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1、1.1.4投影与直观图投影与直观图一、投影法一、投影法 物体在光线的照射下，就会在地面或物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。出了投影的方法。 太阳光线可以把一个矩形的窗框投射太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有中，框边的长度以及框边之间的夹角有所改变，但框边的平行性没有改变。所改变，但框边的平行性没有改变。 在立体几何中，一般都在立体几何中，一般都是根
2、据平行投影的性质，是根据平行投影的性质，用平面图形来表示空间图用平面图形来表示空间图形。形。二、投影法分类二、投影法分类1.中心投影法中心投影法 投影线均通过投影中心的投影法称为投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法。其投影的大小随物体与投中心投影法。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。影不能反映物体的实形。2.平行投影法平行投影法 投影线相互平行投影线相互平行的投影法称为平行投影的投影法称为平行投影法。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜法。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法；投影线垂直于投影面叫投影法；投影线垂
3、直于投影面叫平行正投平行正投影法影法简称简称正投影法正投影法 平行斜投影平行斜投影 平行正投影平行正投影 应用正投影法，能在投影面上反映物体应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的某些面的真实形状及大小真实形状及大小，且与物体到投，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。工程图样就是用正程中得到广泛的应用。工程图样就是用正投影法绘制的。投影法绘制的。（1） 点的平行投影点的平行投影：已知：已知图形图形F，直线，直线l与平面与平面相交，相交，过过F上任一点上任一点M作直线作直线l平平行于行于l，交平面，交平面于点于点M，则，则M叫
4、做点叫做点M在平面在平面内关于内关于直线直线l的平行投影的平行投影.（2）图形的平行投影图形的平行投影：如果图形：如果图形F上的所上的所有点在平面有点在平面内关于直线内关于直线l的平行投影构成的平行投影构成图形图形F，则，则F叫做图形叫做图形F在在内关于直线内关于直线l的平行投影，平面的平行投影，平面叫做投射面，叫做投射面，l叫做投叫做投射线。射线。三三. 平行投影的性质：平行投影的性质： 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：平行投影都具有以下性质：1直线或线段的平行投影仍是直线或线段的平行投影仍是直线或线段直线或线段;2. 平行
5、直线的平行投影是平行直线的平行投影是平行或重合平行或重合的直的直线；线；3平行于投射面的线段，它的投影与这条平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；线段平行且等长；4与投射面平行的平面图形，它的投影与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；与这个图形全等；5在同一直线或平行直线上，两条线段在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度平行投影长度的比等于这两条线段长度的比。的比。 当投射线和投射面成当投射线和投射面成适当的角度适当的角度或改或改变图形变图形相对于投射面的位置相对于投射面的位置时，一个空时，一个空间图形在投射面上的间图形在投射面上的平行投影平行
6、投影（平面图（平面图形）可以形）可以形象地表示这个空间图形形象地表示这个空间图形。像。像这样用来表示空间图形的平面图形，叫这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的做空间图形的直观图直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法，依据平行投影的性质画直观图的方法，国家规定了统一的标准，一种较为简单国家规定了统一的标准，一种较为简单的画图标准是的画图标准是斜二侧画法斜二侧画法。xyoXYO 先观察一个正方形，如何把它画成先观察一个正方形，如何把它画成水平水平放置的直观图放置的直观图呢？我们用一个呢？我们用一个平行四边形平行四边形来表示它。那么这个平行四边形有什么要来表示它。那么这个平行四边形有什
7、么要求呢？求呢？四四. 斜二测画法：斜二测画法： 斜二测画法是斜二测画法是国家规定国家规定的统一的的统一的画直观画直观图图的一种方法，它的规则是：的一种方法，它的规则是： （1）在已知图形所在的）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互空间中取水平平面，作互相垂直的轴相垂直的轴Ox，Oy，再作，再作Oz轴，使轴，使xOz=90，且，且yOz=90.（2）画直观图时，把）画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对画成对应的轴应的轴Ox、Oy、Oz，使，使xOy=45（或（或135），），xOz=90，xOy所确定的平面表示水平平面所确定的平面表示水平平面;（3）已知图形中，平行于）已知图形中，平行于x轴
8、、轴、y轴或轴或z轴轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、轴、y轴或轴或z轴的线段轴的线段. 并使它们和所画坐标轴并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的坐标轴的位置关系相同位置关系相同；（4）已知图形中平行于）已知图形中平行于x轴和轴和z轴的线段，轴的线段，在直观图中保持长度不变，在直观图中保持长度不变，平行于平行于y轴轴的线的线段，长度为段，长度为原来长度的一半原来长度的一半；（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图标轴，就得到了空间图形的
9、直观图 所以，画图的关键是正确地画出所以，画图的关键是正确地画出水平放水平放置的图形。置的图形。例、用斜二测画法画水平放置的正六边例、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图形的直观图(1)在六边形在六边形ABCDEF中，取中，取AD所在的直线为所在的直线为x轴，对称轴轴，对称轴MN所在直线为所在直线为y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O画对应的画对应的x，y轴，两轴相交于点轴，两轴相交于点O，使，使xOy=45.P 在画出了水平放置的正六边形的直观在画出了水平放置的正六边形的直观图后，按照斜二侧画法不难画出六棱柱和图后，按照斜二侧画法不难画出六棱柱和六棱锥的直观图。六棱锥的直观图。例例2.画水平
10、放置的正三角形的直画水平放置的正三角形的直观图。观图。练习题：练习题：1. 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中平行投影的性质，下列说法中不正确不正确的是（的是（ ）（A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段）直线或线段的平行投影仍是直线或线段 （B）平行直线的平行投影仍是平行的直线）平行直线的平行投影仍是平行的直线 （C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等图形全等 （D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的
11、比影的比等于这两条线段的比B2. 直线的平行投影可能是（直线的平行投影可能是（ ） （A）点）点 （B）线段）线段 （C）射线）射线 （D）曲线）曲线A3. 如图为水平放置的如图为水平放置的OAB的直观图，由图判的直观图，由图判断原三角形中断原三角形中AB、OB、OD、BD由小到大的顺序由小到大的顺序为为 .ODBDAB=OB4. 两条不平行的直线，其平行投影不可能两条不平行的直线，其平行投影不可能是（是（ ）（A）两条平行线）两条平行线. （B）一点和一条直线）一点和一条直线 （C）两条相交直线）两条相交直线 （D）两个点）两个点D5. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为是一个底角为45，腰和上底的长均为，腰和上底的长均为1的的等腰梯形，那么原四边形的面积是（等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ） （A）2+ （B）1+ （C） (2+ ) （D） (1+ )A6. 一个四边形的直观图是边长为一个四边形的直观图是边长为a的正方的正方形，则原图形的面积是形，则原图形的面积是 。
