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1、中考第一轮复习：矩形、中考第一轮复习：矩形、菱形、正方形菱形、正方形考点一矩形、菱形、正方形的性质与判定图形性质判定面积公式菱形边两组对边分别平行,四条边相等1.依据定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形;3.四条边都相等的四边形是菱形角对角相等对角线两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形又是中心对称图形,对角线的交点就是对称中心,对角线所在直线就是对称轴,有2条对称轴考点一矩形、菱形、正方形的性质与判定图形性质判定面积公式正方形边对边平行、四条边都相等1.有一组邻边相等的矩形是正方形;2.对角线互相垂直的矩形是正方形;3.有一
2、个角是直角的菱形是正方形;4.对角线相等的菱形是正方形角四个角都是直角对角线两条对角线互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角对称性既是轴对称图形又是中心对称图形,有4条对称轴考点一矩形、菱形、正方形的性质与判定判定正方形的思路图考点二平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系命题点一矩形的性质及判定命题角度1应用矩形的性质进行相关计算或证明典例1(2017广西南宁,22)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,COD=60,求矩形ABCD的面积.命题点一矩形的性质及判定命题角度1应用矩形的性质进行相关计算或证明典例1命题
3、点一矩形的性质及判定命题角度1应用矩形的性质进行相关计算或证明(2017甘肃兰州,8)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC=变式训练1A.5B.4C.3.5D.3命题点一矩形的性质及判定命题角度2判定一个四边形是矩形典例2(2017山东日照,18)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E.(1)求证:DCAEAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.命题点一矩形的性质及判定命题角度2判定一个四边形是矩形典例2解析命题点二菱形的性质及判定命题角度1应用菱形的性质进行相关计算或证明典例3(2017河北,9)求
4、证:菱形的两条对角线互相垂直已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又BO=DO;AOBD,即ACBD;四边形ABCD是菱形;AB=AD.证明步骤正确的顺序是A.B.C.D.命题点二菱形的性质及判定命题角度1应用菱形的性质进行相关计算或证明变式训练2(2017漳州质检)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OB=OD.点E在线段OA上,连接BE,DE.给出下列条件:OC=OE;AB=AD;BCCD;CBD=EBD.请你从中选择两个条件,使四边形BCDE是菱形,并给予证明.你选择的条件是:(只填写序号).命题点二菱形的性
5、质及判定命题角度2判定一个四边形是菱形典例4命题点二菱形的性质及判定命题角度2判定一个四边形是菱形典例4解法一选.OB=OD,OC=OE,四边形BCDE是平行四边形.AB=AD,OB=OD,AOBD,即ECBD,平行四边形BCDE是菱形.解法二选.OB=OD,OC=OE,四边形BCDE是平行四边形,BCDE,CBD=BDE.CBD=EBD,BDE=EBD,BE=DE,平行四边形BCDE是菱形.命题点二菱形的性质及判定命题角度2判定一个四边形是菱形典例4解法三选.AB=AD,OB=OD,AOBD,即ECBD,BOC=BOE=90.CBD=EBD,BO=BO,BOCBOE,OE=OC.又OB=OD
6、,四边形BCDE是平行四边形.又ECBD,平行四边形BCDE是菱形.(备注:选或或结论不成立)命题点三正方形的性质及判定命题角度1应用正方形的性质进行相关计算和证明典例5(2017广东,10)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:SABF=SADF;SCDF=4SCBF;SADF=2SCEF;SADF=2SCDF,其中正确的是A.B.C.D.命题点三正方形的性质及判定命题角度1应用正方形的性质进行相关计算和证明变式训练3(2017天津,17)如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连
7、接PG,则PG的长为.命题点三正方形的性质及判定命题角度2正方形的判定及其应用典例6(2017山东青岛,21)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCEDCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.命题点三正方形的性质及判定命题角度2正方形的判定及其应用典例6(2)当ABBC时,四边形AEOF为正方形.理由如下:点E,O分别是AB,AC的中点,EOBC.又BCAD,OEAD,即OEAF.同理可证OFAE,四边形AEOF为平行四边形.又点E,F分别为AB,AD的中点,AE=AF,平行四边形
