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1、定积分近似计算一、一、问题的背景和目的问题的背景和目的q定积分计算的基本公式是牛顿定积分计算的基本公式是牛顿- -莱布尼兹公式，但莱布尼兹公式，但当当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用需要利用近似计算近似计算。特别是在许多实际应用中，被。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。算定积分。q本讲主要介绍定积分的三种近似计算算法：本讲主要介绍定积分的三种近似计算算法：矩形
2、法、矩形法、 复化复化梯形法梯形法和和辛普森公式辛普森公式，及其误差分析。，及其误差分析。二、问题的分析二、问题的分析 q我们知道定积分，不论在实际问题中的意义是什我们知道定积分，不论在实际问题中的意义是什么，在数值上都等于么，在数值上都等于(设设f( (x)0)0)，直线与，直线与x轴所围轴所围成的曲边梯形的面积。因此，只要近似地算出相成的曲边梯形的面积。因此，只要近似地算出相应的曲边梯形的面积，就得到了所给定积分的近应的曲边梯形的面积，就得到了所给定积分的近似值。近似计算方法的基本思想还是似值。近似计算方法的基本思想还是分割、取点、分割、取点、求和求和这三个步骤。这三个步骤。q定积分的定义
3、定积分的定义q定积分的近似定积分的近似 基本思路基本思路 q分割：为计算方便，一般采取等分法。分割：为计算方便，一般采取等分法。把把区区间间a bn等等分分，即即用用分分点点a x0， x1， x2， ，xn 1， xn b 把区间把区间a b分成分成n个长度相等的小区间，每个小区间的长为个长度相等的小区间，每个小区间的长为q取点：点取点：点 可以任意选取，通常的取法有：可以任意选取，通常的取法有：左端点、右左端点、右端点端点，就是，就是左矩形法左矩形法和和右矩形法右矩形法。左矩形法左矩形法q在每个小区间在每个小区间xi1 xi上，取上，取x x i= xi 1，从而对于任，从而对于任一确定的
4、自然数，有一确定的自然数，有 这种方法称为左矩形法，上述公式称为左矩形公式。这种方法称为左矩形法，上述公式称为左矩形公式。 右矩形法右矩形法q如果取如果取x x i= xi，则可得近似公式，则可得近似公式这种方法称为右矩形法，上述公式称为右矩形公式。这种方法称为右矩形法，上述公式称为右矩形公式。 梯形法梯形法q这种求定积分近似值的方法为复化梯形法，此公这种求定积分近似值的方法为复化梯形法，此公式称为复化梯形公式式称为复化梯形公式 辛普森公式辛普森公式辛普森公式辛普森公式把区间把区间a b2n等分，等分，每个小区间的长为每个小区间的长为过三点可以确定一条抛物线过三点可以确定一条抛物线先计算先计算
5、-h,h上，以过上，以过 三点的抛物三点的抛物线线 为曲线的曲边梯形的面积为曲线的曲边梯形的面积S ：辛普森公式辛普森公式同理可以得到区间同理可以得到区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：的面积： 辛普森公式辛普森公式特别的，当特别的，当n=1时时上述公式称为辛普森公式或抛物线公式。上述公式称为辛普森公式或抛物线公式。误差估计q当当n=1时，左矩形法和右矩形法的余项的绝对时，左矩形法和右矩形法的余项的绝对值为值为两个矩形公式均具有一次代数精度。两个矩形公式均具有一次代数精度。 误差估计q复化梯形法的误差估计为复化梯形法的误差估计为误差估计q辛普森公式的误差估计为辛普森公式的误差估计为解：在解：在Matlab中编写程序：中编写程序：function t=ftrapz(a,b,n)h=(b-a)/n;t=h*(f(a)+f(b)/2;for i=1:1:(n-1) t=t+h*f(a+h*i);endI=t及function f=f(x)if x=0 f=1;else f=sin(x)/x;end应用复化梯形法求得应用复化梯形法求得 . 要估计误差，要求要估计误差，要求 而 得复合梯化公式误差
