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1、第二章第二章 极限与连续极限与连续 2.1 2.1 数列的极限数列的极限 2.2 2.2 函数的极限函数的极限 2.3 2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 2.4 2.4 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则 2.5 2.5 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限 2.6 2.6 函数的连续性函数的连续性 2.1 数列的极限数列的极限例如例如数列是整标函数数列是整标函数问题问题: : “无限接近意味着什么无限接近意味着什么? ?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它. .通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就
2、说数列是发散的就说数列是发散的. .注意：注意：几何解释几何解释:其中其中例例1 1证证所以所以, ,例例2 2证证所以所以, ,说明说明: :常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数. .例例3 3证证 2.2 函数的极限函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限1212几何解释几何解释:注意：注意：例例1证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.单侧极限单侧极限:左极限左极限右极限右极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例2 2证证它是偶函数，图形关于它是偶函数，图形关于
3、y轴对称轴对称.1通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:几何解释几何解释:例例3证证过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 2.3 2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量四、无穷大量四、无穷大量一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念二、无穷小量的性质二、无穷小量的性质三、无穷小量的比较三、无穷小量的比较定义定义: : 极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量. .一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念例如例如, ,注意：注意： （1 1定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各定义中所称极限，包括数列极限和函数极限的各种
4、情形；种情形；（4 4零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数. .（2 2无穷小需指明相应的变化过程。如无穷小需指明相应的变化过程。如（3 3无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性 定理定理 其中其中 是当是当 时的无穷小时的无穷小. 此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。此定理对函数极限的其它变化过程仍成立。以上定理表明：以上定理表明：“f(x)以以A为极限为极限” “f(x)与与A之差之差f(x)-A为无穷小为无穷小”该定理在今后的讨论证明中常会用该定理在今后的讨
5、论证明中常会用到到二、无穷小的性质二、无穷小的性质:性质性质1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证证性质性质2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小之积仍是无穷小有限个无穷小之积仍是无穷小.证证性质性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证都是无穷小。都是无穷小。是无穷小。是无穷小。性质性质4 无穷小除以极限存在且不为零的函数仍是无穷小无穷小除以极限存在且不为零的函数仍是无穷小.证证不妨假设不妨假设A0.三、无穷小的比较三、无穷小的比较极限不同极限不同, ,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不同快
6、慢程度不同. .同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。同一变化过程中的无穷小趋于零的速度各不相同。定义定义: :例如，例如，四、无穷大量四、无穷大量定义定义 在自变量的某一变化过程中，若函数在自变量的某一变化过程中，若函数f(x)的绝对值的绝对值无限增大，则称无限增大，则称f(x)为无穷大量为无穷大量,记作记作若在自变量的某一变化过程中，函数若在自变量的某一变化过程中，函数f(x) (-f(x)无限增大，无限增大，则称则称f(x)为正为正(负负)无穷大量无穷大量,记作记作例如例如注意：注意：（1无穷大量的定义对数列也适用无穷大量的定义对数列也适用;（3无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与
7、很大的数混淆不能与很大的数混淆;（2 2无穷大量需指明相应的变化过程。如无穷大量需指明相应的变化过程。如无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量; ;恒不为零恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量的无穷小量的倒数为无穷大量. .即即 2.4 2.4 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则一、极限的性质一、极限的性质二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则一、极限的性质一、极限的性质性质性质1(唯一性唯一性) 若极限若极限limf(x)存在，则极限值唯一。存在，则极限值唯一。矛盾。故极限值唯一。矛盾。故极限
