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1、第七章第七章 椭球面上的丈量计算椭球面上的丈量计算地球椭球的根本几何参数及相互关系地球椭球的根本几何参数及相互关系地球椭球的根本几何参数及相互关系地球椭球的根本几何参数及相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算大地线大地线大地线大地线将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向
2、值归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算椭球面上三角形的解算 大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式大地主题解算的高斯平均引数公式 12 21地球椭球的定义及其几何意义； 2常用丈量坐标系统的建立及其在控制丈量中的运用； 3各种丈量坐标系统之间的相互转换； 4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5地面丈量值程度方向和边长归算到椭球面的方法。知识点及学习要求知识点及学习要求难点在对本章的学习中，有
3、大量的公式推导与运用。各种常用丈量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算。 3 3n n1.地球椭球的根本几何参数地球椭球的根本几何参数7-17-1地球地球地球地球椭椭球的根本几何参数及相互关系了解球的根本几何参数及相互关系了解球的根本几何参数及相互关系了解球的根本几何参数及相互关系了解椭圆的长半轴：椭圆的长半轴： a a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴： b b椭圆的扁率：椭圆的扁率： 五个根本几何参数五个根本几何参数 椭圆的第一偏心率： 椭圆的第二偏心率：椭圆的第二偏心率： a、b称称为长度元素度元素扁率反映了扁率反映了椭球体的扁球体的扁平程度平程度
4、 e和和e反映反映椭球体的扁平程球体的扁平程度，偏心率越大，度，偏心率越大，椭球愈球愈扁扁 4 4n n决决决决议议旋旋旋旋转椭转椭球的外形和大小，只需知道五个参数中球的外形和大小，只需知道五个参数中球的外形和大小，只需知道五个参数中球的外形和大小，只需知道五个参数中的两个就的两个就的两个就的两个就够够了，但其中至少要有一个了，但其中至少要有一个了，但其中至少要有一个了，但其中至少要有一个长长度元素如度元素如度元素如度元素如a a或或或或b b。n n为简为简化化化化书书写，常引入以下符号和两个写，常引入以下符号和两个写，常引入以下符号和两个写，常引入以下符号和两个辅辅助函数：助函数：助函数：
5、助函数：注注 意意式中，式中，W W 第一根本第一根本纬度函数，度函数，V V 第二根本第二根本纬度函数。度函数。5 50.00673949674220.00673949674227 70.0067395018190.0067395018194734730.0067385254140.006738525414683683e2e20.00669437990130.00669437990130.0066943849990.0066943849995885880.0066934216220.006693421622966966e2e21/298.2572235631/298.2572235631/2
6、98.2571/298.2571/298.31/298.36399593.62586399593.62586399596.6519886399596.651988010501056399698.9017826399698.90178271107110c c6356752.31426356752.31426356755.2881576356755.288157528752876356863.0187736356863.01877304730473b b637863786378140637814063782456378245a aWGS-84WGS-84系椭球系椭球系椭球系椭球19751975国际
7、椭球国际椭球国际椭球国际椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球 我国所采用的的我国所采用的的1954年北京坐年北京坐标系运用的是克拉索夫斯系运用的是克拉索夫斯基基椭球参数；以后采用的球参数；以后采用的1980国家大地坐国家大地坐标系运用的是系运用的是1975国国际椭球参数；而球参数；而GPS运用的是运用的是WGS-84系系椭球参数。球参数。 6 62.地球椭球参数间的相互关系地球椭球参数间的相互关系 7 78 87-27-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系重点重点n n1.常用的四种坐常用的四种坐标系系 大地坐大地坐标系、系、空空间
