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1、整式的乘法乘法公式1中小学2中小学幂的运算幂的运算 同底数相乘同底数相乘, ,底数底数_,_,指数指数_用式子表示为用式子表示为:_:_ 幂的乘方，底数幂的乘方，底数_,_,指数指数_ _ 用式子表示为用式子表示为: _ : _ 积的乘方等于积的乘方等于_ _ 用式子表示为用式子表示为: _: _ 不变不变相相加加am an = am+n不变不变相相乘乘（am） = amnn各因式的乘方的积各因式的乘方的积(ab)n = an bn注：注：上述各式中，上述各式中，a a、b b可代表任何有意义的可代表任何有意义的数字、字母、单项式及多项式。数字、字母、单项式及多项式。3中小学什么是单项式？什么
2、是单项式？ （2 2）什么叫单项式的系数？）什么叫单项式的系数？ （3 3）什么叫单项式的次数？）什么叫单项式的次数？ 数数或或字母字母的的积积, ,这样的式子叫做这样的式子叫做单项式单项式. .单独单独的一个的一个数数或一个或一个字母字母也是也是单项式单项式. .v单项式中的单项式中的数字因数数字因数 叫做这个单项式的叫做这个单项式的系数系数。一个单项式中，一个单项式中，所有所有 字母的字母的指数的和指数的和 叫做这个单项式叫做这个单项式的的次数次数。乘法法则4中小学1、单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘 单项式单项式单项式单项式(系数系数系数系数)(同底数幂相乘同底数幂相乘)(单独的幂单
3、独的幂) 单项式相乘，把它们的单项式相乘，把它们的系数系数、相同字母相同字母分别相乘，对于，对于只在一个单项式只在一个单项式里出现的里出现的字字母母，则，则连同它的指数连同它的指数作为作为积积的一个的一个因式因式。5中小学解：原式解：原式= =把系数相乘把系数相乘把相同字母的幂分别相乘把相同字母的幂分别相乘做积的因式做积的因式注意这里体现注意这里体现了结合律及交了结合律及交换律换律例题16中小学把系数相乘把系数相乘把相同字母的幂分别相乘把相同字母的幂分别相乘其余字母连同它的指数不变其余字母连同它的指数不变作为积的因式作为积的因式解：原式解：原式=2aa1b3) 3()2(-例题例题（2 2）7
4、中小学=m(a+b+c)= mambmc+2a2(3a2-5b)=2a2.3a22a2.(-5b)+=6a4-10a2b(-2a2)(3ab2-5b)=(-2a2).3ab2(-2a2).(-5b)+=-6a3b2+10a2b类似的类似的:2、单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘乘法分配律乘法分配律mcmbma+)(cbam+8中小学多项式乘以单项式多项式乘以单项式 多项式多项式乘以乘以单项式单项式，用用单项式去乘以去乘以多项式的的每一项，并把所得的，并把所得的 积 相加相加。9中小学(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘，先用一个
5、多项式的先用一个多项式的每一项每一项分别分别乘以另一个多项式的乘以另一个多项式的每一项每一项，再把所得的再把所得的积相加。积相加。 3、多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘10中小学 例例 (x+2)(x3)解解: =注意：注意：1、两项相乘时两项相乘时先定符号，积的符号由这两先定符号，积的符号由这两 项的符号决定。项的符号决定。同号得正，异号得负同号得正，异号得负。 2、最后的结果要、最后的结果要合并同类项合并同类项。11中小学两数和两数差两数平方差(a+b)(a-b) = a-b乘法公式两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. .1、平方差公式：1
6、2中小学abab 如图如图：在边长为在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长为的大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形的小正方形 换一种方法换一种方法：我们把红色部分拼成一个完整的长方形图案我们把红色部分拼成一个完整的长方形图案。求拼出的长方形的面积求拼出的长方形的面积：_bba-b(a+b)(a-b) 结论：结论： (a+b)(a-b) = a-b求图中的红色部分部分面积：求图中的红色部分部分面积：_13中小学概念挖掘概念挖掘: :结构特点14中小学范例例例1、运用平方差公式计算：、运用平方差公式计算： (1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)
7、(-x-2y) 解：解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22=9x2-4(2) (b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=(2a+b)(2a-b)=4a2-b2(3) (-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y215中小学(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数两数和和的平方的平方：两数两数差差的平方的平方：公式变形为：公式变形为：（首（首尾）尾）2首首22首首尾尾尾尾2口诀：口诀： 首平方，尾平方首平方，尾平方, ,首尾两倍中间放首尾两倍中间放 。2、完全平方公式完全平方公式16中小学baab1234 如图：由图1，图2，图
8、3，图4组成的正方形其总面积为：换一种方法：我们把图1，图2，图3，图4面积相加，总面积为：注意：图2与图3面积相等,图4边长为b结论：17中小学13 aabb如图：边长为 a 的一正方形，求图1面积2换一种方法：我们在大正方形中依次剪去图2与图3注意：图2与图3面积相等，图1面积：结论：图4为图2与图3重叠部分，被剪两次418中小学公式特点：公式特点：4 4、公式中的字母、公式中的字母a a，b b可以表示数，单项式和可以表示数，单项式和 多项式多项式。(a+b)2= a2 +2ab+b2(a- -b)2= a2 - - 2ab+b21 1、积为二次三项式；、积为二次三项式；2 2、积中两项
