4 4 微分方程微分方程建模建模 ———— Malthus模型模型 与与 Logistic模型模型 4.1. 人口增长模型人口增长模型 4.2. 赝品赝品的的鉴定鉴定 4.3. 耐用新产品耐用新产品的销售速度问题的销售速度问题 4.4. 传染病传染病模型模型 4.1 人口增长模型人口增长模型 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律，控制人口过快增长！研究人口变化规律，控制人口过快增长！ 模型一模型一 ( (最简单的人口增长模型最简单的人口增长模型) )：：假设今年的人口是假设今年的人口是 x0, 人口的年增长率人口的年增长率是是常数常数 r ,于是，于是，k 年后年后的的人口人口为为:美丽的大自然 模型二模型二 ( (指数增长模型，即指数增长模型，即 Malthus 模型模型) )：：马尔萨斯马尔萨斯(1766～1834)Malthus，Thomas Robert英国著名经济学家，出生于英国著名经济学家，出生于英格兰的一个土地贵族家庭英格兰的一个土地贵族家庭. 1784年进入剑桥大学学习，年进入剑桥大学学习，1798年加入英国教会的僧籍年加入英国教会的僧籍,任牧师任牧师. 1799年到欧洲一些年到欧洲一些国家调查人口问题国家调查人口问题. 1805年年成为英国第一位成为英国第一位(也也是世界上是世界上第一位第一位)政治经济学教授政治经济学教授. 模型假设模型假设：：•人口增长率人口增长率 r 是是常数常数. .•人口的数量本应取离散人口的数量本应取离散值，但值，但由于人口数量一由于人口数量一般较大般较大，为建立微分方，为建立微分方程模型，可以程模型，可以将人口数将人口数量看作连续变量量看作连续变量，甚至，甚至允许它为可微变量，由允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分此引起的误差将是十分微小的微小的. . 模型构成模型构成：：设设 x(t) 表示表示 t 时刻时刻的的人口人口，有，有当当 r > 0，随着时间的增加，，随着时间的增加，人口按人口按指数规律无限增长指数规律无限增长!回忆：回忆： 模型检验模型检验：：•比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符与马尔萨斯模型的预报结果基本相符. •特别，利用特别，利用马尔萨斯马尔萨斯模型验证并检查模型验证并检查1700年至年至1961的的260年间人口实际数据，发现两者几乎完全年间人口实际数据，发现两者几乎完全一致！一致！•例如，例如，1961年世界人口数为年世界人口数为30.6 亿亿 ，人口数大约每，人口数大约每35年增年增加一倍加一倍. 模型预测模型预测：： 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。
例如，到几何级数的方式增长例如，到2510年，人口达年，人口达2×1014个，个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，平方英尺的活动范围，而到而到2670年，人口达年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了上排成二层了. 故故马尔萨斯模型是不完善的马尔萨斯模型是不完善的. .MalthusMalthus模型模型实际上只有在群体总数实际上只有在群体总数不太大时才合理不太大时才合理，当总数，当总数增大时，增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现等原因，就可能发生生存竞争等现象象. .所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净净增长率不可能始终保持常数，增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关它应当与人口数量有关. . 模型三模型三 ( (阻滞增长模型，即阻滞增长模型，即 Logistic 模型模型) )：：由荷兰生物由荷兰生物数学家数学家 P. F. Verhust 于于1837 年在研年在研究人口问题时建立究人口问题时建立. 基于这个模型能够描述一基于这个模型能够描述一些事物的客观规律，常些事物的客观规律，常被被称为称为Logistic 模型模型.由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高原因，出生率将降低而死亡率却会提高.阻滞作用随人口数量增加而变大阻滞作用随人口数量增加而变大r 是是 x 的减函数的减函数 假定假定r (0) = r0：：固有固有增长率增长率xm：：人口容量人口容量(资源、环境能容纳的最大数量资源、环境能容纳的最大数量)s 的意义是什么？的意义是什么？ dx/dtx0xmxm/2xmtx0x0xm/2 模型模型检验和预测检验和预测：：•大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型描述种群的增长，模型描述种群的增长，效果相当不错效果相当不错! ! •例如，数学家高斯把例如，数学家高斯把 5 5 只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm0.5cm3 3 营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天每天 230.9% 230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢，的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量到第五天达到最大量375375个，实验数据与个，实验数据与r r0 0 = 2.309= 2.309，，x0 = 5, , xm = 375 的的LogisticLogistic曲线：曲线： 几乎完全吻合几乎完全吻合. . Malthus 模型与 Logistic 模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与Malthus 模型与 Logistic 模型所反映的数学规律类似即可.阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测；而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用.总总 结结 4.2 赝品的鉴定赝品的鉴定•在第二次世界大战比利时解放后，在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯粹同谋犯. . •他们从一家曾向纳粹德国出卖过他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于艺术品的公司中发现线索，于19451945年年5 5月月2929日以通敌罪逮捕了日以通敌罪逮捕了三流画家三流画家汉汉··凡凡··米格伦米格伦(Han (Han van Meegeren)van Meegeren)，此人曾将，此人曾将1717世世纪荷兰著名画家纪荷兰著名画家约翰内斯约翰内斯··维米维米尔尔( (Johannes Vermeer) )的一些的一些油画卖给了当时纳粹德国的空军油画卖给了当时纳粹德国的空军司令戈林司令戈林. . 维米尔名作维米尔名作《《戴珍珠耳环的少女戴珍珠耳环的少女》》 •最初，最初，米格伦米格伦的确惊慌了一阵子的确惊慌了一阵子. . 可是，可是，米格伦米格伦在同在同年年7 7月月1212日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画《《在埃在埃牟斯的门徒牟斯的门徒》》都是他自己为都是他自己为““戏弄纳粹戏弄纳粹””的仿制品的仿制品. .•一位法官试图一位法官试图证明证明米格伦米格伦确确有通过制赝牟利的动机，有通过制赝牟利的动机，他却高调回答：他却高调回答：““如果我不卖个高价，他们就不会相如果我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！信这是真的！””《《在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒》》（（The Disciples at Emmaus））米格伦最著名的伪作米格伦最著名的伪作之一之一 •这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，米格伦米格伦在监狱里开始伪造在监狱里开始伪造维米尔维米尔的油画的油画《《在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒》》. .•旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民族旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民族英雄，罪名转化为盛名，英雄，罪名转化为盛名， 1947 1947年年1010月月1212日日米格伦米格伦被宣告被宣告犯有伪造罪，判刑一年犯有伪造罪，判刑一年. . 可是他在监狱中只待了两个多月可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于就因心脏病发作，于19471947年年1212月月3030日去世了日去世了. . •六十年后，美国记者、专栏作家六十年后，美国记者、专栏作家乔乔纳森纳森··洛佩兹洛佩兹(Jonathan Lopez)(Jonathan Lopez)出出版了版了《《制造维米尔的人制造维米尔的人》》(The man (The man who made Vermeers) who made Vermeers) 一书一书. . 在书中，在书中，洛佩兹洛佩兹表达了对那个时代荷兰人民表达了对那个时代荷兰人民的体谅：的体谅：““荷兰人对荷兰人对米格伦米格伦的态度的态度并非不可理解并非不可理解. . 在二战中，这个国在二战中，这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在盟国的帮助下完成盟国的帮助下完成. . 米格伦米格伦给了未给了未能主宰自身命运的荷兰人内心深处能主宰自身命运的荷兰人内心深处想要得到的东西想要得到的东西. . 而对于而对于‘‘欺骗欺骗’’这种事情，他又是太熟谙了这种事情，他又是太熟谙了. .”” •然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的的《《在在埃牟斯的埃牟斯的门徒门徒》》是是米格伦米格伦伪造的伪造的. . 事实上，在事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以1717万美元的高价被伦布兰特学会买下万美元的高价被伦布兰特学会买下. .•专家小组对于怀疑者的回答是：由于专家小组对于怀疑者的回答是：由于米格伦米格伦曾因他在曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制《《在埃在埃牟斯的门徒牟斯的门徒》》，来证明他高于三流画家，来证明他高于三流画家. . 当创造出这当创造出这样的杰作后，他的志气消退了样的杰作后，他的志气消退了. . 