8、直角坐直角坐标系系大地丈量中两种根本坐大地丈量中两种根本坐标系系子午平面直角坐子午平面直角坐标系系大地极坐大地极坐标系系 9 91大地坐标系大地坐标系 P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示 。P假假设P点不在点不在椭球面上，球面上，还要一个参数：大地高要一个参数：大地高H来表来表示点位。它与正常高及正高示点位。它与正常高及正高的关系的关系为：10102空间直角坐标系空间直角坐标系 以椭球中心以椭球中心O为原点，起为原点，起始子午面与赤道面交线为始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与轴，在赤道
9、面上与X轴轴正交的方向为正交的方向为Y轴，椭球轴，椭球体的旋转轴为体的旋转轴为Z轴，构成轴，构成右手坐标系右手坐标系O-XYZ，在，在该坐标系中，该坐标系中，P点的位置点的位置用用X、Y、Z表示表示 11113子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点的大地经度为L，在过，在过P点的子午面上点的子午面上，以子午圈椭圆中心，以子午圈椭圆中心为原点，建立为原点，建立x，y平平面直角坐标系。在该面直角坐标系。在该坐标系中，坐标系中，P点的位置点的位置用用L，x，y表示表示 12124大地极坐标系大地极坐标系 M为椭圆面子上恣意一为椭圆面子上恣意一点，点，MN为过为过M点的子午线，点的子
10、午线，S为连结为连结MP的大地线长，的大地线长，A为大地线在为大地线在M点的大地方位点的大地方位角。以角。以M为极点、为极点、MN为极轴、为极轴、S为极径、为极径、A为极角，就构成为极角，就构成了大地极坐标系。了大地极坐标系。P点位置用点位置用S、A表示。表示。 椭球面上的极坐球面上的极坐标S、A与大地坐与大地坐标L、B可以相互可以相互换算，算，这种种换算叫大地主算叫大地主题解算。解算。13132、各种坐标系间的关系、各种坐标系间的关系 n n1 1子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系
11、过p 点作法线Pn，它与x 轴之夹角为B，过点作子午圈的切线TP，它与x 轴的夹角为90+B-该角的正切值为曲线在P点处切线的斜率.1414设Pn=N，那么有：，那么有：一个有用的结论推导：一个有用的结论推导：15152空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系16163空间直角坐标系与大地坐标系的关系空间直角坐标系与大地坐标系的关系 X XY Y当当P P点位于椭球面上时：点位于椭球面上时：1717当当P P点不在椭球面上时：点不在椭球面上时：1818 几个根本概念：几个根本概念：法截面：法截面：过椭球面上恣意一球面上恣意一点可作垂直于点可作垂直于椭球面的法
12、球面的法线，包含，包含这条法条法线的平面的平面就叫法截面。就叫法截面。法截法截线法截弧：法截面法截弧：法截面与与椭球面的交球面的交线。卯酉圈：卯酉圈：过某点法某点法线的无数的无数个法截面中，与子午面相个法截面中，与子午面相垂直的法截面同垂直的法截面同椭球面相球面相截构成的截构成的闭合圈就称合圈就称为卯卯酉圈。酉圈。7.3椭球面上的几种曲率半径重点椭球面上的几种曲率半径重点1919n n1、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径M M M M小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径小于赤道半径a a a aM M M M随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大M M M M等于
13、极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径等于极点曲率半径B=0B=0B=0B=0在赤道处在赤道处在赤道处在赤道处0 0 0 0B B B B90909090B=90B=90B=90B=90在极点处在极点处在极点处在极点处说说说说 明明明明M M M MB B B B202021212、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径 卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，卯酉圈变为子午圈，N=cN=cN=cN=cN90=cN90=cN90=cN90=cB=900B=900B=900B=900N N N N随随随随B B B B的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大a a a aN
14、N N Nc c c c00B90000B90000B90000BR M只需在极点上，它只需在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半才相等，且均等于极曲率半径径c，即：，即： 由于由于RA的数的数值随方位随方位A的的变化而化而变化，化，给丈量丈量带来不便，在丈量任来不便，在丈量任务中，中，往往根据一定的精度要求，在一定范往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把内，把椭球面当作球面来球面当作球面来处置，置，为此，此，就要推求就要推求该球面的曲率半径球面的曲率半径-平均曲率半径平均曲率半径就是就是过椭球面上一点的一切法截弧球面上一点的一切法截弧(02，当其数目，当其数目趋于无于无穷时，它，它们的曲率