9、为两数的平方和；、积中两项为两数的平方和；3 3、另一项是两数积的、另一项是两数积的2 2倍，且与乘式中间的符倍，且与乘式中间的符 号相同号相同首平方，末平方，首尾两倍首平方，末平方，首尾两倍中间放，中间放，符号与前一个样符号与前一个样19中小学例如例如: 1. (3x+4y)22. (3x-4y)23. (-3x+4y)24. (-3x-4y)2= 9x2-24xy+16y2= 9x2+24xy+16y2= 9x2-24xy+16y2= 9x2+24xy+16y2( a+b)2=(-a-b)2( a-b)2=(-a+b)220中小学例1 己知10m=4 , 10n=5 , 求103m+2n
10、的值。综合应用综合应用注意：同底数幂的乘法与幂的乘方的逆用21中小学例例2 2 计算：计算：(1)(-4x)(2x(1)(-4x)(2x2 2+3x-1)+3x-1)； 解：解： (-4x)(2x(-4x)(2x2 2+3x-1)+3x-1)-8x-8x3 3-12x-12x2 2+4x+4x注注意意:(-1):(-1)这这项项不不要要漏漏乘乘，也也不不要要当当成是成是1 1； (-4x)(2x(-4x)(2x(-4x)(2x(-4x)(2x2 2 2 2) ) ) )(-4x)3x(-4x)3x(-4x)3x(-4x)3x (-4x)(-1)(-4x)(-1)(-4x)(-1)(-4x)(-
11、1)+ + + + + + +22中小学例例3 3 计算：计算：-2a-2a2 2(ab+b(ab+b2 2)-5a(a)-5a(a2 2b-abb-ab2 2) ) 解解: :原式原式-2a-2a3 3b-2ab-2a2 2b b2 2-5a-5a3 3b+5ab+5a2 2b b2 2-2a-2a3 3b-2ab-2a2 2b b2 2-5a-5a3 3b+5ab+5a2 2b b2 2注意注意: :1.1.将将2a2a2 2与与5a5a的的“”看成性质符号看成性质符号2.2.单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并。单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并。 -7a-7a3 3b+3
12、ab+3a2 2b b2 2 23中小学 (-2ab)(-2ab)3 3(5a(5a2 2b2bb2b3 3) )解解: :原式原式=(-8a=(-8a3 3b b3 3)(5a)(5a2 2b2bb2b3 3) ) =(-8a=(-8a3 3b b3 3)(5a)(5a2 2b)+(-8ab)+(-8a3 3b b3 3)(-2b)(-2b3 3） =-40a=-40a5 5b b4 4+16a+16a3 3b b6 6说明：先进行乘方运算，再进行单说明：先进行乘方运算，再进行单项式与多项式的乘法运算。项式与多项式的乘法运算。例例4 计算计算：24中小学 (a+3b-2c)(a-3b-2c)
13、= (a-2c)+3b (a-2c)-3b= (a-2c)2-(3b)2= a2-4ac+4c2-9b2例例5 计算计算：注意适时加括号注意适时加括号25中小学同底数幂相乘法则幂的乘方法则积的乘方法则单项式乘以单项式法则单项式乘以多项式法则多项式相乘法则平方差公式完全平方公式(1)(2)(3)(4)(5)(a+b+c)(a+b-c) =(a+b)+c(a+b)-c =(a+b)2-c2 ( ) =a2+2ab+b2-c2 ( )连一连：找出括号中应填的法则或公式同底数幂相乘，底数不变指数相加。幂的乘方，底数不变，指数相 乘。1、系数相乘作积的系数；2、相同字母利用同底数幂相乘。3、只在一个单项
14、式含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。把这个单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。两数和与两数差的积等于这两个数的平方差。两数和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍。积的乘方等于把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。(6) (2x-3)(x+1) =2x2-x-3 （ ）先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。26中小学如果如果a+a1=3,则则a2+a21=( )(A) 7(B) 9(C) 10(D) 11所以所以=9a+a1( )2所以所以a +a1=922+2A故故a a1=72+2因为因为a+a1=3解：解：拓展探究
15、拓展探究27中小学2 2、 用简便方法计算用简便方法计算：(1)19982002解： (1)原式 =(2000+2)(2000-2)= 20002-22= 4000000-4= 3999996(2)原式 =28中小学(1)若(x3+mx+n)(x2-5x+3)展开后，不含x2和x3项。试求m、n的值。(2) 把2x2+4x-5表示a(x+k)2+m的形式。(3) 若(ax+b)(3x+2)=6x2+kx-1,求a、b、k的值。(4) 若a+b=9,ab=14.求a2+b2 试一试：聪明的你定能解决下列各题展开式中含x2的项是：nx2-5mx2=(n-5m)x2展开式中含x3的项是：3x3+mx3=(3+m)x3要使展开式中不含x2和x3项,则n-5m=0 且3+m=0 解得m= -3 n= -15因为a(x+k)2+m=a(x2+2kx+k2)+m =ax2+2akx+ak2+m=2x2+4x-5所以 a=2 a=2 2ak=4 解得 k=1 ak2+m=-5 m= -8因此 2x2+4x-5 可表示成2(x+1)2-8因为(ax+b)(3x+2)=3ax2+(2a+3b)x+2b =6x2+kx-1 3a=6 a=2所以 2a+3b=k 解得 b= -0.5 2b= -1 k=0.5由完全平方公式可得：a2+b2=(a+b)2-2ab=92-214=53 29中小学30中小学