而且，当他看到这幅而且，当他看到这幅《《在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒》》那么容易卖掉以后，他在炮制后那么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了来的伪制品时就不太用心了. .•这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学确定地证明确定地证明《《在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒》》的确是一个伪造品的确是一个伪造品. .•这一问题拖了这一问题拖了2020年，直到年，直到19671967年，才被卡内基年，才被卡内基·梅伦大梅伦大学的科学家们基本解决学的科学家们基本解决. . 原理与模型原理与模型 出发点出发点：测定油画中颜料矿物质的年龄：测定油画中颜料矿物质的年龄. .测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象. . 放射性现象放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在：著名物理学家卢瑟夫在二十世纪初二十世纪初发现，发现，某些某些““放射性放射性””元素的原子是不稳定的，元素的原子是不稳定的，在一段在一段时间时间内，有一定比例的原子会自然蜕变形成新元素的原子，内，有一定比例的原子会自然蜕变形成新元素的原子，且且 物质的放射性正比于现存物质的原子数物质的放射性正比于现存物质的原子数. .用用 N(t) 表示时刻表示时刻 t 时存在的原子数时存在的原子数,则：则： (λ 为物质的衰变率) •λ 和和 N(t) 能能测出或算出，只要再知道出或算出，只要再知道 N0 就可断就可断代代.•这正是问题的难处，下面是间接确定这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法的方法. .与负增长的与负增长的MalthusMalthus模模型完全一样型完全一样 其解为其解为: : •称称 t – t0 为为衰变时间衰变时间, 于是于是 与本问题相关的其他知识与本问题相关的其他知识: : (1) (1) 艺术家们应用白铅作为颜料之一艺术家们应用白铅作为颜料之一，已有两千多，已有两千多年历史年历史. . 白铅中含有微量的放射铅白铅中含有微量的放射铅210210，白铅是从，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系. .(2) (2) 衡量物质衰变的一个常用参数是它的衡量物质衰变的一个常用参数是它的半衰期半衰期，，即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间.令令则有则有: :利用利用 (3) (3) 铀238镭226铅210钋210铅206(放射性)(无放射性)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面，一方面，铀系铀系中各种中各种放射性物质均在不断放射性物质均在不断衰减；另一方面衰减；另一方面，铀，铀又又不断衰减不断衰减，补充着其后继元素，补充着其后继元素. •设设 t 时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210的含量为的含量为 N(t)；；•设镭单位时间铅设镭单位时间铅210的分解数为的分解数为 r (常数常数)；；•设设 λ 为为铅铅210的的衰变率，衰变率，则则N(t)满足微分方程：满足微分方程： 由此解得：由此解得：模型构成：模型构成： 若此画是真品，若此画是真品，t - t0 ≈ 300 (年年) . 从而可求出从而可求出 λN0 的的近似值近似值. 对对油画油画《《在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒》》具体计算如下：具体计算如下：于是，于是，由于半衰期由于半衰期: :于是，于是， (1)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面，一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素铀又不断地衰减，补充着其后继元素. (2)从而从而，，各种放射性物质（除铀以外）各种放射性物质（除铀以外）在岩石中在岩石中处于处于放射性平衡中放射性平衡中. (3)从铅矿中提炼铅时，铅从铅矿中提炼铅时，铅210与铅与铅206一起被作为铅留一起被作为铅留下，而其余物质则有下，而其余物质则有90—95%被留在矿渣里，因而被留在矿渣里，因而打破了原有的打破了原有的放射性平衡放射性平衡.(4)各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于含量高于3%的的. 与本问题相关的进一步的知识与本问题相关的进一步的知识: : •由于由于提炼前岩石中的铀系提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间分解数相同铀与铅的单位时间分解数相同.•设设 λu是铀的衰变率，是铀的衰变率， λ 是铅是铅210的衰变率，的衰变率， U0是是 0 时刻白铅中铀的含量，时刻白铅中铀的含量， N0 是是 0 时刻白铅中铅时刻白铅中铅210的含量的含量.于是于是，，由此由此推算出推算出每克白铅中铅每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于每分钟分解数不能大于30000个个，否则铀的含量将超过，否则铀的含量将超过4%，而这是不可能，而这是不可能的的. 