15、半径的算的曲率半径的算术平均平均值的极限，就的极限，就称称为平均曲率半径，用平均曲率半径，用R表示表示。25257.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算1.1.子午子午线弧弧长计算公式算公式将将积分因子按二分因子按二项式定理展开式定理展开为级数方式数方式将正弦的指数函数化将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数余弦的倍数函数 262627272.平行圈弧平行圈弧长公式公式 旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上恣意一点的子午面直角坐标x：假假设平行圈上有两点，其平行圈上有两点，其经差差 ，可写出平行圈弧可写出平行圈弧长公式：公式： 28283.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行
16、圈弧长变化的比较1.1.9239232.2. 29.8 29.876763.3.26.8026.802 24.4.21.9021.902 25.5.15.5015.500 06.6.8.0288.0287.7.0.0000.0001.1.36m36m2.2.1792.1792.54543.3.1608.1608.13134.4.1314.1314.14145.5.930.0930.02 26.6.481.7481.71 17.7.0.000.00111321m111321m10755210755296488964887884878848558015580128902289020 030.716
17、30.71630.73830.73830.79530.79530.87330.87330.95130.95131.00731.00731.02731.0271842.941842.941844.261844.261847.711847.711852.391852.391857.041857.041860.421860.421861.601861.60110576m110576m1106561106561108631108631111431111431114231114231116251116251116961116960 01515303045456060757590901111L=1L=11
18、111平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长平行圈弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长子午线弧长BB 单位位纬差的子午差的子午线弧弧长随随B B的增大而的增大而缓慢地增大；而慢地增大；而单位位经差的平行圈弧差的平行圈弧长那么随那么随B B的增大而急的增大而急剧缩短。同短。同时还知，子知，子午弧午弧长11约为110KM110KM，11约为1.8KM1.8KM，11约为30M30M；而平行；而平行圈弧圈弧长仅在赤道附近才与子午在赤道附近才与子午线弧弧长大体相当，随着大体相当，随着B B的增大的增大它它们的差的差值愈来愈大。愈来愈大。29297.5 大地线大地线 1.相对法截线的概念相对法截线的概念 1纬度不
19、同的两点，法线必纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；交于旋转轴的不同点；2椭球面上一点的纬度愈高，椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；法线与旋转轴的交点愈低；3当两点的纬度不同，又不当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。二条法截线存在。首先明确以下三点：首先明确以下三点：3030假定经纬仪的纵轴同假定经纬仪的纵轴同A，B两点的两点的法线重合忽略垂线偏向，如
20、此法线重合忽略垂线偏向，如此以两点为测站，那么经纬仪的照准以两点为测站，那么经纬仪的照准面就是法截面。用面就是法截面。用A点照准点照准B点，点，那么照准面那么照准面 同椭球面的截线同椭球面的截线为为 ，叫做，叫做A点的正法截线，点的正法截线，或或B点的反法截线；同理，由点的反法截线；同理，由B照照A点，那么照准面点，那么照准面 同椭球面同椭球面的截线为的截线为BbA ，叫做，叫做B点的正法截点的正法截线，或线，或A点的反法截线。因点的反法截线。因A，B的法线互不相交，故这两条法截线的法线互不相交，故这两条法截线不重合。我们把不重合。我们把 和和BbA叫做叫做A、B两点的相对法截线。两点的相对法
