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1、一、无穷区间的广义积分一、无穷区间的广义积分 二、被积函数有无穷型间断点的广义积分二、被积函数有无穷型间断点的广义积分 第五节第五节 广义积分和广义积分和 函数函数 问题的提出问题的提出前面遇到的定积分前面遇到的定积分 中中那么如何计算下列两种类型的积分？那么如何计算下列两种类型的积分？(1) 积分区间积分区间 是有限区间是有限区间(2) 被积函数被积函数 在在 上是有界上是有界的的一、无穷区间的广义积分一、无穷区间的广义积分 定义定义4-2 设函数设函数 f(x) 在区间在区间a,+)上连续上连续, 如果如果极限极限 存在存在, 则称此极限为则称此极限为 f(x) 在无穷区间在无穷区间 a,
2、+) 上的广义积分上的广义积分, 记为记为 若极限存在若极限存在, 称广义积分存在或称广义积分存在或收敛收敛; 若极限不存在若极限不存在, 则称广义积分不存在或则称广义积分不存在或发散发散.类似地类似地,定义广义积分定义广义积分(其中其中c为任意常数为任意常数) 当当上式两个上式两个广义积分都收敛时广义积分都收敛时, 称广义积分称广义积分 收敛收敛,否则称广义积分发散否则称广义积分发散. 设设 为为 一个原函数一个原函数, 记记 为使用方便为使用方便, 采用采用 Newton-Leibniz 公式的记法公式的记法.例例4-29 计算广义积分计算广义积分解解 -4-2241例例4-30 讨论广义
3、积分讨论广义积分 的敛散性的敛散性.解解 当当 p=1 时时,当当 时时, ,例例4-31 在一次口服给药的情况下在一次口服给药的情况下, 血药浓度血药浓度(c) 时间时间(t) 曲线可表示为曲线可表示为 其中其中 ka(ka0)为吸收速率常数为吸收速率常数, k(k0)为消除速率常为消除速率常数数, V 为药物的表面容积为药物的表面容积, F 为吸收分数为吸收分数, D 为口服为口服剂量剂量. 求求 c-t 曲线下的面积曲线下的面积 AUC(Area under Curve)二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分 定义定义4-3 设函数在区间设函数在区间 上连续上连续, ,且且如果极限
4、如果极限 ( ( ) )存在存在, ,则称此极限为则称此极限为函函数数 在区间在区间 上的上的广义积分广义积分, 记为记为 若极限存在若极限存在, 称广义积分存在或称广义积分存在或收敛收敛; 若极若极限不存在限不存在, 则称广义积分不存在或则称广义积分不存在或发散发散.a b 类似地类似地, 对函数对函数 在在 及及 处有无穷间断点的广义积分分别定义为处有无穷间断点的广义积分分别定义为 若若 , 只有当上式右端两个极限都存在只有当上式右端两个极限都存在时时,称广义积分称广义积分 收敛收敛,否则称广义积分否则称广义积分发散发散. a c b例例4-324-32 讨论广义积分讨论广义积分 的敛的敛
5、散性散性解：解： 当当 p=1 时时当当 p1 时时例4-33 计算计算解：解：x= /2 为函数的无穷间断点为函数的无穷间断点所以，广义积分所以，广义积分 发散。发散。 例例3434：计算广义积分计算广义积分解解:原原式式= 例例 求求解解是是无穷间断点无穷间断点求求解：解：x=0 是被积函数的无穷间断点，由于是被积函数的无穷间断点，由于即广义积分即广义积分 发散，所以发散，所以 发散。发散。错误结果：错误结果：15三、三、 函数函数定义定义： 函数一定存在函数一定存在性质性质 2 2: : ( ( +1)=+1)= ( ( ) )性质性质 1 1： (1)=1.(1)=1.作业作业: P139, 习题四习题四 27, 28.
