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1、姓名：鲍江宏:87113373:majhbaoscut.edu第一章随机事件与概率概率概率概率概率论论的研的研的研的研讨对讨对象象象象随机事件随机事件随机事件随机事件事件的关系和运算事件的关系和运算事件的关系和运算事件的关系和运算频频率与概率率与概率率与概率率与概率古典概型古典概型古典概型古典概型几何概型几何概型几何概型几何概型概率的公理化定概率的公理化定概率的公理化定概率的公理化定义义1.1 概率概率论的研的研讨对象象实验：在规范大气压下，将水加热到100。C。实验：在静电场中，察看同性电荷的行为。实验：在地面上信手垂直上抛一石块。 特征：只需特征：只需实验的条件不的条件不变，就会出，就会出
2、现相相应的独一确定的的独一确定的结果。因此在果。因此在这些些实验中中看到的景象称看到的景象称为确定性景象。确定性景象。确定性景象：确定性景象：实验前可以前可以预言其言其结果的，且在一果的，且在一定条件下，反复定条件下，反复进展展实验，它的，它的结果果总是一定并是一定并且不且不变的。的。实实验验：在在一一样样的的条条件件下下，投投掷掷一一枚枚匀匀质质的的硬硬币币。察察看看哪哪一面向上。一面向上。实实验验：在在一一样样条条件件下下，投投掷掷一一颗颗匀匀质质正正六六面面体体的的骰骰子子。察看所出现的点数察看所出现的点数实验：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的运用寿命实验：从一批灯泡中，任取一只，测定
3、灯泡的运用寿命 这些实验具有如下特点：这些实验具有如下特点：1实验可以在一样的条件下反复进展。实验可以在一样的条件下反复进展。2实验能够出现的一切结果种类知实验能够出现的一切结果种类知3在未实验之前，不知道下次实验出现的结果，但实在未实验之前，不知道下次实验出现的结果，但实验结果必是一切能够结果中的某一个。验结果必是一切能够结果中的某一个。具有这些特点的实验称为随机实验。具有这些特点的实验称为随机实验。1)1)从随机实验中察看到的景象称为随机景象。从随机实验中察看到的景象称为随机景象。2)2)随机实验今后简称为实验。随机实验今后简称为实验。3)3)在随机实验的反复实施中呈现出的不变性质，在随机
4、实验的反复实施中呈现出的不变性质，称为统计规律性。称为统计规律性。阐明：明：概率论的研讨对象就是随机景象的统计规律性概率论的研讨对象就是随机景象的统计规律性1.2 随机事件随机事件样样本空本空本空本空间间：随机：随机：随机：随机实验实验一切能一切能一切能一切能够结够结果的集合称果的集合称果的集合称果的集合称为样为样本本本本空空空空间间。常用。常用。常用。常用表示。表示。表示。表示。样样本点：本点：本点：本点：样样本空本空本空本空间间的元素称的元素称的元素称的元素称为样为样本点，常用本点，常用本点，常用本点，常用 表示。表示。表示。表示。实验：投投掷一一枚枚匀匀质的的硬硬币，察察看看哪哪一一面面
5、向向上上。规定定带有国徽有国徽图案的是正面。案的是正面。 正面，反面正面，反面例例1：实验：投：投掷一一颗匀匀质正六面体的骰子，察看所出正六面体的骰子，察看所出现的的 点数。点数。 1，2，3，4，5，6实验：从一批灯泡中，任取一只，：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的运用寿命定灯泡的运用寿命 0，+)=xR 0x20。那么BC (1,1)， (2,2)， (3,3)， (4,4)， (5,5)， (6,6)， (4,6)，(6,4)，(6,5)，(5,6) 例例例例6 6：在：在：在：在纸纸牌游牌游牌游牌游戏戏中，分中，分中，分中，分别别以以以以NkNk、EkEk、SkSk、WkWk表示表示
6、表示表示北家，北家，北家，北家，东东家，南家，西家至少有个家，南家，西家至少有个家，南家，西家至少有个家，南家，西家至少有个“ “知一副知一副知一副知一副牌中共有个，牌中共有个，牌中共有个，牌中共有个，问问以下事件中西家有几个以下事件中西家有几个以下事件中西家有几个以下事件中西家有几个“ “：解：解：解：解：(1)、W1表示西家至少有一个“，那么表示西家没有“。(2)、N2S2表示北家与南家至少各有两个“，但一副牌共有个“，因此，北家与南家各有两个“。即西家没有“。(3)、分别表示北家、南家、东家没有“，那么 表示北家、南家、东家三家同时没有“，即西家有个“。提问：提问：答案：西家至少有3个“
7、1. 4 频率与概率率与概率频率的定率的定义设事件在次实验中出现了次，那么比值r/n称为事件在次实验中出现的频率。概率的概率的统计定定义在同一组条件下所作的大量反复实验中，事件出现的频率总是在区间0，1上的一个确定的常数附近摆动，并且稳定于，那么称为事件的概率，记作P(A)。 1)、非负性对任一事件有：0P(A)12)、规范性P()=13)、 可 加 性 假 设 事 件 与 互 斥 ， 那 么P(A+B)=P(A)+P(B)概率的性概率的性质 对于n个两两互斥的事件A1，A2，An，有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)假设构成互斥完备群，那么P(A1)+P(A2)+P(
