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1、第五章第五章 数理统计的根底知识数理统计的根底知识第一节第一节 数理统计的根本概念数理统计的根本概念第二节第二节 常用统计分布常用统计分布第三节第三节 抽样分布抽样分布数理统计数理统计对随机景象进展观测、实验，以获得有代表性对随机景象进展观测、实验，以获得有代表性的观测值的观测值, ,并对已获得的数据进展归纳整理、画并对已获得的数据进展归纳整理、画出统计图表，来反映研讨对象的数据分布特征出统计图表，来反映研讨对象的数据分布特征. .对已获得的观测值进展整理、分析对已获得的观测值进展整理、分析, ,作出推断、作出推断、决策决策, ,从而找出所研讨的对象的规律性从而找出所研讨的对象的规律性. .数
2、数理理统统计计的的分分类类描画统计学描画统计学推断统计学推断统计学 客观上客观上, 只允许我们对随机景象进展次数不多的察看实只允许我们对随机景象进展次数不多的察看实验验, 我们只能获得部分察看资料我们只能获得部分察看资料. 在数理统计中在数理统计中, 不是对所研讨的对象全体不是对所研讨的对象全体 (称为总体称为总体)进进展察看展察看, 而是抽取其中的部分而是抽取其中的部分(称为样本称为样本)进展察看获得数据进展察看获得数据(抽样抽样), 并经过这些数据对总体进展推断并经过这些数据对总体进展推断.数理统计方法具有数理统计方法具有“部分推断整体的特征部分推断整体的特征 . 数理统计学是一门运用性很
3、强的学科数理统计学是一门运用性很强的学科. 它是研讨怎样以有效的方式搜集、它是研讨怎样以有效的方式搜集、 整理和分析带有随机整理和分析带有随机性的数据性的数据, 以便对所调查的问题作出推断和预测以便对所调查的问题作出推断和预测.第一节第一节 数理统计的根本概念数理统计的根本概念总体和样本总体和样本简单随机抽样简单随机抽样样本函数样本函数统计量统计量某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全该批灯泡寿命的全体就是总体体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体的全体就是总体每个具有的数量目的的全体就是总体每个具有的数量目的的全体就
4、是总体(population). 每个数量目的就每个数量目的就是个体是个体.人们往往研讨有关对象的某一项人们往往研讨有关对象的某一项(或几项或几项)数量目的数量目的; 为此为此, 对这一目的进展随机实验对这一目的进展随机实验, 察看实验结果全部察察看实验结果全部察看值看值, 从而调查该数量目的的分布情况从而调查该数量目的的分布情况. 1. 总体总体研讨对象全体元素组成的集合研讨对象全体元素组成的集合.一、总体和样本一、总体和样本所研讨的对象的某个所研讨的对象的某个(或某些或某些)数量目的的全体数量目的的全体,它是一个随机变量它是一个随机变量(或多维随机变量或多维随机变量), 记为记为 X. 总
5、体有三层含义总体有三层含义: 研讨对象的全体研讨对象的全体;全部数据全部数据; 分布分布.2. 个体个体组成总体的每一个元素组成总体的每一个元素.即某个数量目的的全体中的一个即某个数量目的的全体中的一个, 可看作随机变量可看作随机变量 X 的某个取值的某个取值, 用用 Xi 表示表示. 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.总体总体有限总体有限总体无限总体无限总体例例1: 研讨某批灯泡的寿命时研讨某批灯泡的寿命时, 关怀的数量目的就是寿命关怀的数量目的就是寿命, 那么那么, 此总体就可以用随机变量此总体就可以用随机变量 X 表示表示, 或用其分布函数或用
6、其分布函数 F (x) 表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体寿命寿命 X 可用概率可用概率(指数指数)分布来刻划分布来刻划常用随机变量或用其分布函数表示总体常用随机变量或用其分布函数表示总体, 比如说总体比如说总体 X 或总体或总体 F (x) .统计中统计中, 总体这个概念的要旨是总体这个概念的要旨是:总体就是一个概率分布总体就是一个概率分布.类似地类似地, 在研讨某地域中学生的营养情况时在研讨某地域中学生的营养情况时, 假设关怀的数量目的是身高和体重假设关怀的数量目的是身高和体重,我们用我们用 X 和和 Y 分别表示身高和体重分别表示身高和体重, 那么此总体就可用二维随机变量那么
7、此总体就可用二维随机变量 (X, Y) 或其结合分布函数或其结合分布函数 F (x, y)来表示来表示.从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为n的样本的样本, 就是对就是对代表总体的随机变量随机地、独立地进展代表总体的随机变量随机地、独立地进展n次实验次实验(观观测测), 每次实验的结果可以看作是一个随机变量每次实验的结果可以看作是一个随机变量,n次实验的结果就是次实验的结果就是n个随机变量个随机变量 X1, X2, Xn.这些随机变量相互独立这些随机变量相互独立, 并且与总体服从一样的分布并且与总体服从一样的分布.设得到的样本观测值分别是设得到的样本观测值分别是 x1, x2, , xn,那么
8、可以以为抽样的结果是发生了那么可以以为抽样的结果是发生了n个相互独立的事件个相互独立的事件: X1=x1, X2=x2, , Xn=xn.样本中所包含的个体数目称为样本容量样本中所包含的个体数目称为样本容量.3. 样本样本从总体中抽取的部分个体从总体中抽取的部分个体.例例2: 2: 检验一批灯泡的寿命检验一批灯泡的寿命, ,从中选择从中选择100100只只, ,那那么么: :总体总体: : 这批灯泡这批灯泡( (有限总体有限总体) )个体个体: : 这批灯泡中的每一只这批灯泡中的每一只 样本样本: : 抽取的抽取的100100只灯泡只灯泡样本容量样本容量: 100: 100样本值样本值: x1