21、截线。 3131n nABAB方向在不同象限方向在不同象限方向在不同象限方向在不同象限时时，正反法截，正反法截，正反法截，正反法截线线的关系的关系的关系的关系图图 当当A A、B B两点位于同一子午圈或同两点位于同一子午圈或同一平行圈上一平行圈上时，正反法截，正反法截线那么那么合二合二为一，一，这是一种特殊情况。是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截而通常情况下，正反法截线是不是不重合的。因此在重合的。因此在椭球面上球面上A A、B B、C C三点三点处所所测得的角度各点上正得的角度各点上正法截法截线之之夹角将不能构成角将不能构成闭合合三角形。三角形。为抑制抑制这个矛盾，在两个矛盾，在两点点间
22、另另选一条一条单一的大地一的大地线替代替代相相对法截法截线，从而得到由大地，从而得到由大地线构成的构成的单一的三角形。一的三角形。32322、大地线的定义和性质、大地线的定义和性质 椭球面上两点球面上两点间的最短曲的最短曲线叫做大地叫做大地线。大大地地线是是椭球球面面上上两两点点间独独一一最最短短线，而而且且位位于于相相对法法截截线之之间，并并接接近近正正法截法截线，它与正法截，它与正法截线间的的夹角角为： 在一等三角丈量中，在一等三角丈量中，可达千分之四秒，可达千分之四秒，可达千分之一二秒可达千分之一二秒 n n大地大地大地大地线线与法截与法截与法截与法截线长线长度之差只需百万分之一毫米，所
23、以在度之差只需百万分之一毫米，所以在度之差只需百万分之一毫米，所以在度之差只需百万分之一毫米，所以在实实践践践践计计算中，算中，算中，算中，这这种种种种长长度差度差度差度差别别可以忽略不可以忽略不可以忽略不可以忽略不计计。但是，根据大地。但是，根据大地。但是，根据大地。但是，根据大地线线的性的性的性的性质质，在，在，在，在椭椭球面上球面上球面上球面上进进展丈量展丈量展丈量展丈量计计算算算算时时，应应以两点以两点以两点以两点间间的大地的大地的大地的大地线为线为根据。在地面上根据。在地面上根据。在地面上根据。在地面上测测得的方向、得的方向、得的方向、得的方向、间间隔等隔等隔等隔等应归应归算到相算到
24、相算到相算到相应应大地大地大地大地线线的方向、的方向、的方向、的方向、间间隔。隔。隔。隔。33333、大地线的微分方程和克莱洛、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳克莱劳)方程方程 1大地大地线微分方程微分方程: 表达表达dL，dB，dA与与dS的关系式。的关系式。34342克莱洛方程：克莱洛方程：代入代入两两边积分得：分得：麦尼儿定理：麦尼儿定理：3535上式上式阐明：在旋明：在旋转椭球面上，大地球面上，大地线各点的平行圈各点的平行圈半径与大地半径与大地线在在该点的大地方位角的正弦的乘点的大地方位角的正弦的乘积等等于常数。于常数。 利用利用这个关系式可以个关系式可以检查纬度与方位角度与方位角计算
25、的正确算的正确性性36367.6 7.6 将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的方向值归算到椭球面 重点重点 1 1、将地面观测的程度方向归算至椭球面、将地面观测的程度方向归算至椭球面-三差矫正三差矫正 归算中两个根本要求：归算中两个根本要求：1以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准；2将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 将程度方向归算至椭球面，包括垂线偏向矫正、标高差将程度方向归算至椭球面，包括垂线偏向矫正、标高差矫正及截面差矫正，习惯上称此三项为三差矫正。矫正及截面差矫正，习惯上称此三项为三差矫正。3737垂垂线偏向偏向矫正的正
26、的计算公式算公式 1垂垂线偏向偏向矫正正 把以垂线为根据的地面观测的程度方向值归算到以法线把以垂线为根据的地面观测的程度方向值归算到以法线为根据的方向值而应加的矫正数称为垂线偏向矫正。为根据的方向值而应加的矫正数称为垂线偏向矫正。38382标高差矫正标高差矫正标高差矫正：由照准点高度引起的矫正标高差矫正：由照准点高度引起的矫正前面已得出结论：不在同一子午面或不在前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进展程度方向观测时，假设照准因此，当进展程度方向观测时，假设照准点高出椭球面某一高度，那么照准面就不点高出椭球面某一高度
27、，那么照准面就不能经过照准点的法线同椭球面的交点，由能经过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏向的矫正称标高差矫正，此引起的方向偏向的矫正称标高差矫正，以以 表示。表示。 照准点大地纬度照准点大地纬度 测站点至照准点的大地方位角测站点至照准点的大地方位角 与照准点的纬度与照准点的纬度B2B2对对应的子午圈曲率半径应的子午圈曲率半径 照准点的觇标高照准点的觇标高 标高差高差矫正主要与照准点的正主要与照准点的高程有关。高程有关。 39393 3截面差截面差矫正正将法截弧方向化将法截弧方向化为大地大地线方向方向应加的加的矫正叫截面差正叫截面差矫正正 测站点大地纬度测站点大地纬度 与测站点的纬
