第六节第六节极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一一 极限存在的两个准则极限存在的两个准则二二 两个重要极限两个重要极限 准则准则I.I.数列的数列的夹逼准则夹逼准则一 极限存在准则 如果数列如果数列{xn}、、{yn}及及{zn}满足下列条件满足下列条件 则则 上两式同时成立上两式同时成立,证证 如果当如果当) )时有时有( (或或准则准则I. .函数的函数的夹逼准则夹逼准则则则准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则. . 利用夹逼准则，我们可以求一些困难的极限利用夹逼准则，我们可以求一些困难的极限方法是：方法是： 使得使得将将 适当缩小为适当缩小为 ，再适当放大，再适当放大为为 ，，（极限要容易求得）（极限要容易求得）则则常见形式：常见形式： 例1解由夹逼准则得由夹逼准则得 证明=∴ 由夹逼准则，得练习练习 收敛数列一定有界数列，收敛数列一定有界数列，但有界数列不一定收敛。
但有界数列不一定收敛有界的单调数列一定收敛有界的单调数列一定收敛. . 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .准则Ⅱ(单调有界准则)= =最小上界值最小上界值 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .准则Ⅱ(单调有界准则)= =最小上界值最小上界值 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .准则Ⅱ(单调有界准则)= =最小下界值最小下界值 例例2 2证明数列证明数列 的极限存在的极限存在 解解: :当当时时, ,设设，则，则 又又设设，， 则则 ∴ ∴ ｛｛ ｝单增有上界，从而必有极限｝单增有上界，从而必有极限 设设，则，则 由由得得∴∴并求此极限；并求此极限； 1、、二、二、 两个重要极限两个重要极限 圆扇形AOB的面积证证故只需证△△AOB 的面积的面积＜＜＜＜△△AOC 的面积的面积( 利用利用准则准则Ⅰ )因为 取倒数得 该极限的特点该极限的特点: : 一般有第一个重要极限第一个重要极限 正确 例3 解 解 例4 例例5 5解解 思考:1.公式计算 观察：数列是单调增加并且有界．观察：数列是单调增加并且有界． e e 是个无理数，它的值是是个无理数，它的值是e=e=2.718281828459045 2.718281828459045 …………．．根据准则根据准则IIII，数列，数列{ {x x n n} }必有极限．必有极限．可以证明数列可以证明数列{ {x x n n} }是单调增加并且有界．是单调增加并且有界．这个极限我们用这个极限我们用e e 来表示．来表示．第二个重要极限第二个重要极限 例例 2424 ““以以1 1加非零无穷小为底加非零无穷小为底, , 该极限的特点该极限的特点: :这个重要极限应灵活的记为这个重要极限应灵活的记为: :一般有一般有倒数倒数, , 指数是无穷小的指数是无穷小的其极限为数其极限为数e e ””. . 例6解 例例7 7 一般有一下重要公式：一般有一下重要公式： 例8解： 练习1解: 练习2解: 练习3解: 。
