边形 410.0139296/双线性四边形1290.01803144 /双线性四边形1850.0197424/2次四边形1050.01915192 /线性三角形1290.01672021/7/156 结结束束语语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
