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1、北师大版数学九上北师大版数学九上2.51.1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.3.一元二次方程根的情况怎样确定？一元二次方程根的情况怎样确定？2.2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？一、温故知新一、温故知新方程方程两个根两个根快速解下列方程：快速解下列方程：两根两根之和之和两根两根之积之积二、探索新知二、探索新知1.完成填空：完成填空：？请观察两根之和请观察两根之和与两根之积，它与两根之积，它们与方程的系数们与方程的系数有什么关系？有什么关系？ 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 .求证：求证：证明：证
2、明：2.已知：已知：平方差公式平方差公式如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 ，那么：，那么：这就是一元二次方程这就是一元二次方程 根与系数的关系，根与系数的关系，也叫也叫韦达定理韦达定理. .3.归纳总结归纳总结1.1.判断对错，如果错了，说明理由。判断对错，如果错了，说明理由。(1) 2x(1) 2x2 2-11x+4=0-11x+4=0两根之和为两根之和为11,11,两根之积为两根之积为4 4。 (3) x(3) x2 2+2=0+2=0两根之和为两根之和为0 0，两根之积为，两根之积为2 2。 (4) x(4) x2 2+x+1=0+x+1=0两根之和为两
3、根之和为-1-1，两根之积为，两根之积为1 1。 (2) 4x(2) 4x2 2+3x=5+3x=5两根之和为两根之和为 , ,两根之积为两根之积为()()()()2=0-420= 1-41 0三、双基过关：三、双基过关：2.2.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积。不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积。(1) x2-2x=2(2) x2-3x+1=0(3) 2x2-3x=0(4) 3x2=1小结：在应用韦达定理时小结：在应用韦达定理时. . 1.1.先将一元二次方程转化成一般形式，先将一元二次方程转化成一般形式，2.2.准确找到准确找到a,b,ca,b,c，口算，口算3.3.记准韦达
4、定理记准韦达定理. .解解:(1)a=1,a=1,x x2 2-2x-2=0-2x-2=0b=-2,b=-2, c=-2c=-2= =120= =120所以原方程有两个不等实根所以原方程有两个不等实根设方程的两个不实根分别是设方程的两个不实根分别是变式：已知关于变式：已知关于x x的方程的方程(1)(1)当当m= m= 时，此方程的两根互为相反数时，此方程的两根互为相反数. .(2)(2)当当m= m= 时，此方程的两根互为倒数时，此方程的两根互为倒数. .11(1)(2)分析分析:a=1,b=-(m+1),c=2m-11 3. 3.方程方程 的两根互的两根互为倒数，则为倒数，则k= k= 4
5、. 4. 已知方程已知方程 的一个根是的一个根是1 1，求它的另一，求它的另一 个根及个根及k k的值的值. . 解：解：设方程得两根分别为设方程得两根分别为 1由韦达定理，得由韦达定理，得变式练习：变式练习：1.1.已知方程已知方程 的一个根是的一个根是4 4，它的另一，它的另一 个根为个根为 2.2. k =k =115152. 2. 已知方程已知方程 的一个根是的一个根是 1 1，它的，它的另一另一 个个 根为根为 , , a = a = 5还有外星方法？ 1 1、设、设 、 是方程是方程 的的两个根两个根, ,不解方程根不解方程根 ， 求下列各式的值：求下列各式的值： 四四.能力提高能
6、力提高点拨：点拨：2. 2. 已知方程已知方程 的一个根是的一个根是 1 1，它，它的另一的另一 个个 根为根为 , ,a= . 3.以以2和和 3为根的一元二次方程（二次项系数为）为：为根的一元二次方程（二次项系数为）为：112五五. .创新提高创新提高1.1.已知方程已知方程 的两个实数根是且的两个实数根是且 , ,求求k k的值。的值。 2.2.方程方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m 的取值范围。的取值范围。 解解: :由已知由已知, ,得得= 即即0m10m1解：由韦达定理得解：由韦达定理得 X X1 1+X+X2 2=-k=-k， X X1 1XX2 2=k
7、+2=k+2 又又 X X1 12 2+ X+ X2 2 2 2 = 4 = 4 即即(X(X1 1+ X+ X2 2) )2 2 -2X-2X1 1X X2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = K = K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时， 0 0当当k=-2k=-2时，时，0 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 k=4 或或k=k=2 23.3.已知两个数的和是已知两个数的和是1 1，积是，积是-2-2，则两，则两 这个数这个数4.4. 是是 。2和-1解法解法1 1：设两数分别为：设两数分别
8、为x,yx,y则则: :解得解得: :x=2x=2y=y=1 1或或 1y=2解法解法2 2：设两数分别为一个一元二次方程：设两数分别为一个一元二次方程的两根则的两根则: :解得解得两数为两数为2,2, 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系. 1.一元二次方程根与系数的关系是什么?六六 .总结归纳总结归纳七七. .补充规律：补充规律：两根均为负的条件：两根均为负的条件： X X1 1+X+X2 2 且且X X1 1X X2 2 . . 两根均为正的条件：两根均为正的条件： X X1 1+X+X2 2 且且X X1 1X X2 2 . . 两根一正一负的条件：两根一正一负的条件： X X1 1+X+X2 2 且且X X1 1X X2 2 . .当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b b2 2-4ac0-4ac0 引申:1、若ax2bxc0 (a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0 ;（4）若一根为1,则abc0 ;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
