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1、 第三章第三章 高斯光束的根本性质与传输变换高斯光束的根本性质与传输变换3.1 3.1 高斯光束的根本性高斯光束的根本性质质3.2 3.2 高斯光束的复参数表示，高斯光束的复参数表示，ABCDABCD矩矩阵阵3.3 3.3 高斯光束在非均匀介高斯光束在非均匀介质质中的中的传输传输3.4 3.4 高斯光束高斯光束经过经过光学系光学系统统的的变换变换3.5 3.5 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦3.6 3.6 高斯光束的匹配高斯光束的匹配3.7 3.7 像散像散椭圆椭圆高斯光束高斯光束3.8 3.8 高斯光束参数的高斯光束参数的实验实验丈量丈量一、高斯光束是亥姆霍兹方程在一、高斯光束是亥姆霍兹方程在
2、 缓变振幅近似下的一个特解缓变振幅近似下的一个特解二、高斯光束的根本性质二、高斯光束的根本性质3.1 高斯光束的根本性高斯光束的根本性质质一、高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解一、高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解 电磁场运动的普遍规律可用Maxwell方程组描写。稳态传输的光频电磁场，只研讨电矢量的动摇方程，电矢量在光景象中起主要作用。在标量近似下，动摇方程可写为亥姆霍兹方程。高斯光束是亥姆霍兹方程在缓变近似下的一个特解。亥姆霍兹方程： 容易证明，平面波和球面波都是式3.1.1的特解。高斯光束那么不是该式的准确解，而是在缓变振幅近似SVA下的一个特解。设：3.1.
3、13.1.2SVA：解方程3.1.1，可得解为： 振幅部分振幅部分相位部分相位部分 为腰斑，z=0处振幅减小到最大值 的 r 值，为高斯光束光斑半径的最小值； 为瑞利长度或共焦参数； 高斯光束的光斑半径； 等相位面曲率半径； 相位因子。3.1.43.1.33.1.53.1.63.1.73.1.8二、根本性质二、根本性质1、高斯光束在x,y平面内，场振幅以高斯函数 构成从中心向外平滑减小。光斑半径随坐标z按双曲线向外扩张， 。2、等相位面相位一样点的轨迹。令相位部分等于常数，近轴近似下，略去 ，有： 等相位面为球面3.1.9 等相位面为平面； 等相位面亦可近似为平面； 取极小值； 在远场处可将高
4、斯光束近似视为一个由 点出发，半径为z的球面波。3、高斯光束的相移由3.1.4式可知，总相移为：它表征高斯光束在点r，z出相对于原点0，0的相位差。 几何相移径向相移附加相移3.1.104、瑞利长度 瑞利长度的物理意义为：当 时， 。在适用中常取 范围为高斯光束的准直范围，在这段长度内，高斯光束可以近似以为是平行的。所以，瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围越大，反之亦然。5、远场发散角高斯光束的远场发散角可用下式定义： 可知高斯光束远场发散角在数量级上等于以束宽为半径的光束的衍射角，即它已到达衍射极限。3.1.11 综上所述，可知高斯光束在其轴线附近可以看作是一种非均匀高斯光束球面波，在
5、传输过程中曲率中心不断改动，其振幅在横截面内为一高斯函数，强度集中在轴线及其附近，且等相位面坚持为球面特殊范围内为平面。3.2 3.2 高斯光束的复参数表示，高斯光束的复参数表示，ABCDABCD矩矩阵阵一、高斯光束的复参数表示一、高斯光束的复参数表示二、高斯光束的二、高斯光束的ABCDABCD定律定律一、高斯光束的复参数表示一、高斯光束的复参数表示 高斯光束由 、 和 中的恣意两个即可确定。可用复参数 将这三个量联络起来，定义 为：利用式3.1.6和3.1.7易得：3.2.13.2.2当 知时， 、 可由下式求出：3.2.3在讨论高斯光束的传输变换问题时，适用 q 参数法最为简便。 留意：对
