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1、第一章第一章 静电场静电场镜象法镜象法 Image Method and Electric Axis Method 小结：求空间电场分布的方法小结：求空间电场分布的方法场源积分法场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。积分困难，对大多数问题不能得出解析解。应用高斯定理求解应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。只能应用于电荷成对称分布的问题。间接求解法间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。适用于边值问题的求解。用解析方法直
2、接求解电位微分方程的定解问题常常用解析方法直接求解电位微分方程的定解问题常常不是一件容易的事。不是一件容易的事。基于静电场的唯一性定理，形成间接的求解方法，基于静电场的唯一性定理，形成间接的求解方法，能把复杂问题等效为简单问题来求解，能使某些复能把复杂问题等效为简单问题来求解，能使某些复杂问题得到很好地解决。唯一性定理的典型应用之杂问题得到很好地解决。唯一性定理的典型应用之一一镜像法和电轴法镜像法和电轴法镜像法和电轴法的实质是把实际上分片均匀媒质看镜像法和电轴法的实质是把实际上分片均匀媒质看成均匀，并在所研究的场域外的适当地点用虚设的成均匀，并在所研究的场域外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布
3、代替实际边界上复杂的电荷分布。较简单的电荷分布代替实际边界上复杂的电荷分布。只有虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起产生只有虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起产生的电场能满足给定的边界条件。的电场能满足给定的边界条件。镜像法镜像法 几个实例：几个实例：qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷非均匀感应电荷q等
4、效电荷等效电荷非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代边值问题：（导板及无穷远处）（除q 所在点外的区域）（S 为包围q 的闭合面）1.平面导体的镜像镜像法最简单的例子：接地无限镜像法最简单的例子：接地无限大导体平面上方一个点电荷，根大导体平面上方一个点电荷，根据唯一性定理，导体平面上半空据唯一性定理，导体平面上半空间的电为分布应满足：间的电为分布应满足：qq等效电荷等效电荷 镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。（除q 所在点外的区域）（导板及无穷
5、远处）（S 为包围q 的闭合面）上半场域边值问题： 点电荷对无限大平面导体边界的镜像点电荷对无限大平面导体边界的镜像 等效问题：等效问题： 要求：与原问题边界条件相同要求：与原问题边界条件相同 原电荷：原电荷：q（d，0，0）镜像电荷镜像电荷(等效电荷等效电荷):-q（-d，0，0）(在求解域外在求解域外) 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。dd例1求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。（方向指向地面）例1求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。解:设点电荷 离地面高度为h，则整个地面上感应电荷的总量为2. 导体球面镜像导体球面镜
6、像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。场分布。1) 边值问题：边值问题：（除（除q点外的导点外的导体球外空间体球外空间)2)设镜像电荷设镜像电荷-q 位于球内位于球内,球球面上任一点电位为面上任一点电位为:由由叠加原理叠加原理，接地导体球外任一点，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为的电位与电场分别为 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷的作用等于负的感应电荷的作用例例2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分时的电场分布。布。在接地球的基础上判断镜像在接地球的基础
7、上判断镜像电荷的个数、大小与位置电荷的个数、大小与位置解解: 边值问题：边值问题：( 除除 q 点外的导点外的导体球外空间）体球外空间） ( S 为球面面积为球面面积 )例例2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分时的电场分布。布。任一点电位及电场强度为：任一点电位及电场强度为：感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。正镜像电荷只能位于球心。 不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对
8、值等于镜像电荷 吗吗? 为什么？为什么？镜像法小结镜像法小结 镜像法的镜像法的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理；镜像法的镜像法的实质实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；计算场域为无限大均匀介质；镜像法的镜像法的关键关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置；是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 应用镜像法解题时，应用镜像法解题时，注意注意：镜像电荷只能放在待求场域以外镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。的区域。叠加时叠加时，要注意场的适用区域。，要注意场的适用区域。镜像法小结镜像法小结:什么情况下能用镜像法
9、分析？什么情况下能用镜像法分析？1.点电荷和无限大平面导体点电荷和无限大平面导体 等效问题：等效问题： 要求：与原问题边值问题相同要求：与原问题边值问题相同 原电荷：原电荷：q，距离，距离h 镜像电荷镜像电荷(等效电荷等效电荷):-q距离距离-h(在求解域外在求解域外) 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。2.点电荷和接地导体球点电荷和接地导体球q q点电荷附近接地导体点电荷附近接地导体点电荷附近接地导体点电荷附近接地导体球的影响球的影响球的影响球的影响可用镜像电荷（可用镜像电荷（可用镜像电荷（可用镜像电荷（- -q q ）代替感应电荷，其中代替感应电荷