8、An)1 对一列两两互斥的事件A1，A2，An，有4)、P()0证明：明：对任一事件任一事件A，AA那么那么P(A)=P(A)=P(A)P()P()=0证明：证明：6)6)、对于恣意事件，有、对于恣意事件，有P( A )=1P( A )=1P PA A证明：证明：7)7)、对于恣意事件、，有、对于恣意事件、，有P(AP(AB)=P(A)B)=P(A)P(AB)P(AB)证明：证明：8)8)、对于恣意事件、，有于恣意事件、，有P(AB)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)P(B)P(AB)P(AB)证证明：明：明：明：AB=A+(BAB=A+(BAB=A+(BAB=A+(BAB)AB)AB)A
9、B)P(AB)=P(A+(BP(AB)=P(A+(BP(AB)=P(A+(BP(AB)=P(A+(BAB)=P(A)+P(BAB)=P(A)+P(BAB)=P(A)+P(BAB)=P(A)+P(BAB)AB)AB)AB)=P(A)+P(B)=P(A)+P(B)=P(A)+P(B)=P(A)+P(B)P(AB)P(AB)P(AB)P(AB)小概率原理小概率原理假设在某实验中，事件A的概率非常接近于零。那么可以实践推断，假设进展一次该实验，在实验的结果中事件A是不会出现的。从而实践上可将A看作是实践不能够事件。即：小概率事件在一次实验中是不会发生的。1.5 古典概型古典概型古典概型的随机实验要求满
10、足下两条件：古典概型的随机实验要求满足下两条件： 有限性。只需有限多个不同的根身手件。有限性。只需有限多个不同的根身手件。 等能够性。每根身手件出现的能够性相等。等能够性。每根身手件出现的能够性相等。 投掷一枚匀质的硬币，察看哪一面向上在装有5个白球，6个蓝球的盒中随机抽取三个球在古典概型中，假设根身手件样本点的总数为，事件所包含的根身手件样本点个数为r(rn)，那么定义事件的概率P(A)为r/n。即古典概率古典概率例：投例：投掷一一颗匀匀质骰子，求事件出骰子，求事件出现偶数点的概率？偶数点的概率？解：解：ei 出现第i点样本空间U=e1,e2,e3,e4,e5,e6,即n=6A=e2,e4,
11、e6,即r=3故概率概率计算算例：袋中有三个白球两个例：袋中有三个白球两个红球，从袋中任球，从袋中任取两个球，求以下事件的概率：取两个球，求以下事件的概率：获得两个都是白球得两个都是白球获得两个都是得两个都是红球球C获得一个白球一个得一个白球一个红球球袋中有三个白球，从袋中取两个白球有袋中有三个白球，从袋中取两个白球有 种种取法。即包含的根身手件个数取法。即包含的根身手件个数 。于是，于是， 解：袋中有五个球，任取两个共有解：袋中有五个球，任取两个共有 种取法，种取法，即根身手件即根身手件总数数 。3袋袋中中有有两两个个红红球球，三三个个白白球球，故故从从袋袋中中取取一一红红一一 白白 有有
12、种种 取取 法法 ， 包包 含含 的的 根根 身身 手手 件件 个个 数数 。于是，。于是，从袋中获得两个红球，只需一种取法。从袋中获得两个红球，只需一种取法。即包含的根身手件的个数即包含的根身手件的个数r=1。于是，于是，例例3：某车间有男工人，女工人，现要：某车间有男工人，女工人，现要选三个代表前往先进单位观赏学习，问个选三个代表前往先进单位观赏学习，问个代表中至少有一个女工的概率是多少？代表中至少有一个女工的概率是多少？ 例例4、(抽抽球球类型型)袋袋中中有有a个个黄黄球球，个个白白球球，从从中中接接连恣恣意意取取出出k个个球球(ka+b)，且且每每次次取取出出的的球球不不再再放放回回去
13、去，求求第第k次次取取出出的的球球是是黄黄球球的概率？的概率？分分析析：样本本点点就就是是从从a+b中中有有次次序序地地取取k个个球球的的不不同同取取法法；第第k次次取取出出的的球球是是黄黄球球意意味味着着：第第k次次是是从从a个个黄黄球球中中取取出出一一球球，再再在在a+b-1个个球中取出球中取出k-1个球。个球。解法一：解法一：注：本结论阐明按上述规那么抽签，每人抽中黄球的时机相等，同抽签次序无关。解法二：解法二：例例5 5：个个质点点在在个个格格子子中中的的分分布布问题。设有有个个不不同同质点点，每每个个质点点都都以以概概率率1/N1/N落落入入个个格格子子(Nn)(Nn)的每一个之中，