6、 ，式3.2.1中 为真空或空气中波长； 当 时， 应了解为折射率 n 介质波长。二、高斯光束的二、高斯光束的ABCDABCD定律定律首先阐明两点：1、初始场分布为高斯函数的激光束经过变换矩阵为 的光学系统变换之后，仍旧坚持为高斯函数的方式。2、其复参数变换服从ABCD定律： 或写为：3.2.43.2.5 试证明这两点试证明这两点阐明：假设复参数为 的高斯光束依次经过变换矩阵为：的光学系统后变为复参数为 的高斯光束，利用矩阵乘法易证明，此时ABCD定律亦成立，但其中ABCD为下面矩阵M诸元：即当 和 为知时，原那么上由ABCD定律可以求出恣意z处的 ，进而再计算出 和 。此为研讨高斯光束传输的
7、一个根本方法。3.2.63.2.7例：自在空间传播设在z=0处有一等相位面为平面的高斯光束：由ABCD定律：在自在空间中传输间隔z后，设其复参数为 。由于3.2.83.2.93.2.10将式3.2.1、3.2.8带入式3.2.10中可得到：3.2.113.2.123.3 高斯光束在非均匀介高斯光束在非均匀介质质中的中的传输传输 本节讨论高斯光束在折射率 和吸收或增益系数 与空间坐标有关的非均匀介质中的传输。如图3.3.1所示，设 、 随 、 变化规律为： 图3.3.1 非均匀介质 3.3.13.3.2 这种抛物线函数方式式3.3.1、3.3.2实践上包括了类透镜介质、饱和吸收体、可变光阑等常见
8、的情况。复折射率 可写为：3.3.3将上式代入亥姆霍兹方程，得到：式中 称为传输常数设该解的方式为：3.3.43.3.53.3.63.3.7代入3.3.4，在缓变振幅近似下得到：上式解为：3.3.83.3.9 将式3.3.9代入3.3.8，利用方程式对恣意 成立条件，得到 和 的微分方程组：假设传输常数 与 无关，在边境条件 下，求得式3.3.10、式3.3.11的解为： 3.3.103.3.11于是高斯光束的束宽 和等相位面曲率半径 由下式决议：3.3.123.3.133.3.143.3.15式3.3.12可改写为：3.3.16式中A、B、C、D为矩阵M诸元：非均匀介质的非均匀介质的ABCD
9、矩阵矩阵3.3.17例：对热透镜介质例：对热透镜介质令透镜厚度设 ，当计及进、出端的界面折射后：3.3.183.3.193.3.20这一公式已列入表2.2.1中3.4 高斯光束高斯光束经过经过光学系光学系统统的的变换变换 在折射率 的物空间 处入射复参数为 的高斯光束，经过变换矩阵 的复杂光学系统后，在折射率 的像空间 处变换为复参数 的高斯光束，于是有： 图3.4.1 高斯光束经过复杂光学系统的变换3.4.1由 至 的变换服从ABCD定律：式中，3.4.23.4.33.4.4 式3.4.4及高斯光束经过复杂光学系统的普通变换公式，式中诸量均为实数。将式3.4.13.4.3代入式3.4.2，并
10、利用矩阵变换的性质，得：特例：1当入射光束取在束腰 处， ，式中 为物方瑞利长度，那么式3.4.4成为3.4.53.4.62实践任务中最感兴趣的是 ，即研讨入射与出射高斯光束束腰间的变换问题，此时式3.4.4简化为：3.4.7设 ，当 时，可将式3.4.4简化为：式3.4.8决议了像方束腰位置 和束腰大小 ，常称为成像公式和物像比例公式。3.4.83经过薄透镜的变换如图3.4.2，设 ，此时式中 f 为薄透镜焦距。将式3.4.9代入式3.4.8，得到3.4.9物像比例公式：成像公式：3.4.103.4.11当 时，式3.4.10过渡为几何光学薄透镜成像公式：物像比例：像方瑞利长度 为，3.4.