10、，其中代替感应电荷，其中代替感应电荷，其中位置与电荷量为：位置与电荷量为：位置与电荷量为：位置与电荷量为：3.点电荷和两种点电荷和两种不同介质不同介质平面分界面平面分界面S的上下半空间充满介电常数为的上下半空间充满介电常数为 1和和 2的均的均匀介质，在上半空间距匀介质，在上半空间距S为为h处有一点电荷处有一点电荷q，求空间，求空间的电场的电场设上半空间电位为设上半空间电位为 1，下半空间，下半空间电位为电位为 2，根据唯一性定理，根据唯一性定理， 1和和 2应满足：应满足：（2）当）当r， 10， 20（1）（3）分界面）分界面S上的衔接条件上的衔接条件hq镜像系统为：镜像系统为：上半空间上
11、半空间由原来电荷由原来电荷q和在像点的和在像点的像电荷像电荷q所产生（介电所产生（介电常数常数 1冲满整个空间）冲满整个空间）r1r2镜像系统为：镜像系统为：下半空间下半空间由原来电荷由原来电荷q处的像电荷处的像电荷q所产生（介电常数所产生（介电常数 2冲满整个空间）冲满整个空间）r1在在r1=r2处，由条件（处，由条件（3），可得），可得hqq和练习题例例2.如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为的长直线，求的长直线，求AB两两点间的电势差。点间的电势差。BA60。例例2.如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为的长直线，求的
12、长直线，求AB两两点间的电势差。点间的电势差。解：解：BA60。例例例例题题题题3 3: : 已已已已知知知知两两两两杆杆杆杆电电电电荷荷荷荷线线线线密密密密度度度度为为为为 , , 长长长长度度度度为为为为L L, , 相相相相距距距距L L . . 求求求求两带电直杆间的电场力两带电直杆间的电场力两带电直杆间的电场力两带电直杆间的电场力. . L3L2LxO例例例例题题题题3 3: : 已已已已知知知知两两两两杆杆杆杆电电电电荷荷荷荷线线线线密密密密度度度度为为为为 , , 长长长长度度度度为为为为L L, , 相相相相距距距距L L . . 求求求求两带电直杆间的电场力两带电直杆间的电场
13、力两带电直杆间的电场力两带电直杆间的电场力. . 解解解解: :L3L2LxO例题例题4. 球形金属空腔内外半径球形金属空腔内外半径 a b，带电，带电 Q，腔内点电荷，腔内点电荷q，距球，距球心心 r a。求球心。求球心 O 点电位。点电位。例题例题4. 球形金属空腔内外半径球形金属空腔内外半径 a b，带电，带电 Q，腔内点电荷，腔内点电荷q，距球，距球心心 r a。求球心。求球心 O 点电位。点电位。解：内壁解：内壁 -q，外壁，外壁 q+Q思考：电荷在内壁和外壁上的分布均匀吗？对球心处电位有何影响？例题例题5. A、B为平行的无限大带电导体板，面密度分别为为平行的无限大带电导体板，面密
14、度分别为 A和和 B，静电平衡时四个面上的电荷分布。静电平衡时四个面上的电荷分布。例题例题5. A、B为平行的无限大带电导体板，面密度分别为为平行的无限大带电导体板，面密度分别为 A和和 B，静电平衡时四个面上的电荷分布。静电平衡时四个面上的电荷分布。解：高斯定理解：高斯定理 E = E 2 S = 0 = S ( 2+ 3)/ 0 2 = - 3P点点: 1 = 4 又又 1 + 2 = A , 3 + 4 = B 解得解得 1 = 4 = ( A+ B)/2 2 = - 3 = ( A- B)/2 例题例题6:一电容器两极板都是边长为一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，的正方形金属
15、平板，但两板不严格平行有一夹角但两板不严格平行有一夹角 。证明：当。证明：当 时，时，该电容器的电容为：该电容器的电容为：b+xsin 例题例题6:一电容器两极板都是边长为一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，的正方形金属平板，但两板不严格平行有一夹角但两板不严格平行有一夹角 。证明：当。证明：当 时，时，该电容器的电容为：该电容器的电容为：忽略边缘效应忽略边缘效应证明：证明： 整体不是平行板电容器整体不是平行板电容器 但在小块面积但在小块面积 adx 上，可认上，可认为是平行板电容器为是平行板电容器,其电容为：其电容为：b+xsin 证毕证毕b+xsin 电容器电容求解电容器电容求解例
16、例7.平行板电容器极板面积为平行板电容器极板面积为 S ，板间距为板间距为 d ，相对介电常数为，相对介电常数为 的两种电介质各充满板间的一半，如图，的两种电介质各充满板间的一半，如图，（1）此电容器带电后，两介质所对应的）此电容器带电后，两介质所对应的极板上自由电荷面密度是否相等？极板上自由电荷面密度是否相等？（2）求其电容。）求其电容。解：（解：（1）设极板间的电势差为）设极板间的电势差为 V，由介质中的高斯定理得：由介质中的高斯定理得： 例例7.平行板电容器极板面积为平行板电容器极板面积为 S ，板间距为板间距为 d ，相对介电常数为，相对介电常数为 的两种电介质各充满板间的一半，如图，
17、的两种电介质各充满板间的一半，如图，（1）此电容器带电后，两介质所对应的）此电容器带电后，两介质所对应的极板上自由电荷面密度是否相等？极板上自由电荷面密度是否相等？（2）求其电容。）求其电容。（2）例8.一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度，求：顶角O的电势。（以无穷远处电势为零点）ooR1R2解：xx1x2R1R2dxdlroxxx1x2dxdlroR1R2另解：另解：选择积分元为选择积分元为 例例9 如图，在一电荷体密度为如图，在一电荷体密度为 r 的均匀带电球体中，挖出的均匀带电球体中，挖出一个以一个以O为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心中心O的位置矢量用表示的位置矢量用表示 试证球形空腔内的电场是均试证球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为匀电场，其表达式为OOr证明：证明：(1) 求半径为求半径为R、体电荷密度为、体电荷密度为 的均匀带电球体内的电场强度的均匀带电球体内的电场强度以球心到场点的距离为半径作一球以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为面，则通过此球面的电通量为根据高斯定理根据高斯定理QRr当场点在球体内时当场点在球体内时根据高斯定理根据高斯定理当场点在球体内时当场点在球体内时QRr当场点在球体外时当场点在球体外时OOrP(2)