14、求以下事件的概率：的每一个之中，求以下事件的概率： 1) 1) ：指定个格子中各有一个：指定个格子中各有一个质点；点； 2) 2)：恣意个格子中各有一个：恣意个格子中各有一个质点；点； 3) 3)：指定的一个格子中恰有：指定的一个格子中恰有(mn)(mn)个个质点。点。解解：每每一一个个质点点可可以以落落入入个个格格子子中中的的任任一一个个，即即个个质点点共共有有NnNn种种分分布布。故故根根身身手手件件总数数为NnNn 1) 1)、事件包含的、事件包含的样本点数：本点数：在在个个格格子子中中放放有有个个质点点，且且每每格格有有一一个个质点点，共共有有n!n!种种不不同同方方法法；因因此此，事
15、事件件包包含含的的样本点数本点数为n!n! 那么那么 2)、事件包含的样本点数： 选取个格子共有 种不同的方法；在个格子中放个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同方法；因此，B事件包含的样本点数为n! 那么 3事件包含的样本点数：个质点可从n个质点中恣意选取，共有种不同方法。余下nm个质点恣意放在余下的N1个格子中，共有(N1)nm种不同方法；因此，事件包含的根身手件数为(N1)nm 那么 某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？例例6解解例例7超几何分布超几何分布在一批总量为N件的产品中有N1件是次品，N2件是正品。今从中取出n件，求恰有k件次品的概率。解：解
16、：例例8：证明以下命明以下命题： ) 假假设A1与与A2同同时发生生时发生生，那么有那么有 P(A) P(A1)P(A2)1 2) 假假设 ，那么有，那么有 P(A) P(A1)P(A2)P(A3)2证明：明：几何概型几何概型 平面上有可测的区域G和g，向G中随机投掷一点M，设M必落在G内。 如M落在g内的概率只与g的面积成正比，而与g的位置和外形无关。 这样的随机实验，称为几何概型。1.6 1.6 几何概型几何概型gM MG G 向平面区域G内随机投点，那么点M落入G内的部分区域g的概率留意：随机投点是指留意：随机投点是指M M落入落入G G内任一内任一处均是等能均是等能够的。的。gM MG
17、 G几何概率几何概率例例9：会面：会面问题知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地到达码头，该码头只需一个泊位。假设甲先到达，需停靠6小时后才分开码头。假设乙先到达，那么要停靠8小时后才分开码头。问这两船中有船需等候泊位空出的概率解：解：设甲船到达甲船到达码头的的时辰是辰是x x，乙船到达，乙船到达码头的的时辰是辰是y y，显然然0x,y240x,y24。按按题意，有意，有y-x6,x-y8y-x6,x-y8例例10：投：投针问题 平面上画着一些平行线，它们之间的间隔等于a,向此平面任投长度为l(la)的针，试求此针与任一平行线相交的概率。解：解：设x表示针的中点到最近的一条平行线的间隔，
18、表示针与平行线的交角。如图显然0xa/2， 0为使针与平行线相交，必需x xG Gxg g故所求概率为1.7 1.7 概率的公理化定概率的公理化定义古典概率：实验结果要求有限、互不相容、等能够古典概率：实验结果要求有限、互不相容、等能够几何概率：落入区域几何概率：落入区域G G内任一点是等能够的。内任一点是等能够的。统计概率：要求作大量反复实验。统计概率：要求作大量反复实验。前面学了三种概率定义，各有其局限性。前面学了三种概率定义，各有其局限性。事件域事件域 由样本空间的一些子集构成的集合F，假设满足如下条件：那么称F为一个事件域。 F F中的元素称中的元素称为随机事件，随机事件，为必然事件，
19、必然事件，为不能不能够事件事件 定义在事件域F上的一个集合函数称为概率，假设它满足如下三个条件：概率的公理化定概率的公理化定义1 12 23 3对任一事件有：任一事件有：0P(A)10P(A)1P()=1P()=1对于于n n个两两互斥的事件个两两互斥的事件A1A1，A2A2，AnAn，有，有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)作业作业: :3 3、7 7、9 9、1616、1919 1-10 房间中有4个人，试问恰有2个人的生日在同一个月份的概率是多少?作业评讲作业评讲解解 1-7 1-7 知知1010个电子管中
20、有个电子管中有7 7个正品和个正品和3 3个次品，每次恣意抽取个次品，每次恣意抽取1 1个来测试，测试后不再放回去，直至把个来测试，测试后不再放回去，直至把3 3个次品都找到为止，个次品都找到为止，求需求测试求需求测试7 7次的概率。次的概率。 解解 1-13 将3个球放置到4个盒子中去，求以下事件的概率:1A=设有一个盒子里有2个球;2B=3个球全在一个盒子内。 解解设A=取出的牌中至少有2张牌的花样一样那么 A=取出的3张牌中没有花样是一样的 1-19 1-19 在一副扑克牌中，任取在一副扑克牌中，任取3 3张，求取出的张，求取出的牌中至少有牌中至少有2 2张牌的花样一样的概率。张牌的花样一样的概率。 解解
