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1、3 游戏公平吗 1.1.对一些游戏的公平性作出判断，会合理地设计游戏规则，使对一些游戏的公平性作出判断，会合理地设计游戏规则，使游戏公平游戏公平.(.(重点重点) )2.2.计算复杂事件的概率计算复杂事件的概率.(.(重点、难点重点、难点) )1.1.游戏是否公平的判断游戏是否公平的判断(1)(1)用概率：若游戏不计双方得分，则通过计算概率来判断是用概率：若游戏不计双方得分，则通过计算概率来判断是否公平，若概率相同，则否公平，若概率相同，则_；若概率不同，则；若概率不同，则_._.(2)(2)用得分：若游戏中设计双方得分，除计算概率外，还需要用得分：若游戏中设计双方得分，除计算概率外，还需要根
2、据游戏规则中规定的得分方法，分别计算双方根据游戏规则中规定的得分方法，分别计算双方_，若若_，则公平；若，则公平；若_，则不公平，则不公平. .2.2.修改概率使游戏公平修改概率使游戏公平(1)(1)修改概率修改概率. .(2)(2)修改修改_. . 公平公平不公平不公平得分得分得分相同得分相同得分不相同得分不相同得分得分 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)任意掷一枚硬币，正面朝上，则甲获胜，反面朝上，则乙任意掷一枚硬币，正面朝上，则甲获胜，反面朝上，则乙获胜，这个游戏公平获胜，这个游戏公平.( ).( )(2)(2)任意掷一个图钉，如果钉尖着地，则甲获胜，如果钉尖向任意掷一个图钉，
3、如果钉尖着地，则甲获胜，如果钉尖向上，则乙获胜，这个游戏公平上，则乙获胜，这个游戏公平. ( ). ( )(3)(3)抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次一定反面向抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次一定反面向上上.( ).( )(4)(4)分别写有数字分别写有数字0 0，1 1，2 2，1 1，3 3的五张卡，除数字不同外的五张卡，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是 ( )( ) 知识点知识点 1 1 利用概率判断游戏的公平与否利用概率判断游戏的公平与否【例例1 1】第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志第
4、三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者愿者. .经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一. .评委会决定通评委会决定通过抓球来确定人选过抓球来确定人选. .抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的颜色之外均相同的2 2个红球和个红球和1 1个绿球，小明先取出一个球，记个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球住颜色后放回，然后小颖再取出一个球. .若取出的球都是红球，若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出. .你认为
5、这你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析. . 【思路点拨思路点拨】用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况，用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况，求出抓出两红球及一红一绿的概率，根据概率的大小，分析游求出抓出两红球及一红一绿的概率，根据概率的大小，分析游戏公平与否戏公平与否. . 【自主解答自主解答】根据题意，画出树状图如下：根据题意，画出树状图如下： 由此可知，共有由此可知，共有9 9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有各有4 4种结果，种结果，P(P(都是红球
6、都是红球) P() P(一红一绿一红一绿) )这个规则对双方是公平的这个规则对双方是公平的. . 【总结提升总结提升】判断游戏的公平性判断游戏的公平性 判断一个游戏是否公平，需要根据游戏双方赢的机会是否判断一个游戏是否公平，需要根据游戏双方赢的机会是否相等，如果不相等，那么这个游戏就是不公平的，否则就是公相等，如果不相等，那么这个游戏就是不公平的，否则就是公平的平的. .另外，如果游戏中有赋分因素，应该通过计算参加游戏另外，如果游戏中有赋分因素，应该通过计算参加游戏双方每次的平均得分，只有在每次平均得分相等时，游戏才是双方每次的平均得分，只有在每次平均得分相等时，游戏才是公平的公平的. . 知
