第四节幂级数教学重点教学重点 函数项级数 幂级数及其敛散性教学难点教学难点 收敛域的求法 一一函数项级数的概念函数项级数的概念 二二 二二 幂级数幂级数三三 幂级数的运算幂级数的运算 一 函数项级数的概念函数项级数：设函数列 ，则称为函数项级数，记作 .当给定 时,则函数项级数 成为常数项级数 记作 . 收敛点（发散点）：若 收敛（发散），则称 为函数项级数的收敛点（发散点）收敛域：函数项级数 的收敛点的全体称为它的收敛域记收敛域为D和函数：对于任意一点 ,则 收敛,因而有一个确定的和,因此, 的和是关于x的函数,记作S(x).称S(x)为 和函数,其定义域是收敛域D,即在收敛域上有 函数项级数的余项: 若用 表示函数项级数的前n项的和,即则在收敛域上,有 记 称 为函数项级数 的余项,且在其收敛域上有 二 幂级数当函数项级数的每一项都是幂函数时，即得函数项级数称为关于x的幂级数，并称 为幂级数（1）的系数。
幂级数更一般的形式为 称为 幂级数 如果在幂级数（2）中令 ，则幂级数（2）就化为幂级数（1）的形式因此，我们将着重讨论幂级数（1）下面将讨论幂级数（1）的收敛半径及收敛域的求法定理1 设有幂级数 , 如果其系数满足记 ,则（1)当 时， 内收敛； （2当 时， 内收敛； （3当 时， 仅在x=0点收敛称R为幂级数 的收敛半径，称 为收敛区间 注：对于幂级数的收敛域，可先求出收敛半径R和收敛区间，再将区间的端点 代入幂级数中化为函数项级数,讨论其敛散性，就可得到幂级数的收敛域。
例1 求下列幂级数的收敛域1） （2） （3）解 （1） ,故 ，即收敛域为 （2）故 ，即收敛区间为 对于x=1，幂级数化为 ，为调和级数可知其发散；对于x=-1，幂级数化为 ，为交错级数可知其收敛，故收敛域为 3） ,故R=0，级数仅在x=0处收敛 例2 求幂级数 的收敛域解 作变换t=x-1，将 的收敛半径为R=2当t=2时, 是发散的；当t=-2时， 是收敛的，故 的收敛域为 ，从而 ，所以 收敛域为 。
例3 求幂级数 的收敛域 解 所给级数缺少x的偶数次项，不能用定理2求收敛半径，因此用比值判别法求，有 当 ,级数绝对收敛;当 级数发散，所以收敛区间为 当 时，级数为 是发散的；当 时，级数为 仍为发散的，故原级数的收敛域为 三 幂级数的运算定理2 设有两幂级数 ，收敛半径分别为 ，和函数分别为 ，即 则在区间 内，两幂级数可作加法、减法、及乘法运算： 注:两个幂级数的加减乘法运算与两个多项式的相应运算完全相同.定理3 设幂级数 的收敛半径为R,则它的和函数S(x)在(-R,R)内具有以下性质:(1) S(x)是连续的;(2)S(x)是可导的,且有逐项求导公式：逐项求导后所得到的 幂级数的收敛半径仍为R.(3)S(x)是可积的，且有积分公式:逐项积分后所得到的 幂级数的收敛半径仍为R. 例如 幂级数 的收敛域为(-1,1)，且和函数为 ，即显然 在(-1,1)内是连续的，对(*)式逐项求导，得对(*)式逐项积分得即 这样,我们求出了幂级数 的和函数为 ,幂级数 的和函数为 ,且收敛半径都是1。