投资组合的风险与收益 Mean and Variance Analysis投资学第五讲投资学第五讲 课程脉络课程脉络 确定性的现金流定价：确定性的现金流定价：时间的维度时间的维度 随机现金流定价：随机现金流定价：风险的维度风险的维度Chapters 5，14-16Chapters 6-13 Course Overview 随机现金流定价：随机现金流定价：风险的维度风险的维度Topics:Topics:•Mean/Variance Analysis•Portfolio Selection•CAPM •Data and Statistics•Arbitrage Pricing Theory•EMH 基本的想法基本的想法用随机变量来刻画随机现金流，借助概率论来研究随机性Mean and Variance AnalysisMean and Variance Analysis：：用均值表示收益，用方差（标准差）表示风险金融资产随机现金流收益性收益性风险性风险性流动性流动性 Mean-VarianceAnalysisBasic ProbabilityRisk aversionRisk aversionPortfolio Mean and VarianceSingle Securities 单个证券的收益与风险单个证券的收益与风险资本利得资本利得股息收入股息收入1 证券的证券的持有期回报持有期回报 Holding-period return：：给定期限内的收益率。
给定期限内的收益率其中，其中，p0表示当前的价格，表示当前的价格，pt表示未来表示未来t时刻的价格时刻的价格 Returns on HP and S&P 500 March 2001 – March 2006 ?R1 = 50%R2 = -20%E(R) = pR1 + (1-p)R2 =0.6 (50%) +0.4(-20%) = 22%s2 = E[(R - E(R))2] = p[R1 - E(R)]2 + (1-p) [R2 - E(R)]2 =0.6 (50-22)2 + 0.4(-20-22)2 = 1,176s = 34.293%Risky Outcomes 掷骰子掷骰子 Roll of a dieX=1234561/61/61/61/61/61/6w/ prob.x1/61/61/6 1/61/61/6123456 正态分布正态分布The Normal Distribution 2 2 预期回报（预期回报（Expected returnExpected return）由于未来证券价）由于未来证券价格和股息收入的不确定性，很难确定最终总持有期格和股息收入的不确定性，很难确定最终总持有期收益率，故需要量化证券所有的可能情况，从而得收益率，故需要量化证券所有的可能情况，从而得到其概率分布，并求得其期望回报。
到其概率分布，并求得其期望回报 3 证券的风险（Risk）金融学上的风险表示收益的可预计的不金融学上的风险表示收益的可预计的不确定性注意：确定性注意：风险与损失的意义不风险与损失的意义不同同）即各种可能情况下的收益，对预）即各种可能情况下的收益，对预期收益（均值）的偏离程度，因此方差期收益（均值）的偏离程度，因此方差（标准差）是最好的工具标准差）是最好的工具 例：投资于某股票，初始价格例：投资于某股票，初始价格1 0 01 0 0元，持有元，持有期期1 1年，现金红利为年，现金红利为4 4元，股票价格由如下三元，股票价格由如下三种可能，求其种可能，求其HPRHPR期望收益率和方差期望收益率和方差经济状况经济状况出现概率出现概率期末价格期末价格繁荣繁荣0.250.25140140元元正常正常0.500.50110110元元衰退衰退0.250.25 80 80元元HPR(%)HPR(%)44441414-16-16 4 风险溢价（Risk Premium）–预期收益超过无风险证券收益的部分，为投资的预期收益超过无风险证券收益的部分，为投资的风险提供补偿。
风险提供补偿–无风险（无风险（Risk-freeRisk-free）证券：其收益确定，故方差）证券：其收益确定，故方差为零一般以短期国债或者货币市场基金作为其为零一般以短期国债或者货币市场基金作为其替代品–上例中股票的预期回报率为上例中股票的预期回报率为1414％，若无风险收益％，若无风险收益率为率为8 8％初始投资％初始投资100100元于股票，风险溢价为元于股票，风险溢价为6 6元，作为承担风险（元，作为承担风险（标准差为标准差为）的补偿 对均值与方差的分析对均值与方差的分析 均值本身是期望值的一阶矩差，方差是均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差围绕均值的二阶矩差 三阶矩差三阶矩差( (包括其他奇数矩差：包括其他奇数矩差：M M5 5，，M M7 7等等) )表示不确定性的方向，即收益分布的不对称表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况所有偶数矩差的情况所有偶数矩差( (方差，方差，M M4 4等等) )都表明都表明有极端值的可能性这些矩差的值越大，不有极端值的可能性这些矩差的值越大，不确定性越强确定性越强 均值－方差在描述金融资产时有一定的均值－方差在描述金融资产时有一定的局限性：局限性：如果两个风险资产的均值和方差都如果两个风险资产的均值和方差都相同，也会出现收益率的概率分布不同。
