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1、二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、一、极限存在准则极限存在准则第五节第五节极限存在准则及极限存在准则及两个重要极限两个重要极限 第二章第二章 三、三、 无穷小量的比较无穷小量的比较 一、一、 极限存在准则极限存在准则1. 准则准则1（数列极限存在的夹逼准则）数列极限存在的夹逼准则）证证: 由条件由条件 (2) ,当当时时,当当时时,令令则当则当时时, 有有由条件由条件 (1)即即故故 例例1. 证明证证: 利用夹逼准则 .且由目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则准则准则1.且目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求求解解: 令令则则利用夹逼准
2、则可知利用夹逼准则可知3.准则准则2(单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限)( 证明略 )Mx1x5x4x3x2xna目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 两个重要极限两个重要极限 注 目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积证证: 当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注 目录 上页 下页 返回 结束 如何计算：如何计算：公式的推广：公式的推广：如果如果请请 公式的特点！公式的特点！注意注意例例3. 求解解: 例例4. 求解解: 令则因此原式注意：变量代换也是一种很有用的方法注意：变量代换也是一种很有用的方法
3、例例5. 求解解: 原式 =例例6. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: 证证: 说明说明: 计算中注意利用目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求解解: 例例8. 求解解:原式目录 上页 下页 返回 结束 例例. 求求 解：解：因为因为所以，所以，目录 上页 下页 返回 结束 解解例例 当当 时，求时，求目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2.证证: 利用二项式公式 , 有目录 上页 下页 返回 结束 大大 大大 正正又比较可知目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列即有极限 .又内容小结 注注: :这个极限值被瑞士欧拉（这个极限值被瑞士欧拉（Euler
4、) )首先用字母首先用字母e表示，它表示，它是一个无理数是一个无理数, , 其值用其值用e = 2.7182818284)来表示来表示. .2.证证: 当时, 设则当则从而有故说明说明: 此极限也可写为:时, 令更一般地有:例例9. 求解解: 令则说明说明 ：若利用则 原式例例10. 求解解: 原式 =目录 上页 下页 返回 结束 例例11求极限求极限解解目录 上页 下页 返回 结束 例例11 (复利息问题复利息问题)设银行将数量为设银行将数量为A0的款贷出的款贷出,每期利每期利率为率为 r.若一期结算一次若一期结算一次,则则t 期后连本带利可收回期后连本带利可收回 若每期结算若每期结算 m
5、次次,则则 t 期后连本带利可收回期后连本带利可收回 现实生活中一些事物的生长现实生活中一些事物的生长 (r0) 和衰减和衰减 (r0)就遵从这种规就遵从这种规律律,而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等。体冷却、放射性元素的衰减等。目录 上页 下页 返回 结束 若按连续复利若按连续复利( (将利息记入本金将利息记入本金, ,时刻结算本利时刻结算本利和的方法和的方法) )计算：计算：实质上就是每期的结算次数实质上就是每期的结算次数 时的本利和时的本利和目录 上页 下页 返回 结束 贴现问题贴现问题 与此
6、相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题。这时利率r称为贴现率。连续的贴现公式为： 若称A0为现在值，At为未来值，已知现在值求未来值是复利问题:由复利公式，容易推得离散的贴现公式为: 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 设年利率为，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元？解：解：贴现率r，未来值At=1200，t=16。现在值：目录 上页 下页 返回 结束 都是无穷小,引例引例 .但 可见无穷小量趋于可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . 三、无穷小的比较三、无穷小的比较目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.例如例如 , 当若则称 是比 高阶高阶
7、的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明: 当时,证证:目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明: 证证: 目录 上页 下页 返回 结束 因此 即有等价关系: 说明说明: 上述证明过程也给出了等价关系: 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.证证:即即例如例如,故目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 设且存在 , 则证证:例如例如,等价无穷小替换定理：等价无穷小替换定理：目录 上页 下页 返回
8、 结束 注注: :此定理表明此定理表明, , 求两个无穷小量积或商的求两个无穷小量积或商的极限时极限时, , 如果分子（如果分子（或分子的乘积因子或分子的乘积因子）或分母）或分母（或分母的乘积因子）（或分母的乘积因子）的等价无穷小量存在的等价无穷小量存在, , 则则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子或子或 分母（或分母（或分子或分母的乘积因子分子或分母的乘积因子）, , 使计使计算简化。算简化。目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,例例3. 求解解: 原式 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例5
9、. . 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. . 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 若若 ，求，求a. 解：解：所以，所以，a = 2.目录 上页 下页 返回 结束 例例8 若若【分析】本题属于已知极限求参数的反问题【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. .注注 ：一般地，已知：一般地，已知解解目录 上页 下页 返回 结束 思考题：思考题：已知已知 ，求，求 解解 因为因为 ，则，则所以，所以， ，利用等价无穷小替换得，利用等价无穷小替换得从而从而目录 上页 下页 返回 结束 常用等价无穷小常用等价无穷小 :第八节 目录 上页 下页 返回 结束 常用等价无穷小常用等价无穷小 :注注:
10、代表相同的表达式代表相同的表达式内容小结内容小结数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则1. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 2. 两个重要极限或注注: 代表相同的表达式目录 上页 下页 返回 结束 3. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，思考题思考题 1.1.设 , 且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则目录 上页 下页 返回 结束 2. 设证证: 显然证明下述数列有极限 .即单调增, 又存在“拆项相消拆项相消” 法法