8、AEOF为菱形.ABBC,B=90,BAD=90,四边形AEOF为正方形.命题点三正方形的性质及判定命题角度2正方形的判定及其应用变式训练4如图,以A,B为其中两个顶点作位置不同的正方形,一共可以作A.1个B.2个C.3个D.4个命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题典例7阅读下面材料:在数学课上,老师请同学们思考如下问题:如图(1),我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来,得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题时,有如下思路:连接AC.结合小敏的思路作答:(1)若只改变图(1)中四边形ABCD的形状,如图(2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说
9、明理由.命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题典例7图(1)图(2)参考小敏思考问题的方法解决以下问题:(2)如图(2),在(1)的条件下,若连接AC,BD.当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?写出结论并证明.当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形?直接写出结论.命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题典例7命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题典例7命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题典例7常常见的中点四的中点四边形形顺次次连接四接四边形各形各边中点所得的四中点所得的四边形形,我我们称之称之为中点四中点四边形形.中点四中点四边形
10、的形状由原四形的形状由原四边形两形两对角角线的关系的关系(相等、垂直、相等且互相垂直相等、垂直、相等且互相垂直)决定决定.证明中点四明中点四边形的形状形的形状时,一般要用到一般要用到对角角线,依据三角形的中位依据三角形的中位线定理定理获得判定的条件得判定的条件.常常见的中点四的中点四边形的形的结论有有:(1)顺次次连接四接四边形各形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是平行四形是平行四边形形;(2)顺次次连接矩形各接矩形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是菱形形是菱形;(3)顺次次连接菱形各接菱形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是矩形形是矩形;(4)顺次次连接正方形各接正方形各边中点所得
11、到的四中点所得到的四边形是正方形形是正方形;(5)顺次次连接接对角角线相等的四相等的四边形各形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是菱形形是菱形;(6)顺次次连接接对角角线互相垂直的四互相垂直的四边形各形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是矩形形是矩形.命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题变式训练5(2016宁德,24)已知正方形ABCD,点E在直线CD上.(1)若F是直线BC上一点,且AFAE,求证:AF=AE;(请利用图中所给的图形加以证明)(2)写出(1)中命题的逆命题,并画出一个图形说明该逆命题是假命题;(3)若点G在直线BC上,且AG平分BAE,探索线段BG,DE,AE
12、之间的数量关系,并说明理由.命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题变式训练5(1)证明明:四四边形形ABCD是正方形是正方形,AB=AD,ADC=ABF=BAD=90.AEAF,EAF=90=BAD,BAF=EAF-EAB=BAD-EAB=DAE,ABFADE,AF=AE.(2)逆命逆命题:已知正方形已知正方形ABCD,点点E在直在直线CD上上,点点F是直是直线BC上一点上一点,且且AF=AE,则AFAE.画画图如下如下:由由图可知可知,当当AF=AE时,AF不一定垂直于不一定垂直于AE,所以所以该逆命逆命题是假命是假命题.(答案不唯一答案不唯一,正确即可正确即可)命题点四四边形的综
13、合运用命题角度四边形综合探究题变式训练5(3)如图(1),当点E在线段CD上时,有AE=DE+BG.理由:过点A作AFAE交CB的延长线于点F,由(1)得ABFADE,1=2,AF=AE,BF=DE.AG平分BAE,3=4,1+3=2+4,即FAG=DAG.四边形ABCD是正方形,ADBC,AGF=DAG=FAG,AF=FG,AE=AF=FG=BG+BF=BG+DE,AE=BG+DE.图(1)命题点四四边形的综合运用命题角度四边形综合探究题变式训练5如图(2),当点E在线段CD的延长线上时,有BG=DE+AE.理由:过点A作AFAE交BC于点F.易得AF=FG=AE,BF=DE,AE=FG=BG-BF=BG-DE,即BG=DE+AE.如图(3),当点E在线段DC的延长线上时,有AE=DE+BG,理由同.综上所述,线段BG,DE,AE之间的数量关系是:当点E在线段CD上或在线段DC的延长线上时,AE=DE+BG;当点E在线段CD的延长线上时,BG=DE+AE.图(2)图(3)结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！30