相同，也会出现收益率的概率分布不同 萨缪尔森 Samuelson 有两个重要结论： 1、所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择 2、方差与均值对投资者的效用同等重要 主要假设是股票收益分布具有紧凑性Compactness：股票价格具有连续性如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的 1970 年诺贝尔经济奖的萨缪尔森(Paul A.Samuleson , 1915～2009)《经济分析基础》 Mean-VarianceAnalysisBasic ProbabilityRisk aversionRisk aversionPortfolio Mean and VarianceSingle Securities 风险与收益的权衡、风险厌恶风险与收益的权衡、风险厌恶（（Risk aversion）） 如果证券A可以按50％的概率获得20％的收益，50％的概率的收益为0，而证券B可以无风险的获得回报率为10％，你将选择哪一种证券？ R1 = 20%R2 = 0E(R)=10%证券 A证券 BR=10%Which will you choose?E(R)=10% 对于一个风险规避的投资者，虽然证券A的期望收益为10％，但它具有风险，而证券B的收益是无风险的10％，显然证券 B优于证券 A 。
均值方差标准 Mean-variance criterion 若投资者是风险厌恶的，则对于证券A和证券B，如果同时同时至少有一个不相等，该投资者认为至少有一个不相等，该投资者认为“A占优于占优于B” 1234期望回报期望回报方差或者标准差方差或者标准差2 占优占优 1; 2 占优于占优于3; 4 占优于占优于3; 占优原则（占优原则（Dominance Principle）） 夏普比率准则夏普比率准则 Sharpe rate 对于风险和收益各不相同的证券，均方准则可能无法判定，可以采用夏普比率 它表示单位风险下获得收益，其值越大则越具有投资价值 现有A、B、C三种证券投资可供选择，它们的期望收益率分别为12.5% 、25%、10.8%，标准差分别为6.31%、19.52%、5.05%，用夏普比率对这三种证券如何排序？ n n从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的效用，而风险带给他负的效用，或者理解为一种负效用的商品n n根据无差异曲线，若给一个消费者更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，则只有增加正效用的商品 风险厌恶型投资者的无差异曲线风险厌恶型投资者的无差异曲线（（Indifference Curves））Expected ReturnStandard DeviationP2431Increasing Utility 不同理性投资者具有不同风险厌恶程度不同理性投资者具有不同风险厌恶程度 效用函数（效用函数（Utility function））假定一个风险规避者有如下形式的效用函数–其中，其中，A A为投资者风险规避的程度。
为投资者风险规避的程度–若若A A越大，表示投资者越害怕风险，在同等风越大，表示投资者越害怕风险，在同等风险的情况下，越需要更多的收益补偿险的情况下，越需要更多的收益补偿–若若A A不变，则当方差越大，效用越低不变，则当方差越大，效用越低 Standard Deviation回报回报标准差标准差2 确定性等价收益率确定性等价收益率Certainly equivalent raten n排除风险因素后，风险资产能提供的等价的无风险收益率，称为风险资产的确定性等价收益率n n风险资产的U就是确定性等价收益率；由于无风险资产的方差为零，因此其效用U就等价于无风险回报率 某风险资产，某风险资产，E(r)=22%, Stand Deviation=34%, E(r)=22%, Stand Deviation=34%, 无风险收益率为无风险收益率为5 5％如果A A＝＝3 3 它等价于收益（效用）为％的无风险资产它等价于收益（效用）为％的无风险资产对于风险厌恶者，只有当风险资产的确定性等价收益对于风险厌恶者，只有当风险资产的确定性等价收益至少不小于无风险资产的收益时，才愿意投资至少不小于无风险资产的收益时，才愿意投资如果A＝2，确定性等价收益为多少？10.44% Risk neutral风险中性投资者的无差异曲线风险中性投资者的无差异曲线 风险中性型的投资者对风险无所谓，只关心投资收益。
Expected ReturnStandard Deviation Risk lover风险偏好投资者的无差异曲线风险偏好投资者的无差异曲线Expected ReturnStandard Deviation 风险偏好型将风险作为正效用的商品看待 从效用函数：的角度来看，风险中性者就是A＝0，效用函数为U＝E（r）；风险偏好者就是使A<0 Mean-VarianceAnalysisBasic ProbabilityRisk aversionRisk aversionPortfolio Mean and VarianceSingle Securities 资产组合的收益与风险资产组合的收益与风险 一个岛国有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司岛国每天下雨还是放晴的概率各为两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略防晒品公司防晒品公司雨具公司雨具公司下雨下雨放晴放晴0%20%20%0% 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为投资组合的收益 投资组合的风险（方差）More generally: r1r2r3r4r1r2r3r4 组合可以使风险变小！组合可以使风险变小！ ＝0 资产组合资产组合Portfolio的优点的优点n n对冲（Hedging），也称为套期保值。