9、, x2, x100: x1, x2, x1001. 假设从总体假设从总体 X 中抽取样本中抽取样本 X1, X2, Xn，满足满足:1) 代表性代表性:总体中每一个个体都有同等时机被选入总体中每一个个体都有同等时机被选入, 即样本即样本 Xi 与总体与总体 X 有一样的分布有一样的分布;2) 独立性独立性:样本中每一样品的取值不影响其它样品的取样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值值, 即即 X1, X2, Xn 相互独立相互独立;二、简单随机抽样二、简单随机抽样这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样。这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样。简单随机样本是运用中最常见的情形，简单随
10、机样本是运用中最常见的情形，今后，假设不特别阐明，就指简单随机样本今后，假设不特别阐明，就指简单随机样本. .由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本。由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本。设总体设总体X的分布为的分布为F(x)，那么简单随机样本的结合分布为，那么简单随机样本的结合分布为:(1) 当总体当总体X是离散型时是离散型时, 其分布律为其分布律为:样本的结合分布律为样本的结合分布律为:(2) 当总体当总体X是延续型时是延续型时, X f (x), 那么样本的结合概率密度为那么样本的结合概率密度为:简单随机样本简单随机样本 X1, X2, Xn可以看成是可以看成是 n 个独立同分布个
11、独立同分布(iid )的随机变量的随机变量, 其共同分布即为总体分布其共同分布即为总体分布.2. 简单随机样本的结合分布函数简单随机样本的结合分布函数(independent, identically distributed)例例3: 设设(X1,X2,Xn)为为X的一个样本，的一个样本，求求 (X1,X2,Xn)的密度。的密度。 解解: (X1,X2,Xn) 为为X的一个样本，故的一个样本，故:例例4: 某商场每天客流量某商场每天客流量 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布， 求其样本求其样本 (X1, X2, , Xn) 的结合分布律。的结合分布律。解解:例例5: 5: 设某批
12、产品共有设某批产品共有N N个个, ,其中的次品数为其中的次品数为M,M, 其次品率为其次品率为: p=M/N, : p=M/N, 假设假设 p p是未知的是未知的, ,那么可用抽样方法来估计那么可用抽样方法来估计它它. .X 服从参数为服从参数为 p 的的 0-1分布分布,可用如下表示方法可用如下表示方法:从这批产品中任取一个产品从这批产品中任取一个产品, ,用随机变量用随机变量 X X 来描画它能否是次品来描画它能否是次品: :设有放回地抽取一个容量为设有放回地抽取一个容量为n n的样本的样本: (X1, X2, , Xn): (X1, X2, , Xn)(X1, X2, , Xn) 的结
13、合分布律为的结合分布律为:其样本值为其样本值为: ( x1, x2, , xn) : ( x1, x2, , xn) 样本空间为样本空间为: :假设抽样是无放回的假设抽样是无放回的, ,那么前次抽取结果会影响后面抽取结果那么前次抽取结果会影响后面抽取结果, ,例如例如: :所以所以, , 当样本容量当样本容量 n n 与总体中个体数目与总体中个体数目 N N 相比很小时相比很小时, , 可将无放回抽样近似地看作放回抽样可将无放回抽样近似地看作放回抽样. .总体实际分布总体实际分布 ？ 样本样本 样本值样本值统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本值样本值,去推断总体的情况去推断总体的情
14、况总体分布总体分布F (x)的性质的性质.总体分布决议了样本取值的概率规律总体分布决议了样本取值的概率规律, 也就是样本取到样本值的规律也就是样本取到样本值的规律,因此可以由样本值去推断总体因此可以由样本值去推断总体. 样本是联络二者的桥梁样本是联络二者的桥梁3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系为了经过对样本观测值的整理、分析、研讨为了经过对样本观测值的整理、分析、研讨,对总体对总体 X的某些概率特征作出推断的某些概率特征作出推断,往往需求思索各种适用的样本函数往往需求思索各种适用的样本函数 g(X1, X2, Xn).由于一组样本由于一组样本 X1, X2, Xn可以看作是
15、可以看作是 一个一个 n维随机变量维随机变量 (X1, X2, Xn), 所以样本函数所以样本函数 g(X1, X2, Xn)是是n维随机变量的函数维随机变量的函数, 显然也是随机变量显然也是随机变量.根据样本根据样本 X1, X2, Xn的观测值的观测值 x1, x2, xn计算得到的函数值计算得到的函数值g(x1, x2, xn)就是就是样本函数样本函数g(X1, X2, Xn)的观测值的观测值.三、样本函数三、样本函数(sample function)四、统计量四、统计量(statistic)2. 几个常见统计量几个常见统计量:样本均值样本均值:它反映了总体均值的信息它反映了总体均值的信息样本方差样本方差:它反映了总体方差的信息它反映了总体方差的信息样本规范差样本规范差: 它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本 k 阶原点矩阶原点矩:样本样本 k 阶中心矩阶中心矩:它反映了总体它反映了总体k 阶中心矩的信息阶中心矩的信息3. 统计量的察看值统计量的察看值:显然显然, 当样本容量当样本容量 n充分大时充分大时, 样本方差样本方差 s2与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 b2是近似相等的是近似相等的.B2也称为未修正样本方差也称为未修正样本方差作业习题5-1 1
