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1、第十章第十章 线面积分线面积分1 、计算对弧长的曲线积分参数方程）、计算对弧长的曲线积分参数方程）上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 2、 金属曲线的质量包括对称性的应用）金属曲线的质量包括对称性的应用）3、用格林公式计算对坐标的曲线积分补线）、用格林公式计算对坐标的曲线积分补线）5、 计算对面积的曲面积分计算对面积的曲面积分4 、全微分方程的充要条件选择题）、全微分方程的充要条件选择题）6、 利用利用Gauss公式计算对坐标的闭曲面积分公式计算对坐标的闭曲面积分.一一. 第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算1、 对于曲线对于曲线2、对于曲线、对于曲线3、对于曲线、对于曲线上页上页 下
2、页下页 返回返回 完毕完毕 .例例1. 设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的参数方程为的参数方程为(1) 求它关于求它关于 z 轴的转动惯量轴的转动惯量(2) 求它的质心求它的质心 .解解 设其密度为设其密度为 (常数常数).(2) L的质量的质量而而(1)上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .故重心坐标为故重心坐标为上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理1、在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上连续上连续,L 的参数方程为的参数方程为则曲线积分存则曲线积分存 在，且在，且特殊情形特殊情形上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕
3、.对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧设有向光滑弧 L ，以弧长为参数，以弧长为参数 的参数方程为的参数方程为知知 L的切向量的方向余弦为的切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .定理定理2. 设区域设区域 D 由分段光滑正向曲线由分段光滑正向曲线 L 围成围成,那么那么 格林公式在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,或或四、四、 格林公式格林公式间的联系间的联系.格林公式格林公式 沟通了沿闭曲线的积分与二重
4、积分之沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 证明略证明略.推论推论 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面的面积积格林公式格林公式例如例如, 椭圆椭圆所围面积所围面积上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例2. 计算计算其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解 为应用格林公式为应用格林公式, 添加辅助线添加辅助线它与它与L 所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D , 于是于是上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .GyxoBA如果在区域如果在区域 G G 内恒有内恒有五、曲线积分与路径无关的条件五、曲线
5、积分与路径无关的条件注注 曲线积分与路径无关时曲线积分与路径无关时, 可记为可记为 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 则称曲线积分则称曲线积分在在G G 内内与路径无关，与路径无关，否则称曲线积分与路径有关否则称曲线积分与路径有关. .定理定理3. 设设G 是单连通域是单连通域 ,在在G 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(2) 沿沿G 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , (1) 在在G中，曲线积分中，曲线积分(4)(3) 在在 G内每一点，都有内每一点，都有与路径无关与路径无关. 以下四个条件等价以下四个条件等价:在在G内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 P
6、dx + Q dy 的原函数的原函数上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例3. 计算计算其中其中L 是沿是沿逆时针方向以原点为中心逆时针方向以原点为中心,解一解一 令令那么那么表明积分与路径无关表明积分与路径无关, 故故a 为半径的上半圆周为半径的上半圆周.上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .解二解二 它与它与L所围区域为所围区域为D,(利用格林公式利用格林公式)考虑考虑:(2) 假设假设 L 同例同例2 , 如何计算下述积分如何计算下述积分:(1) 若若L 改为顺时针方向改为顺时针方向,如何计算下述积分如何计算下述积分:那么那么添加辅助线段添加辅助线段上页上页 下页下页 返回返
7、回 完毕完毕 .例例4. 验证验证是某函数的全微分是某函数的全微分, 并求并求一个这样的函数一个这样的函数. 证证 设设那么那么表明存在函数表明存在函数 u (x , y) 使得使得。上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例5. 验证验证在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在内存在原函数原函数 , 并求出它并求出它. 证证 令令那么那么因此存在原函数因此存在原函数上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .计算计算其中其中L为上半圆周为上半圆周提示提示: :逆时针方向逆时针方向.练习练习1.上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .定理定理4. 设有光滑曲面设有光滑曲面f (x, y
8、, z) 在在 上连续上连续,存在存在, 且且六、对面积的曲面积分计算六、对面积的曲面积分计算 则曲面积分则曲面积分证明略证明略上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .类似地，类似地， 如果曲面为如果曲面为上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 对面积的曲面积分对面积的曲面积分二重积分二重积分第一步：求出曲面在坐标面上的投影区域第一步：求出曲面在坐标面上的投影区域第二步：求出曲面的面积元素：第二步：求出曲面的面积元素：第三步：化为二重积分并计算第三步：化为二重积分并计算.，那么，那么如果曲面为如果曲面为那么那么.例例6 6解解 计算计算 + + +dszyx)(, 其中其中 为平面为平面5=
9、 =+ + zy被柱面被柱面2522= =+ + yx所截得部分所截得部分. .积分曲面积分曲面 ：yz- -= = 5,投影域投影域 ：25| ),(22 + += =yxyxDxy上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例7. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 是球面是球面被平面被平面截出的顶部截出的顶部.解解上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .七、对坐标的曲面积分的计算七、对坐标的曲面积分的计算定理定理5 设光滑曲面设光滑曲面取上侧取上侧,是是 上的连续函数上的连续函数, 那那么么上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 . 假设假设那么那么 假假设设那么那么前正后负前正后负右正
10、左负右正左负注注 如果积分曲面如果积分曲面 取下侧取下侧, 那那么么上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .解解 把把 分为上下两部分分为上下两部分根据对称性根据对称性 考虑考虑 下述解法是否正确下述解法是否正确:例例8. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为球面为球面外侧在第一和第八卦限部分外侧在第一和第八卦限部分. 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .九、两类曲面积分的联系九、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦刻画上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .令令向量形式向量形式( A 在在 n 上的
11、投影上的投影)上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例9. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中解解 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 原式原式 = 为旋转抛物面为旋转抛物面介于介于平面平面 z= 0 及及 z = 2 之间部分的下侧之间部分的下侧. 上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .原式原式 =上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .十、十、GaussGauss公式公式高斯公式高斯公式 设空间闭区域设空间闭区域W W由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面围成围成, ,函数函数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在W W上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导
12、数, ,那么那么 W W+ + += = + + + + RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( W Wg g+ +b b+ +a a= = + + + + 或或这里这里 是是W W 的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧，g gb ba acos,cos,cos是是 上点上点),(zyx处外法向量的方向余弦处外法向量的方向余弦.上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .例例10.10.设设 为曲面为曲面上侧上侧, 求求 解解 作取下侧的辅助曲面作取下侧的辅助曲面用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标上页上页 下页下页 返回返回 完
13、毕完毕 .解解 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()(- -+ +- - 其中其中为柱面为柱面122= =+ + yx及平面及平面3, 0= = =zz所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域W W 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. . , yxR- -= =, 0Q = =,)(xzyP- -= =练习练习2.上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .考虑考虑: 假设假设 改为内侧改为内侧, 结果有何变化结果有何变化? 假设假设 为圆柱侧面为圆柱侧面(取外侧取外侧) , 如何计算如何计算? 使用使用GuassGuass公式时应注意公式时应注意: :1.1.RQP,是对哪一个变量求偏导数是对哪一个变量求偏导数; ;3.3.是闭曲面的外侧是闭曲面的外侧. .2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件; ;用柱面坐标用柱面坐标上页上页 下页下页 返回返回 完毕完毕 .
