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1、高中数学选修高中数学选修 2-12-1第二章第二章 曲线与方程曲线与方程第二课时第二课时 2.2.2 2.2.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 2021/3/101 1. 1. 椭圆椭圆 的范围、对称性、顶点、离心率的范围、对称性、顶点、离心率 范围：范围：ayaaya，bxb. bxb. 对称性：对称性：关于关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称. .顶点：顶点：(0 (0 ， a) a)，(b ,0 ). (b ,0 ). 离心率：离心率： . .知识回顾知识回顾2021/3/102 2.2.椭圆离心率的取值范围？离心率变椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度
2、有什么影响？化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e e(0(0，1).1). e e越接近于越接近于0 0，椭圆愈圆；，椭圆愈圆； e e越接近于越接近于1 1，椭圆愈扁，椭圆愈扁. . 知识回顾知识回顾2021/3/1031. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是成一个正三角形，则该椭圆的离心率是 .知识巩固知识巩固2021/3/104A1MB2OF2yx2. 如图如图F2是椭圆的右焦点，是椭圆的右焦点，MF2垂垂直于直于x轴，且轴，且B2A1MO,求其离心率求其离心率.2021/3/1051.1.对于椭圆的原始方程对于椭圆的原始方程,
3、,变形后得到变形后得到 , ,再变形为再变形为 . .这个方程的几何意义如何？这个方程的几何意义如何？新知探究新知探究2021/3/106所以，点所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。的椭圆。FlxoyMHd2021/3/107思考上面探究问题，并回答下列问题：思考上面探究问题，并回答下列问题：探究：（1）用坐标法如何求出其）用坐标法如何求出其轨迹方程轨迹方程，并说出轨迹，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义）给椭圆下一个新的定义2021/3/108探究探究、点、点M（x,y)与定点与定点F （c,0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线l:x=a2/c
4、 的距离的比是常数的距离的比是常数c/a（ac0),求点求点M 的轨迹。的轨迹。yFFlIxoP=M| 由此得由此得将上式两边平方，并化简，得将上式两边平方，并化简，得设设 a2-c2=b2,就可化成就可化成这是椭圆的标准方程，所以点这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、的轨迹是长轴、短轴分别为短轴分别为2a,2b 的椭圆的椭圆M解：设解：设 d是是M到直线到直线l 的距离，根的距离，根据题意，所求轨迹就是集合据题意，所求轨迹就是集合2021/3/109FFlIxoy 由探究可知，当点由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直与一个定点的距离和它到一条定直线的距离线的距离 的比是常数
5、的比是常数 时，这个点的轨时，这个点的轨迹迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线椭圆的准线，常，常数数e是椭圆的离心率。是椭圆的离心率。 此为此为椭圆的第二定义椭圆的第二定义. 对于椭圆对于椭圆 ，相应于焦点，相应于焦点F（c,0)准线方程是准线方程是 , 根据椭圆的对称性，相应于根据椭圆的对称性，相应于焦点焦点F(-c.0) 准线方程是准线方程是 ,所以椭圆有两条准线。所以椭圆有两条准线。2021/3/1010归纳归纳: :椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义定义 1图图 形形定义定义 2平面内与平面
6、内与2021/3/1011O Ox xy yF FH HM Ml椭圆上的点椭圆上的点M(xM(x，y)y)到焦点到焦点F(cF(c，0)0)的距的距离与它到直线离与它到直线 的距离之比等于离的距离之比等于离心率心率. .新知探究新知探究2021/3/1012若点若点F F是定直线是定直线l l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于等于常数常数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. .M MF FH Hl新知探究新知探究动画动画2021/3/1013 直线直线 叫做椭圆相应于焦叫做椭圆相应于
7、焦点点F F2 2(c(c，0)0)的的准线准线，相应于焦点，相应于焦点F F1 1( (c c，0)0)的准线方程是的准线方程是O Ox xy yF F2 2F F1 1新知探究新知探究2021/3/1014椭圆椭圆 的准线方程是的准线方程是x xF F1 1F F2 2y yO O新知探究新知探究2021/3/1015M MO Ox xy yF Fl椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是新知探究新知探究2021/3/1016由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：2021/3/1017对于椭圆对于椭圆 椭圆上的点到椭