28、度与测站点的纬度B1B1对应的对应的 卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径 截面差截面差矫正主要与正主要与测站点至照准点站点至照准点间的的间隔隔S S有关。有关。40404 4三差矫正的计算三差矫正的计算各等三角丈量在各等三角丈量在归算算时对取位的要求：取位的要求： 一等需算至一等需算至0.001； 二等二等为0.01； 三等和四等三等和四等为0.1。 在普通情况下，一等三角丈量应加三差矫正；二等三角在普通情况下，一等三角丈量应加三差矫正；二等三角丈量应加垂线偏向矫正和标高矫正，而不加截面差矫正；三丈量应加垂线偏向矫正和标高矫正，而不加截面差矫正；三等和四等三角丈量只需在等和四等三角丈量只需在 或或H
29、2000m时，才分时，才分别思索加垂线偏向矫正和标高差矫正。别思索加垂线偏向矫正和标高差矫正。 41412 2、将天文方位角归化为大地方位角、将天文方位角归化为大地方位角-起始方位角了解起始方位角了解 背景：在布背景：在布设国家天文大地网国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角了控制三角网中方位角传算算误差的差的积累，要求在一等三角累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的两端和中央，以及二等网的中的中间等等处，都要在起始，都要在起始边的两个端点上，用天文的两个端点上，用天文观测的方法的方法测定它定它们的天文的天文经度、天文度、天文纬度和度和该边的天文方位角的天文方位角(包含包含测站站垂垂
30、线的子午面与的子午面与测站垂站垂线和照准面所和照准面所张成的垂直面的成的垂直面的夹角角) 。在。在特种工程丈量控制网中，有特种工程丈量控制网中，有时也有也有这样的要求。天文方位角是的要求。天文方位角是以以测站的垂站的垂线为根据的，因此必需将它根据的，因此必需将它归算至算至椭球面以球面以测站点站点相相应的法的法线为根据的大地方位角根据的大地方位角A，这种种归算又称起始方位角算又称起始方位角的的归算。算。 测站点到照准点的大地方位角测站点到照准点的大地方位角测站点处相应方向的天文方位角测站点处相应方向的天文方位角测站点的天文经度测站点的天文经度测站点的大地经度测站点的大地经度测站点的天文纬度测站点
31、的天文纬度垂线偏向矫正数垂线偏向矫正数 当照准点目的高度不大当照准点目的高度不大时，天，天顶距距Z Z接近于接近于9090时，垂，垂线偏向偏向矫正数可勿略正数可勿略不不计，因此上式可写，因此上式可写为： 上式又称上式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上角点上观测天文天文经度、天文度、天文纬度度时，该点叫拉普拉斯点。点叫拉普拉斯点。 42423 3、观测天顶距受垂线偏向影响的矫正了解、观测天顶距受垂线偏向影响的矫正了解垂垂线偏向在偏向在测线上的分量：上的分量：A为测站点至照准点的大地方位角。站点至照准点的大地方位角。 大
32、地天大地天顶距距的的计算公式算公式 利用上式公式利用上式公式计算出的大地天算出的大地天顶距距Z可用于可用于计算算高差，此高差称高差，此高差称为大地高差。三角高程丈量的精度是大地高差。三角高程丈量的精度是有限的，假有限的，假设提高其提高其计算精度，必需算精度，必需设法抑制大气折法抑制大气折光的影响，同光的影响，同时要在天要在天顶观测值中引入垂中引入垂线偏向偏向矫正正数。数。 43437.7 将地面观测的长度归算到椭球面重点将地面观测的长度归算到椭球面重点1 1、基、基线尺量距的尺量距的归算算 1垂垂线偏向偏向对长度度归算的影响算的影响 :在基线端点在基线端点1和和2处处垂线偏向在基线方垂线偏向在
33、基线方向上的分量向上的分量 各个测段各个测段丈量的高丈量的高差总和差总和 基线端点基线端点1和和2处的大处的大地高地高 垂线偏向对长度归算的影响垂线偏向对长度归算的影响高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响此项矫正数值普通比较小，能否需求应结合测区及计算此项矫正数值普通比较小，能否需求应结合测区及计算精度要求的实践情况进展详细分析。精度要求的实践情况进展详细分析。44442 2高程高程对长度度归算的影响：算的影响：基线两端点平基线两端点平均大地高程均大地高程 基线方向法截基线方向法截线曲率半径线曲率半径 将上式展开将上式展开级数，取至二次数，取至二次项 45452 2、电磁波磁波测距的距的归
34、算算 前提：前提：1) 在在椭球面上两点球面上两点间大地大地线长度与相度与相应法截法截线长度之差是极度之差是极微小的，故可忽略不微小的，故可忽略不计，这样可将可将两点两点间的法截的法截线长度以度以为是是该两点两点间的大地的大地线长度；度；2) 两点两点间的法的法截截线长度与半径等于其起始点曲率度与半径等于其起始点曲率半径的半径的圆弧弧长相差也很微小相差也很微小(如当如当S=640KM时，之差等于，之差等于0.3米；米；S=200KM时，之差等于，之差等于0.005m)。由于工程丈量中。由于工程丈量中边长普通普通为几公里，最几公里，最长也不也不过十几公十几公里，因此，里，因此，这种差种差别又可忽
