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1、第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结小结 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出预备知识：预备知识：(1) (1) 曲顶柱体体积：曲顶柱体体积：(2 ) 在直
2、角坐标下，在直角坐标下， 二重积分二重积分(3)平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积x二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分区域D有关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:如果积分区域为：如果积分区域为：X型型 X X型区域的特点：型区域的特点：a a、平行于、平行于y y轴且穿过轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b b、（1） X -型域X-型域下二重积分的计型域下二重积分的计算算: 此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲截面为曲边梯形边梯形 面积为：面积为：(
3、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)那那么么由几何意义，假由几何意义，假设设yZ 注注: 假设假设 (x,y)0 仍然适用。仍然适用。1 1上式说明上式说明: : 二重积分可化为二次定积二重积分可化为二次定积 分计算分计算; ;2 2积分次序积分次序: X-: X-型域型域 先对先对y y积分后对积分后对x x积分积分; ;3 3积分限确定法积分限确定法: : 域中一线插域中一线插, , 内限定上下，内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：注意注意:（2Y-型域：型域：Y型型 Y Y型区域的特点：型区域的特点：a a、穿过区域且平行于
4、、穿过区域且平行于x x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b b、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 同理：同理：Y型域下型域下于是于是0xz ycdDz=f (x,y)x=(y)x=(y)yD: (y) x (y) c y d 二重积分的计算二重积分的计算（D是曲线梯形区域）是曲线梯形区域）0xz ycdDz=f (x,y)x=(y)x=(y).y问题：问题：Q( y)是什么图形？是什么图形？D: (y) x (y) c y d也是曲边梯形也是曲边梯形 ! .Q( y ) =I = 二重积分的计算（D是曲线梯形区域）0xz yx=(y)yc
5、dD.D: (y) x (y) c y dQ( y ) =I =z=f (x,y)x=(y) 二重积分的计算（D是曲线梯形区域） 1积分次序积分次序: Y-型域型域 ,先对先对x积分后对积分后对y积分积分; 2积分限确定法积分限确定法: “域中一线插域中一线插”, 须用平行于须用平行于x轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。注意注意: X 型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点区域边界相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点区域
6、边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别使在分割后的三个区域上分别使用积分公式用积分公式则必须分割则必须分割. .若区域若区域D既是既是X-型又是型又是Y-型区域，则有积分公式型区域，则有积分公式注注）二重积分化二次或累次积分的步骤）二重积分化二次或累次积分的步骤画域，画域，选序，选序，定限定限）二次或累次积分中积分的上限不小于下限）二次或累次积分中积分的上限不小于下限）二重积分化二次或累次积分定限是关键，）二重积分化二次或累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，要画好区域的草图，画好
7、围成画好围成D的几条边界的几条边界线。线。 注意：二重积分转化为二次定积分时，注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限关键在于正确确定积分限,一定要做到熟一定要做到熟练、准确。练、准确。2 2、利用直角坐标系计算二重积分的步骤、利用直角坐标系计算二重积分的步骤（1画出积分区域的图形画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3确定积分限，化为二次定积分；确定积分限，化为二次定积分；（2根据积分区域类型根据积分区域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4计算两次定积分，即可得出结果计算两次定积分，即可得出结果.11y = x20y xD2 先对先对 y 积分
8、从下到上）积分从下到上）1 画出区域画出区域 D 图形图形3 先对先对 x 积分从左到右）积分从左到右）.y = x.例例1 计算计算解：解：X型型Y型型例例3 3解：解： X-型型例例4解：解： （如图将（如图将D作作Y型型-12在二重积分的问题中在二重积分的问题中,还有一类问题是将一种二累）还有一类问题是将一种二累）次积分改变为另一种积分次序的累次积分次积分改变为另一种积分次序的累次积分,其解题步其解题步骤是骤是: 由所给二累次积分的上下限写出表示积分区域由所给二累次积分的上下限写出表示积分区域的不等式组的不等式组; 根据不等式组画出积分区域根据不等式组画出积分区域的图形的图形. 写出另一
9、种积分次序的区域写出另一种积分次序的区域的不等式组的不等式组; 写出所求的二累次积分写出所求的二累次积分.解解积分区域为积分区域为于是，于是，将将 D 向向 y 轴投影。轴投影。解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231原式原式解解：原式原式例例8 8解：解： 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图解解1).二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分次序）积分次序）Y型X型型3.小结2).利用对称性计算二重积分：利用对称性计算二重积分：一般地，设一般地，设 在在D上连续上连续,则存则存在在 设设D D关于关于y y轴对称轴
10、对称 设设D D关于关于x x轴对称轴对称 设设D D关于原点对称关于原点对称三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。1、直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系如图）（1面积元素变换为极系下：面积元素变换为极系下：（2二重积分转换公式：二重积分转换公式：（3注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下注意：将直角坐标系的二重积分化为极
11、坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：2 极坐标系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进由穿进(入点，穿出点的极径得到其上下限。入点，穿出点的极径得到其上下限。将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。1、当极点、当极点O在区域在区域D外时外时（1区域如图区域如图1具体
12、地具体地图图1（2区域区域D如图如图2图图22、当极点在区域、当极点在区域D的内部的内部区域如图区域如图3图图33、当极点、当极点O在区域在区域D的边界上的边界上区域如图区域如图4图图4计算二重积分时，应注意：计算二重积分时，应注意： 坐标系选取：当积分区域是圆、扇形或环形域，或坐标系选取：当积分区域是圆、扇形或环形域，或 被被积函数中含有函数中含有或或时， 可考虑选用极坐标系可考虑选用极坐标系.例例1 将将化为在极坐标系下的二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。（1）（2）（3）（4）（1）解解在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（2）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中
13、，闭区域D 可表示为可表示为（2）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为（4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为 计算计算例例2 解解由直角坐标化由直角坐标化极坐标公式极坐标公式1 1解解解解解解解解在极坐标系下：在极坐标系下：（如图）（如图）例例6 6 求球体求球体 被圆柱面被圆柱面截下且位于圆柱面内的那部分体积。截下且位于圆柱面内的那部分体积。o2
14、aD由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分zxyo例例7 7a由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分xyoz例例7 7z = 0axyzo。V。维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线。由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分由对称性，考虑上半部分D 1例例7 70y x12 y =xD. .例例8.8.解解例例 9 9 写出积分写出积分 - - -21110),(xxdyyxfdx的极坐标二的极坐标二次积分形式次积分形式 定积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3
15、) 变换那么定理定理:变换:是一一对应的 ,* *三、二重积分换元法三、二重积分换元法用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形, 其顶点为通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为那么证证: : 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T T 可逆可逆. .同理得当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, 因此面积元素的关系为解解: 令令那么其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 例例10. 10. 计算计算所围成的闭区域 D
16、 的面积 S .解解: 令令那么例例11. 11. 计算由计算由解解: 由对称性令则D 的原象为的体积V.例例12. 12. 试计算椭球体试计算椭球体内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为那么 若积分区域为那么那么(2) 一般换元公式且那么在变换下极坐标系情形极坐标系情形: : 若积分区域为若积分区域为 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式(3) (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项思考与练习思考与练习1. 设且求提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换提示提示: 积分域如图积分域如图2. 2. 交换积分顺序交换积分顺序