8、圆中心的距离的最大值椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是和最小值分别是O OM Mx xy y最大值为最大值为a a，最小值为，最小值为b.b.新知探究新知探究2021/3/1018椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？值和最小值分别是什么？O OM Mx xy yF F新知探究新知探究2021/3/1019A1F2F1B2B1A2xyOM化为关于化为关于x的二次函数的最值问题的二次函数的最值问题.|MF2|min=|A2F2| =a-c|MF2|max=|A1F2| =a+c2021/3/1020 点点M M在椭圆上运动，当点在椭圆
9、上运动，当点M M在什么位在什么位置时，置时，F F1 1MFMF2 2为最大？为最大？ F F1 1O OF F2 2x xy yM M 点点M M为短轴的端点为短轴的端点. . 新知探究新知探究2021/3/1021 练习：已知练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，椭椭圆的左右焦点，椭圆上存在点圆上存在点M使得使得MF1MF2,求椭圆的求椭圆的离心率的范围离心率的范围. 2021/3/1022椭圆上一点椭圆上一点M(xM(x0 0，y y0 0) )到左焦点到左焦点F F1 1( (c c，0) 0) 和右焦点和右焦点F F2 2(c(c，0)0)的距离分别是的距离分别是F F1 1O O
10、F F2 2x xy yM M|MF|MF1 1| |a aexex0 0|MF|MF2 2| |a aexex0 0新知探究新知探究N N2021/3/1023 椭圆上的点到椭圆一个焦点的距椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的离叫做椭圆的焦半径焦半径，上述结果就是，上述结果就是椭圆的焦半径公式椭圆的焦半径公式. .|MF|MF1 1| |a aexex0 0|MF|MF2 2| |a aexex0 0新知探究新知探究2021/3/1024 椭圆椭圆 的焦半径公式是的焦半径公式是 |MF|MF|aeyaey0 0 x xF F1 1F F2 2y yO OM M新知探究新知探究2021/3
11、/1025焦半径公式焦半径公式 该公式的记忆方法为该公式的记忆方法为左加右减左加右减”，即在，即在a与与ex0之之间，间，如果是左焦半径则用加号如果是左焦半径则用加号“+连接，如果是右焦半径用连接，如果是右焦半径用“”号连接号连接焦点在焦点在x轴上时：轴上时： PF1=a+exo，PF2=a-exo；焦点在焦点在y轴上时：轴上时： PF1=a+eyo,PF2=a-eyo。 该公式的记忆方法为该公式的记忆方法为下加上减下加上减”，即在，即在a与与ey0之之间，间，如果是下焦半径则用加号如果是下焦半径则用加号“+连接，如果是上焦半径用连接，如果是上焦半径用“”号连接号连接焦半径的最大值为：焦半径的
12、最大值为：a+c焦半径的最小值为：焦半径的最小值为：a-c2021/3/1026 例例1 1 若椭圆若椭圆 上一点上一点P P到到椭圆左准线的距离为椭圆左准线的距离为1010，求点，求点P P到椭到椭圆右焦点的距离圆右焦点的距离. .12 12 典型例题典型例题2021/3/1027 例例2 2 已知椭圆的两条准线方程为已知椭圆的两条准线方程为 y y99，离心率为，离心率为 ，求此椭圆的标准，求此椭圆的标准方程方程. .典型例题典型例题2021/3/1028 例例3 3 已知椭圆中心在原点，焦点已知椭圆中心在原点，焦点在在x x轴上，点轴上，点P P为直线为直线x x3 3与椭圆的一与椭圆的
13、一个交点，若点个交点，若点P P到椭圆两焦点的距离分到椭圆两焦点的距离分别是别是6.56.5和和3.53.5，求椭圆的方程，求椭圆的方程. .F F1 1O OF F2 2x xy yP P典型例题典型例题2021/3/1029例例4 4 已知点已知点M M与点与点F(4F(4，0)0)的距离和它的距离和它到直线到直线l l： 的距离之比等于的距离之比等于 ，求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程. . M MO Ox xy yF FH Hl典型例题典型例题2021/3/1030课堂小结课堂小结 1.1.椭圆上的点到一个焦点的距离椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆与它到相应
14、准线的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义通常将它称为椭圆的第二定义. .2021/3/1031课堂小结课堂小结 2.2.一个椭圆有两条准线，并与两一个椭圆有两条准线，并与两个焦点相对应，两条准线在椭圆外部，个焦点相对应，两条准线在椭圆外部，且与长轴垂直，关于短轴对称且与长轴垂直，关于短轴对称. .2021/3/1032 3.3.椭圆焦半径公式的两种形式与椭圆焦半径公式的两种形式与焦点位置有关，可以记忆为焦点位置有关，可以记忆为“左加右左加右减，下加上减减，下加上减”. .课堂小结课堂小结2021/3/1033变式:1.
15、已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定B2021/3/1034课堂练习课堂练习1、椭圆、椭圆 上一点到准线上一点到准线 与到焦与到焦点（点（-2，0）的距离的比是）的距离的比是 （ ）B2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是的离心率是( ) C2021/3/10353.若一个椭圆的离心率若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是准线方程是 x=4, 对应的焦点对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是），则椭圆的方程是 _3x2-8x+4y2=0 4：已知椭圆：已知椭圆 P为椭圆在第一象限内的点，它为椭圆在第一象限内的点，它与两焦点的连线互相垂直，求与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。点的坐标。2021/3/10362021/3/10372021/3/1038