投资于收益负相关资产，使之相互抵消风险的作用n n分散化（Diversification）：通过持有多个风险资产，就能降低风险n n组合使投资者选择余地扩大 分散化的好处分散化的好处投资组合可以通过分散化减少方差，而不会牺牲收益有有 n 个个独立独立的资产都有相同的均值和方差的资产都有相同的均值和方差组合的均值和方差是多少？Variance is reduced by a factor of n. 例如有例如有A A、、B B两种股票，每种股票的涨或跌的概率两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为都为50%50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种情况就至少有六种 涨，涨涨，涨 涨，跌涨，跌 涨涨,- ,- 跌，涨跌，涨 跌，跌跌，跌 跌跌,- ,- - , - , 涨涨 -, -, 跌跌AB组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。
决策更加科学 例例 题题 假设两个资产收益率的均值为，，其标准差为和，占组合的比例分别是和，两个资产协方差为，则组合收益的期望值和方差为 Appendix 1 随机变量随机变量 Random Variables离散随机变量 X is a variable that can take on the values: x1, x2, ...,xn with probabilities p1, p2,..., pn.w.p.whereand 概率分布函数概率分布函数x1x2x3x4x5p1p2p3p4p5可以把 pi写成 xi的函数, probability mass function. Example: Roll of a dieX=1234561/61/61/61/61/61/6w/ prob.x1/61/61/6 1/61/61/6123456 期望值期望值 Expectation如果 X 和 Y 是随机变量, a 和 b 是常数constants. E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]线性确定的值如果y是固定值, 那么 E[y]=y.非负性 pi≥0随机变量的期望可以写成 Example: Roll of a dieX=1234561/61/61/61/61/61/6w/ prob.x1/61/61/6 1/61/61/6123456Mean Mean 均值 Variance and Standard Deviation 方差和标准差测量随机变量取值偏离均值的程度标准差Standard Deviation is the square root of the Variance. 随机变量的方差Variance : Notation: 方差经常又写成: Example: Roll of a dieX=1234561/61/61/61/61/61/6w/ prob.x1/61/61/6 1/61/61/6123456 Several Random VariablesLet X1 and X2 be two random variables.联合概率分布函数 joint probability mass function 给事件(X1,X2)=(xi1,xj2) 一个概率 pi,j.如果X1 和X2 的取值不依赖，也不影响另一方，则称为是独立的 independent。
More specifically: 协方差协方差 CovarianceCovariance 衡量两个随机变量之间的相互影响Notation: If X1 and X2 are independent, then Cov(X1,X2) = 0.The covariance of X1 with itself is Cov(X1,X1) = Var(X1).. Covariance Terminologyif不相关 UncorrelatedWe say X1 and X2 are正相关 Positively correlated if负相关 Negatively correlated ifIntuition: 正相关含义是当 X1 取值大于均值时， X2 很可能也是取值大于均值，换句话说， X1 和X2 tend to move in the same direction. 负相关意味着 tend to move in opposite directions. 相关系数相关系数 Correlation CoefficientX1 和X2 之间的相关系数定义为由于协方差的取值有范围 这保证了IfPerfectly CorrelatedPerfect Negative CorrelationMore Terminology(X2=aX1+b, a>0)(X2=aX1+b, a<0) 和的均值和的均值 Mean of a SumThis follows from the linearity property of Expectation.More generally: Mean of a SumExample:If E[X] = 2, E[Y] = 3, E[Z] = -5What is E[X-2Y+Z]?Answer: Use the linearity property of Expectation...E[X-2Y+Z] = E[X] - 2E[Y] + E[Z] = 2-2(3)+(-5) = -9 Covariance Between Two Sums Tricks for Variance and Covariance1) 不用管常数项 Ignore constants2) 如同做两项乘积的展开.3) 用 var(X)替代X2 ,用cov(X,Y)替代XY ,用 var(Y)替代Y2 Practice so that you can do these steps in your head! Variance of a SumExample:What is Var[X-2Y+Z]?Answer: 。