7、识点知识点 2 2 对不公平游戏的修改对不公平游戏的修改【例例2 2】在一个不透明的口袋里装有四个分别标有在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1 1，2 2，3 3，4 4的小球，它们的形状、大小等完全相同的小球，它们的形状、大小等完全相同. .小明先从口袋里随机小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为不放回地取出一个小球，记下数字为x;x;小红在剩下的三个小球小红在剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为中随机取出一个小球，记下数字为y.y.(1)(1)计算计算x x，y y确定的点确定的点(x,y)(x,y)在函数在函数y=-x+6y=-x+6图象上的概率图象上的概率. .(
8、2)(2)小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x x，y y满足满足xy6,xy6,则小明胜则小明胜; ;若若x x，y y满足满足xy6,xy6xy6的概率为的概率为_，x x，y y满足满足xy6xy6,xy6,则小明胜则小明胜”改为改为“x x，y y满足满足xyxy_6,6,则小则小明胜明胜”；小红胜的游戏规则不变，游戏规则才对双方公平；小红胜的游戏规则不变，游戏规则才对双方公平. .【互动探究互动探究】例题中还可以怎样修改使游戏公平？例题中还可以怎样修改使游戏公平？提示：提示：还可以通过得分调节，调节如下：若还可以通过得分调节，调节如下：若x
9、x，y y满足满足xy6xy6时，时，小明得小明得3 3分，若分，若x x，y y满足满足xy6xy6时，小红得时，小红得2 2分分. .【总结提升总结提升】修改不公平游戏规则的两条原则修改不公平游戏规则的两条原则 要把不公平的游戏改为公平的游戏，只需令游戏双方每次要把不公平的游戏改为公平的游戏，只需令游戏双方每次平均分相等即可平均分相等即可. .改变游戏规则时，可从两个方面着手，一是改变游戏规则时，可从两个方面着手，一是调配发生事件的概率，二是调配发生事件的所得分数调配发生事件的概率，二是调配发生事件的所得分数. . 题组一：题组一：利用概率判断游戏的公平与否利用概率判断游戏的公平与否1.1
10、.向如图所示的正三角形区域扔沙包向如图所示的正三角形区域扔沙包( (区域中每一个小正三角区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同形除颜色外完全相同) )，假设沙包击中每一个小正三角形是等，假设沙包击中每一个小正三角形是等可能的，扔沙包一次，击中阴影区域的概率等于可能的，扔沙包一次，击中阴影区域的概率等于( )( )【解析解析】选选C.C.阴影部分所占面积大小为阴影部分所占面积大小为击中阴影区域的概率大小为击中阴影区域的概率大小为2.2.一个不透明的布袋中有分别标着数字一个不透明的布袋中有分别标着数字1 1，2 2，3 3，4 4的四个乒乓的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上
11、的数字球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于之和大于5 5的概率为的概率为( )( )【解析解析】选选B B列表得：列表得：共有共有1212种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5 5的有的有4 4种情况，种情况，这两个乒乓球上的数字之和大于这两个乒乓球上的数字之和大于5 5的概率为的概率为1 12 23 34 41 1- -2+1=32+1=33+1=43+1=44+1=54+1=52 21+2=31+2=3- -3+2=53+2=54+2=64+2=63 31+3=41+3=42+3=52+3=5- -4+3=74+
12、3=74 41+4=51+4=52+4=62+4=63+4=73+4=7- -3.3.有长度分别为有长度分别为2 2，3 3，4 4，7 7的四条线段，任取其中三条能组成的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是三角形的概率是_【解析解析】从长度分别为从长度分别为2 2，3 3，4 4，7 7的四条线段中，任取三条线的四条线段中，任取三条线段共有段共有2 2，3 3，4 4；2 2，3 3，7 7；2 2，4 4，7 7；3 3，4 4，7 7四种情况，能组四种情况，能组成三角形的只有成三角形的只有2 2，3 3，4 4一种情况，所以能组成三角形的概率一种情况，所以能组成三角形的概率是是答案
