《高数：不定积分的概念与性质,换元积分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数：不定积分的概念与性质,换元积分法（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六讲第六讲 不定积分的概念与换元积分法不定积分的概念与换元积分法1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质2 凑微分法凑微分法(第一换元积分法第一换元积分法)3 第二换元积分法第二换元积分法例例定义：定义：1 1、原函数与不定积分的概念、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（ 为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若
2、 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）证证（ 为任意常数）为任意常数）任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线
3、族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.1.2 1.2 基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数
4、之和的情况）1.31.3 不定积分的性质不定积分的性质例例5 5 求积分求积分解解例例6 6 求积分求积分解解例例7 7 求积分求积分解解例例8 8 求积分求积分解解说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解所求曲线方程为所求曲线方程为基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系 小结小结问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令2、第
5、一类换元法、第一类换元法在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.定理定理1 1例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例2 2 求求解解一般地一般地例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解例例5 5 求求解解例例6 6 求求解解例例7 7 求求解解例例8 8 求求解解例例9 9 求求原式原式例例1010 求求解解例例1111 求求解解说明说明 当被积函数是
6、三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1212 求求解解例例1313 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出解解例例1414 设设 求求 .令令例例1515 求求解解问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）3、第二类换元法、第二类换元法证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式例例1616 求求解解 令令例
7、例1717 求求解解 令令例例1818 求求解解 令令说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解例例2020 求求解解 令令说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例2121 求求令令解解例例2222 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 例例2323 求求解解令令基基本本积积分分表表小结小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）一）凑微分凑微分（二）二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)
