第五节齐次线性方程组第五节齐次线性方程组第五节齐次线性方程组第五节齐次线性方程组1齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件2齐次线性方程组解的性质3基础解系4解的结构5练习题 1. 齐次线性方程组齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件有非零解的充要条件或或向量形式向量形式…………………………………… 定理定理8 以下命题等价以下命题等价(即互为充要条件即互为充要条件):(1) AX=0(4.2) 有非零解有非零解;(4) 秩秩 A
3. 基础解系基础解系(1) 向量组向量组线性无关线性无关 ;(2) (3) AX=0 的任一解都可以由的任一解都可以由线性表示线性表示则称则称向量组向量组(I)是齐次线性方程组是齐次线性方程组的的一个一个基础解系基础解系定义定义12 设设A是一个是一个s×n矩阵矩阵, 如果如果:都是都是AX=0的解；的解； 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 证明分几步证明分几步: 1. 用初等行变换将系数阵用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵; 个解3. 证明这证明这 个个解解线性无关线性无关;4. 证明任一解都可由这证明任一解都可由这个解个解线性表示线性表示.(1) 基础解系不是唯一的基础解系不是唯一的2) 当当时，解集合时，解集合(解空间解空间)是是2. 以某种方法找以某种方法找 个解个解;定理定理9 假设假设A是一个是一个则则齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0 存在存在基础解系基础解系, 且基础解系且基础解系注：注： 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回定义定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间的基。
的基 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 上页上页下页下页返回返回 试试求齐次线性方程组求齐次线性方程组例例 设设A= 秩秩A=3 ,基础解系含基础解系含 5－－3=2个向量个向量,是原是原方程组的一个基础解系方程组的一个基础解系,解解AX=0的一个的一个基础解系基础解系与通解与通解. 解：解：所以只有所以只有零解零解。