35、略不又可忽略不计。因此所求的大地因此所求的大地线长度可以以度可以以为是是半径半径RA相相应的的圆弧弧长。 4646由于控制点由于控制点之高差引起之高差引起的倾斜矫正的倾斜矫正的主项，经的主项，经过此项矫正，过此项矫正，测线已变成测线已变成平距。平距。由于平均测由于平均测线高出参考线高出参考椭球面而引椭球面而引起的投影改起的投影改正，经过此正，经过此项矫正后，项矫正后，测线已变为测线已变为弦线。弦线。是由弦长改是由弦长改化为弧长的化为弧长的矫正项。矫正项。简化后：简化后：47477.8 椭球面上三角形的解算重点椭球面上三角形的解算重点1、用勒、用勒让德德尔定了解算球面三角形定了解算球面三角形 假
36、假设：半径：半径为140KM范范围内的内的椭球面可当作球面球面可当作球面上的一部分上的一部分对待。待。计算算阐明：当三角形明：当三角形边长小于小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的的边长相等，相等，对应角之差小于角之差小于0.001。 勒勒让德德尔定理：假定理：假设平面三角形和球面三角形平面三角形和球面三角形对应边相等，那么平面角等于相等，那么平面角等于对应球面角减去三分球面角减去三分之一球面角超。之一球面角超。 4848定理定理阐明：假明：假设球面三角形的各角减去三分之一球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个球面角超，就可得到一
37、个对应边相等的平面三角相等的平面三角形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的所得到的边长即即为球面球面边长同同时也是也是椭球面球面边长，从而到达解算球面三角形的目的。，从而到达解算球面三角形的目的。 4949F为平面三角形的面平面三角形的面积。2、球面角超的、球面角超的计算：算： f值可以以可以以纬度度为引数，在引数，在专门的数表中的数表中查取。取。化算平面角需求用球面角超，而球面角超的化算平面角需求用球面角超，而球面角超的计算又需求用算又需求用平面角，因此可直接用球面角替代平面角平面角，因此可直接用球面角替代平面角计算球面角超，算球面角
38、超，虽然然带有有误差，但研差，但研讨阐明：当明：当边长不大于不大于90km时，这种种误差小于差小于0.0005，可忽略。，可忽略。50507.9 大地主题解算的高斯平均引数公式了解大地主题解算的高斯平均引数公式了解如下图，知如下图，知P1点的大地坐标点的大地坐标 ，P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及其大及其大地方位角地方位角A12，计算，计算P2点的大地坐点的大地坐标标 和大地线和大地线S在在P2点的反点的反方位角方位角A21，这类问题叫做大地主，这类问题叫做大地主题正解。假设知题正解。假设知P1和和P2点的大地坐点的大地坐标标 和和 ，计算，计算P1至至P2点的大地线长点的大地线长S及
39、其正、反大及其正、反大地方位角，这类问题叫做大地主题地方位角，这类问题叫做大地主题反解。反解。 5151地球地球地球地球椭椭球的根本几何参数及相互关系球的根本几何参数及相互关系球的根本几何参数及相互关系球的根本几何参数及相互关系椭椭球面上的常用坐球面上的常用坐球面上的常用坐球面上的常用坐标标系及其相互关系系及其相互关系系及其相互关系系及其相互关系椭椭球面上的几种曲率半径球面上的几种曲率半径球面上的几种曲率半径球面上的几种曲率半径椭椭球面上的弧球面上的弧球面上的弧球面上的弧长计长计算算算算大地大地大地大地线线将地面将地面将地面将地面观测观测的方向的方向的方向的方向值归值归算到算到算到算到椭椭球面
40、球面球面球面将地面将地面将地面将地面观测观测的的的的长长度度度度归归算到算到算到算到椭椭球面球面球面球面椭椭球面上三角形的解算球面上三角形的解算球面上三角形的解算球面上三角形的解算大地主大地主大地主大地主题题解算的高斯平均引数公式解算的高斯平均引数公式解算的高斯平均引数公式解算的高斯平均引数公式了解了解了解了解掌握四种常用坐掌握四种常用坐掌握四种常用坐掌握四种常用坐标标系的建立系的建立系的建立系的建立掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点了解两种根本弧了解两种根本弧了解两种根本弧了解两种根本弧长长的的的的计计算与算与算与算与纬纬度的关系度的关系度的关系度的关系掌握相掌握相掌握相掌握相对对法截法截法截法截线线的概念及的概念及的概念及的概念及产产生生生生缘缘由，大地由，大地由，大地由，大地线线的性的性的性的性质质掌握三差掌握三差掌握三差掌握三差矫矫正正正正产产生的生的生的生的缘缘由由由由了解了解了解了解计计算公式，掌握与算公式，掌握与算公式，掌握与算公式，掌握与归归算有关的元素等算有关的元素等算有关的元素等算有关的元素等掌握解算原理掌握解算原理掌握解算原理掌握解算原理了解概念了解概念了解概念了解概念本章小本章小结：