若若则则(个)这些铀约这些铀约0.040.04克！克！ 即每克白铅约含即每克白铅约含0.040.04克铀，含量为克铀，含量为 4% . 以上确定了每克白铅中铅分以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝解数大于该值，说明画是赝品；但品；但若是小于不能断定画若是小于不能断定画一定是真品一定是真品. 4.3 耐用新产品的销售速度耐用新产品的销售速度问题问题•一种一种耐用新产品耐用新产品进入市场后，一般会都经过一进入市场后，一般会都经过一个销售量先不断增加，然后下降的过程个销售量先不断增加，然后下降的过程. . 研究研究新产品销售量的变化规律新产品销售量的变化规律, ,对于制定生产计划对于制定生产计划以及制定促销策略都很有意义以及制定促销策略都很有意义. .•怎样怎样建立数学模型描述建立数学模型描述产品的销售速度，并由产品的销售速度，并由此给出一些有用的结果以指导此给出一些有用的结果以指导生产？生产？ 模型构成模型构成：：•设需求量有一个上界，记此上界为设需求量有一个上界，记此上界为 K. (对于耐用产品对于耐用产品, ,人们一般不会重复购买人们一般不会重复购买. . 因此因此, ,产品的累积销售量可认为是购买者人数产品的累积销售量可认为是购买者人数)•记记 t 时刻已销售出的商品数量为时刻已销售出的商品数量为 x(t)，则尚未，则尚未使用该商品的使用该商品的人数为人数为 K－－x(t) .•于是，于是， x(t)满足满足此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为： dx/dtx0KK/2此方程即此方程即LogisticLogistic模型，模型，解为：解为： 在销出量小于最大需求量的在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下销，接着销售速度将开始下降降. Ktx0x0K/2此方程即此方程即LogisticLogistic模型，模型，解为：解为： 所以初期应采取小批量生产并加以所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有广告宣传；从有20%20%用户到有用户到有80%80%用用户这段时期，应该大批量生产；后户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果较高的经济效果. . 4.4 传染病模型传染病模型•医医学学科科学学的的发发展展已已经经能能够够有有效效地地预预防防和和控控制制许许多多传传染染病病，，天天花花在在世世界界范范围围内内被被消消灭灭，，鼠鼠疫疫、、霍霍乱乱等等传传染染病病得得到到控控制制. . 但但是是仍仍然然有有一一些些传传染染病病暴暴发发或流行，危害人们的健康和或流行，危害人们的健康和生命生命. .•被被传传染染的的人人数数与与哪哪些些因因素素有有关关？？如如何何预预报报传传染染病病高潮的到来高潮的到来？？ 模型一模型一 •记时刻记时刻 t 已感染已感染 (infective) 的的病人病人数数为为 i(t). .•每个每个病人在单位时间内传染的人数为病人在单位时间内传染的人数为常数常数 . .•一一个个人得病后，经久不愈，人在传染期内不人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡会死亡. .•设设 i(t) 是连续可微函数是连续可微函数. .•开始时有开始时有i0个传染病人个传染病人. .模型模型假设及符号说明假设及符号说明：： 模型构成模型构成：： 模型检验：模型检验： •此模型即此模型即MalthusMalthus模型模型. . 它它大体上反映了传染大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考定的参考价值；但价值；但随着时间的推移，将越来随着时间的推移，将越来越偏离越偏离实际情况实际情况. . •在传染病传播期间，一个病人单位时间内传在传染病传播期间，一个病人单位时间内传染的人数染的人数 应该应该是变化是变化的的.•有必要将人群划分成有必要将人群划分成病人病人与与健康者健康者，来建立，来建立两房室系统两房室系统. .•在在初期初期，， 较大较大；；随着随着病人病人的增多，的增多，健康者健康者减少，被传染减少，被传染的的机会也将减少，于是机会也将减少，于是 就会就会变小变小. 模型二模型二 ( (SI模型模型) ) 模型模型假设假设及符号说明：及符号说明： •记时刻记时刻 t 的的病人和病人和健康健康者者(susceptible)的的 比例比例分别分别为为 i(t) 和和 s(t)，满足，满足 i(t) + s(t) = 1.•单位单位时间内一个时间内一个病人病人有效接触人数为有效接触人数为 , 且且使接使接触的健康人致病触的健康人致病.•一一个个人得病后，经久不愈，人在传染期内不会人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡死亡. .•设设 i(t) 和和 s(t) 是是连续可微函数连续可微函数. .•开始时有开始时有i0个传染病人个传染病人. . 模型构成模型构成：： (Logistic 模型模型)1/2tmii010tT = tm, di/dt 最大最大tm：：传染病传染病高潮到来时刻高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm ?此值与传染病的实际高峰期非常此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式接近，可用作医学上的预报公式 。