8、值唯一。性质性质2(局部有界性局部有界性) 若极限若极限l i m f(x)存在，则存在，则f(x)在在x0的某的某空心领域内有界。空心领域内有界。体会局部的含义，例如体会局部的含义，例如f(x)= 1/x在在0.001处局部有界处局部有界性质性质3(局部保号性局部保号性) 若极限若极限l i m f(x)=A,A0(或或A0(或或f(x)0)。同理可证同理可证A1/n2，但是，但是n时，二者极限相等时，二者极限相等二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2
9、推论推论3 3推论推论4 4推论推论5 5例例1 1解解解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2解解例例3 3例例4 4解解例例5 5解解要看清自变量变化趋势要看清自变量变化趋势例例6 6解解小结小结: :注意推广到数列情形注意推广到数列情形例例7 7解解先变形再求极限先变形再求极限.极限为极限为0对吗对吗?错误！错误！2.5 2.5 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼定理夹逼定理证证上两式同时成立上两式同时成立,上述
10、数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限。例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:有界数列有界数列原则原则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. . 例例2 2证证( (舍去舍去) )二、两个重要极限二、两个重要极限(1)准备用夹逼定理注：注：xsinx，(x0)例例3 3解解例例4 4解解注：注：xtanx，(x0)例例5 5解解注：注：1-cosxx2/2，(x0)例例6 6解解100 不存在010 不存在(2)(2)类似地类似地,准备用夹逼定理准备用
11、夹逼定理例例7 7解解例例8 8解解用乘除凑解用乘除凑解题更简单题更简单 例例9 设设一一笔笔本本金金A0存存入入银银行行,年年复复利利率率为为r,在在下下列列情情况况下下,分分别别计算计算t年后的本利和：年后的本利和： a)一年结算一次；一年结算一次； b)一年分一年分n期计息期计息,每期利率按每期利率按r/n 计算；计算； c)银行连续不断地向顾客付利息银行连续不断地向顾客付利息,此种计息方式称为连续复利此种计息方式称为连续复利. 解解 a) 一一 年年 结结 算算 一一 次次 时时 ,一一 年年 后后 的的 本本 利利 和和 为为 A1=A0+ A0r=A0(1+r),第二年后的本利和为
12、第二年后的本利和为A2= A1(1+r)= A0(1+r)2,依此递推关系依此递推关系, t年后的年后的本利和为本利和为At= A0(1+r)t. 类似于连续复利问题的数学模型类似于连续复利问题的数学模型,在研究人口增长、林木生长、在研究人口增长、林木生长、设备折旧等问题时都会遇到设备折旧等问题时都会遇到,具有重要的实际意义具有重要的实际意义. b) 一一年年结结算算n次次, t年年共共结结算算nt次次, 每每期期利利率率为为 ,则则t年年后后的的本本利利和为和为 t= A0(1+ )nt. c)计计算算连连续续复复利利时时, t年年后后的的本本利利和和 t 为为b)中中结结果果 t在在 时时
13、的极限的极限 2.6 2.6 函数的连续性函数的连续性一、变量的改变量一、变量的改变量二、连续函数的概念二、连续函数的概念三、函数的间断点三、函数的间断点四、连续函数的性质四、连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质一、变量的改变量一、变量的改变量二、连续函数的概念二、连续函数的概念 定义定义1 1 设函数设函数 在点在点 的某领域内有定义的某领域内有定义, ,如果当自变量如果当自变量的改变量的改变量 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数的改变量对应的函数的改变量 也趋向于零也趋向于零, ,即即 则称函数则称函数 在点在点 处连续处连续, ,称称 为为 的连续点的连续
14、点. .例例2 2证证例例3 3证证例例4 4解解 如果函数在开区间如果函数在开区间(a,b)(a,b)内每一点都连续内每一点都连续, ,则称函则称函数在在开区间数在在开区间(a,b)(a,b)内连续内连续. .连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .三、函数的间断点三、函数的间断点注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .例例4中，中，x=0示跳跃间断点。示跳跃间断点。例如例如,四、连续函数的性质四、连续函数的性质1.连续函数的四则运算连续函数的四则
15、运算2.复合函数的连续性复合函数的连续性单调连续函数必有连续的反函数，且单调性不变单调连续函数必有连续的反函数，且单调性不变. .例如例如, ,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .3.反函数的连续性反函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.4.初等函数的连续性初等函数的连续性均在其定义域内连续均在其定义域内连续.基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .例例5 5例例6 6解解解解例例7 7解解例例8 8解
16、解ln(1+X) X，X0ex-1X，X0例例9 9解解 定定理理( (最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定取得最大值和最小值取得最大值和最小值. .注意注意:1.:1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定成立定理不一定成立. .五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质 定定理理( (有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在在该该区区间间上上有界有界. .MCmab例例1010证证由零点定理由零点定理, ,
