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1、一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求解解: 因为时,所以利用夹逼准则得因为 依赖于且1) 思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理原式不对不对 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如, P265 题4解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则夹逼准则可知(考研98 ) 例2. 求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: :提示提示: :由上题机动 目录 上页 下页 返回 结束 故练习:
2、 1.求极限解：解：原式2. 求极限提示提示：原式左边= 右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.估计下列积分值解解: 因为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证证明明证证: 令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5.设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例6.解：解：且由方程确定 y 是 x 的函数 , 求方程两端对 x 求导, 得令 x = 1, 得再对 y 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例7.求可微函数 f (x) 使满足解
3、解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设 f (x)0,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意 f (0) = 0, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求多项式求多项式 f (x) 使它满足使它满足方程方程解解: 令则代入原方程得两边求导:可见 f (x) 应为二次多项式 ,设代入 式比较同次幂系数 , 得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、 例9. 求求解解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 选择一个常数选择一个常数 c , 使使解解: 令则因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即可使原式为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12. 设设解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 若若解解: 令试证 :则机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为因为对右端第二个积分令综上所述机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 证明恒等证明恒等式式证证: 令则因此又故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15.试证使分析分析
5、: 要证即故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明: 令令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 , 从而不变号,因此故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知 ,存在一点思考: 本题能否用柯西中值定理证本题能否用柯西中值定理证明明 ?如果能, 怎样设辅助函数?要证: 提示提示: 设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使
6、 (03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 (3) 因 在a, 上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例17. 设设证证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即 成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求抛物线求抛物线在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为则该点处的
7、切线方程为它与 x , y 轴的交点分别为所指面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 且为最小点 . 故所求切线为得 0 , 1 上的唯一驻点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设非负函数设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1) 求函数(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)由方程得面积为 2 ,体积最小 ? 即故得机动 目录 上页 下页 返回 结束 又又(2) 旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 证明曲边扇证明曲边扇形形绕极轴证证: 先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积微元故旋转而成的体积为
8、机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求旋转体体积为例4. 求由求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 半径为半径为 R , 密度为密度为的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐标系如图 .则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出, 需做微元体积所受重力上升高度机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此微功元素为因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 设有半径为设有半
9、径为 R 的半球形容器如的半球形容器如图图.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过 t 秒容器内水深为h ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 求求由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:故有两边对 t 求导, 得at (升) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 将满池水全部抽出所做的最少将满池水全部抽出所做的最少功功为将全部水提对应于微元体积:微元的重力 :薄层所需的功元素故所求功为到池沿高度所需的功.机动 目录 上页 下页 返回 结束
