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1、5.3 偏导数与全微分5.3.1偏导数 在前面一元函数部分, 由函数关于自变量的变化率问题引进了导数的概念. 现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个自变量中只有一个改变, 而另一个保持不变而得到的“导数”称为偏导数。 定义6.3.1 设函数z=f(x, y)在点 的某个邻域内有定义. 如果固定 后, 一元函数 在点 处可导, 即极限存在, 则称此极限值为函数z=f(x, y)在点 处关于自变量x的偏导数,类似地，可以定义关于自变量y的偏导数。如果函数在区域D内每一点的偏导数都存在，则称函数在区域D内偏导数存在。例5.3.1 求函数 在点(1,2)处的偏导数。 解 求 时, 把y看作常数,对x求
2、导得求 时, 把x看作常数, 对y求导得将x=1,y=2分别待入上面两式，得 解 设中间变量u=xy, 则z=f(xy)可看成一元函数z=f(u)与二元函数u=xy的复合函数。于是，由一元函数的琏式求导法则，可得解 把y和z都看作常量，对x求导得例5.3.5 求函数的偏导数 和 .5.3.2 偏导数的意义1. 偏导数的几何意义 2. 偏导数的经济意义5.3.3 高阶偏导数 一般地, 二元函数z=f(x, y)的偏导数 仍为自变量x, y的二元函数. 因此有一个继续求偏导数的问题. 如果这两个偏导数关于x, y的偏导数还存在, 则称它们为二元函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 按照对两个自变量
3、的求导次序不同, 二元函数有下列四个二阶偏导数它们分别为:其中， 称为函数z=f(x, y)对x和对y的二阶偏导数， 称为函数z=f(x, y)对x和对y的二阶混合偏导数。类似地，还可得到更高阶的偏导数，如 二元函数z=f(x, y)的4个二阶偏导数仍为x,y的函数，又有可能再对x,y求偏导数，得到z=f(x, y)的8个三阶偏导数。 一般地，对函数z=f(x, y)的n阶偏导数再求一次偏导数，便得到z=f(x, y)的n+1阶偏导数。例如, n阶偏导数解 先求一阶偏导数再求二阶偏导数 可以看出，上例中两个混合偏导数是相等的，但并不是对所有函数都成立。我们有如下结论： 若函数z=f(x, y)
4、的两个混合偏导数 在区域D内连续，则必有5.3.4 全微分 定义5.3.2 设二元函数z=f(x, y)在点 的某邻域内有定义，对于自变量x, y在点 处的改变量 , 如果函数z=f(x, y)相应的改变量可以表示为 则称 的线性主部 为函数z=f(x,y)在点 处的全微分，记为dz，即 并称函数在此处可微分。若函数在区域D的每一点处都可微，则称函数在区域D内可微。 二元函数的偏导数、全微分和连续性之间关系的有如下定理： 定理5.3.1 若函数z=f(x, y)在点 处可微，则函数在点 处的偏导数存在，且有 定理5.3.3 若函数z=f(x, y)在点 的某邻域内偏导数存在且连续，则函数在点 处可微。 偏导数存在且连续可微偏导数存在连续 定理5.3.2 若函数z=f(x, y)在点 处可微，则函数在点 处连续。 对n元函数 类似地定义全微分，并有类似的计算公式 当自变量改变量的绝对值 充分小时，可以利用全微分进行近似计算，近似公式为 例5.3.12(工厂的扩大再生产问题) 已知某厂的产量Q为其投入的资金K和劳力L的函数：Qf(K, L), 但函数f(K, L)的具体形式不知道，只知道：现在工厂准备扩大投入，使K=24, L=69. 试计算扩大投入后，该厂产量及产量改变量的近似值。