13、：答案：4.4.在一个不透明的口袋中装有在一个不透明的口袋中装有3 3个带号码的球，球号分别为个带号码的球，球号分别为2 2，3 3，4 4，这些球除号码不同外其他均相同甲、乙两同学玩摸球，这些球除号码不同外其他均相同甲、乙两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：先由甲同学从中随机摸出一球，记下球游戏，游戏规则如下：先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再由乙同学从中随机摸出一球，记下球号号，并放回搅匀，再由乙同学从中随机摸出一球，记下球号将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数若该两位数能被作为个位上的数若
14、该两位数能被4 4整除，则甲胜，否则乙胜整除，则甲胜，否则乙胜. . 问这个游戏公平吗？说明理由问这个游戏公平吗？说明理由【解析解析】画树状图如下：画树状图如下：由图可知，所有等可能的结果共有由图可知，所有等可能的结果共有9 9种，其中，两位数能被种，其中，两位数能被4 4整整除的情况有除的情况有3 3种所以种所以P(P(甲获胜甲获胜) )P(P(乙获胜乙获胜) )因为因为P(P(甲获胜甲获胜)P()P(乙获胜乙获胜) )，所以，这个游戏不公平，所以，这个游戏不公平. .5.5.下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小
15、明和小亮用它们做配紫色等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色( (红色与蓝色能配成紫红色与蓝色能配成紫色色) )游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗? ?【解析解析】因为转动转盘共出现因为转动转盘共出现9 9种结果，即：种结果，即：( (红，红红，红) )，( (红，红，蓝蓝) )，( (红，蓝红，蓝) )，( (红，红红，红) )，( (红，蓝红，蓝) )，( (红，蓝红，蓝) )，( (蓝，蓝，红红) )，( (蓝，蓝蓝，蓝),(),(蓝，蓝蓝，蓝) )，而其中配成紫色的有，而其中配成紫色的有5 5种结果，所种结果，所以以P(P(配成紫色配成
16、紫色) P() P(配不成紫色配不成紫色) )故配成紫色与配不成紫色的概率不相同故配成紫色与配不成紫色的概率不相同. . 6.6.为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：了如下的一个游戏：口袋中有编号分别为口袋中有编号分别为1 1，2 2，3 3的红球三个和编号为的红球三个和编号为4 4的白球一个，的白球一个，四个球除了颜色和编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前四个球除了颜色和编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛先甲摸两次，每次摸出一将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛先甲摸两次，每次
17、摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球如果甲摸出的两个球都是红色，甲得如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1 1分，否则，甲得分，否则，甲得0 0分；分；如果乙摸出的球是白色，乙得如果乙摸出的球是白色，乙得1 1分，否则，乙得分，否则，乙得0 0分分. .得分高的得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来获得入场券，如果得分相同，游戏重来(1)(1)运用列表或画树状图求甲得运用列表或画树状图求甲得1 1分的概率分的概率. .(2)(2)这个游戏是否公平？请说明理由这个游戏是否公平？请说明理由 【解析解析】(1)(1)列表如
18、下：列表如下：P(P(甲得甲得1 1分分) )(2)(2)不公平不公平P(P(乙得乙得1 1分分) P() P(甲得甲得1 1分分)P()P(乙得乙得1 1分分) )，不公平不公平 第第1 1次次得分得分第第2 2次次1 12 23 34 41 11 1分分1 1分分0 0分分2 21 1分分1 1分分0 0分分3 31 1分分1 1分分0 0分分4 40 0分分0 0分分0 0分分题组二：题组二：对不公平游戏的修改对不公平游戏的修改1.1.用图中两个可自由转动的转盘做用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色配紫色”游戏：分别旋转游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫
19、两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是色，那么可配成紫色的概率是( )( )【解析解析】选选D.D.将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，画树状图得：状图得：共有共有6 6种等可能的结果，可配成紫色的有种等可能的结果，可配成紫色的有3 3种情况种情况. . 可配成紫色的概率是可配成紫色的概率是2.2.一个暗箱里放有一个暗箱里放有a a个除颜色外完全相同的球，这个除颜色外完全相同的球，这a a个球中红球个球中红球只有只有3 3个，若每次将球搅匀后，任意摸出个，若每次将球搅匀后，任意摸出1 1个球记下颜色再放回个球
20、记下颜色再放回暗箱通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在暗箱通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%20%附近，那么可以推算出附近，那么可以推算出a a的值大约是的值大约是_【解析解析】根据题意，说明红球占总数的根据题意，说明红球占总数的20%20%，所以总数为所以总数为320%=15320%=15答案：答案：1515 3.3.有一个口袋装有有一个口袋装有2 2个红球，个红球，2 2个绿球，任意摸出个绿球，任意摸出2 2球，若颜色球，若颜色不同，则小明胜并且得不同，则小明胜并且得1 1分，否则小刚胜分，否则小刚胜. .为了使该游戏公平，为了使该游戏公平，则小刚胜时应得则
21、小刚胜时应得_分分. .【解析解析】列表如下：列表如下：P(P(颜色相同颜色相同) P() P(颜色不同颜色不同) ) 则小明的平均得分为则小明的平均得分为 若使得游戏公平，则平均得分相同，所以小刚获胜若使得游戏公平，则平均得分相同，所以小刚获胜时应得时应得2 2分分. .答案：答案：2 2 红红1 1红红2 2绿绿1 1绿绿2 2红红1 1( (红红1 1, ,红红2 2) )( (红红1 1, ,绿绿1 1) )( (红红1 1, ,绿绿2 2) )红红2 2( (红红2 2, ,红红1 1) )( (红红2 2, ,绿绿1 1) )( (红红2 2, ,绿绿2 2) )绿绿1 1( (绿
22、绿1 1, ,红红1 1) )( (绿绿1 1, ,红红2 2) )( (绿绿1 1, ,绿绿2 2) )绿绿2 2( (绿绿2 2, ,红红1 1) )( (绿绿2 2, ,红红2 2) )( (绿绿2 2, ,绿绿1 1) )4.4.四张质地相同的卡片如图所示四张质地相同的卡片如图所示 将卡片洗匀后，背面朝上将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上放置在桌面上(1)(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2 2的概率的概率. .(2)(2)小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图你认为这个游戏公平吗？请用列
23、表法或画树状图法说明理由，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平【解析解析】(1)P(1)P(抽到抽到2)2)(2)(2)根据题意可列表根据题意可列表 第一次抽第一次抽第二次抽第二次抽2 22 23 36 62 222222222232326262 222222222232326263 332323232333336366 66262626263636666或画树状图：或画树状图：从表从表( (或树状图或树状图) )中可以看出所有可能结果共有中可以看出所有可能结果共有1616种，符合种，符合“组
24、组成的两位数不超过成的两位数不超过3232”这一条件的有这一条件的有1010种，种，P(P(两位数不超过两位数不超过32) 32) 游戏不公平游戏不公平调整规则：调整规则：方法一：将游戏规则中的方法一：将游戏规则中的3232换成换成262631(31(包括包括2626和和31)31)之间的任之间的任何一个数都能使游戏公平何一个数都能使游戏公平方法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过方法二：游戏规则改为：抽到的两位数不超过3232的得的得3 3分，抽分，抽到的两位数超过到的两位数超过3232的得的得5 5分，能使游戏公平分，能使游戏公平方法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是方法三：游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2 2，小贝胜，反之小晶胜小贝胜，反之小晶胜. .【想一想错在哪？想一想错在哪？】小明和小刚利用如图所示的两个转盘做小明和小刚利用如图所示的两个转盘做“配紫色配紫色”游戏游戏. .配成紫色，小明得配成紫色，小明得3 3分，否则小刚得分，否则小刚得1 1分，这个分，这个游戏公平吗？为什么？游戏公平吗？为什么？( (红色和蓝色可以配成紫色红色和蓝色可以配成紫色) )提示：提示：某事件发生的概率仅仅由事件本身来决定，而判断游戏某事件发生的概率仅仅由事件本身来决定，而判断游戏是否公平，需计算是否公平，需计算“平均得分平均得分”. .