11、123.4.133.4.14通常称式3.4.14为高斯光束的景深公式，它阐明长的准直间隔和良好的聚焦效果小的束宽二者不可兼得。在工程设计中只能根据详细问题要求选择适当参数，在一定范围内予以满足。3.5 高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦 本节讨论高斯光束经过薄透镜的聚焦，出发点是式3.4.10、式3.4.11。这一问题在数学上归结为求像方束宽 的极值。当 一定时，由式3.4.11知 是 的函数，下面分两种情况分别讨论。3.4.103.4.11一、一、 一定时，一定时， 随随 变化情况变化情况将式3.4.11对 求一阶偏导数，得到由式3.4.2求得1、 时时因这时 ，故 随 的减小而单调减小，当 时，
12、 取极小值，因此，当 时， 总比 小，不论透镜焦距 多大，总有一定聚焦作用，并且像距一直小于 ，这表示像方束腰位置总在透镜后焦点以内。3.5.13.5.23.5.32、 时时因这时 ，故 随 的添加而单调减小，当 时，式中当然，这只是理想极限情形。实践上当 时，有：为入射在透镜外表上的高斯光束束宽，且还有假设同时还满足 ，那么因此，当物距 较透镜焦距 远大时， 越大， 越小，那么聚焦效果越好。3.5.43.5.53.5.63.5.73.5.83、 时时图3.5.1 随 的变化 上述讨论结果可作图示于下，不论 值多少，只需满足条件 时，总有一定聚焦作用。且这时 到达极大值，仅当 ，即 时，透镜才
13、有聚焦作用。3.5.93.5.10二、二、 一定时，一定时， 随随 变化情况变化情况1、当、当 时，时， 取极大值：取极大值：式中 分别为高斯光束入射在透镜处等相位面的曲率半径和束宽。2、 时时因 ，故 随 的减小而单调减小。当 时，仅当 时，透镜对高斯光束才有聚焦作用，且 越小，聚焦效果越好。当 时，有3、 时时因 ，故 随 的添加而单调减小。当 时，故在此范围无聚焦作用。 随 的变化情况示于以下图：图3.5.2 随 的变化 3.6 3.6 高斯光束的匹配高斯光束的匹配 一个谐振腔产生的单模高斯光束入射到另一个光学系统。 假设方式不匹配每个光学系统有本人的本征方式，将激发多模；假设方式匹配，
14、单模高斯光束只会激发系一致个对应的单模。 如图3.6.1所示的两个共轴球面腔，设在腔中产生束腰 的基模高斯光束， 腔中产生束腰 的基模高斯光束。假设在其间适当位置插入一适当焦距 的薄透镜后，使由腔发出的光束与由腔发出的光束互为物像共轭，那么该透镜称为两腔的模匹配透镜。图3.6.1 高斯光束的匹配普通的提法是：知物方高斯光束的束腰 ，要求在像方得到束腰为 的高斯光束，求物距 、像距 和模匹配透镜的焦距 应满足的关系式。可用高斯光束的复参数表示和ABCD定律直接推导。由ABCD定律：3.6.13.6.23.6.3将式3.6.13.6.2代入3.6.3，得：展开上式左方，分别实、虚部，并利用均为纯虚
15、数，得到：3.6.43.6.53.6.6把式3.6.5代入式3.6.6求解 可得：3.6.83.6.7式中，3.6.9式3.6.7和3.6.8称为高斯光束的模匹配公式。下面分两种情况讨论。1当 给定时，模匹配公式中仍包含三个未知量 和 ，因此可以在物理上允许范围内独立选择其中一个量，求解其他两个量。2假设 给定时，可联立方程解出 和 ，但在实践问题中必需留意检查求出的结果在物理上能否合理。 3.7 像散像散椭圆椭圆高斯光束高斯光束 由环形腔、折叠腔之类的像散腔输出的激光束，或者在各向异性介质中传播的激光束普通都为椭圆高斯光束。以各向异性介质中传播为例，给出基模椭圆高斯光束的数学描画。 高斯光束
16、在各向异性非均匀介质中传播，设介质折射率为 、增益系数 为：场函数：3.7.13.7.23.7.33.7.8将式3.7.1、3.7.2、3.7.3代入亥姆霍兹方程式，在缓变振幅近似下化为：传输常数在边境条件为：式3.7.4的一个特解为：3.7.43.7.53.7.63.7.7其中3.7.93.7.10 对于本节所讨论情况，光束参数虽然在xoz和yoz 面上不相等，但它们是可分别的，具有简单的像散特征。 描写的光束为基模椭圆高斯光束。由 可知，在xoz和yoz 面上，椭圆高斯光束的参数 和 普通是不相等的 像散椭圆高斯光束。式3.7.10， 可改写为：其中即 和 分别服从ABCD定律。因此前面对
17、高斯光束讨论结果可以分别用于表述椭圆高斯光束在xoz和yoz 面上的行为。3.7.113.7.123.8 3.8 高斯光束参数的丈量高斯光束参数的丈量 现已有多种实验技术和方法，对高斯光束参数进展丈量，但丈量原理根本一样。本节内容引见对高斯光束光斑半径、远场发散角、等相位面曲率半径、方式线宽等参数的丈量原理和简单实验丈量方法。一、束宽和远场发散角的丈量一、束宽和远场发散角的丈量 实验安装示于图3.6.1，二极管阵列或CCD置于薄透镜的后焦面上，远场光束强度的径向分布在示波器上显示，记录。 按照光斑的定义，可由实验记录直接求出在透镜后焦面处高斯光束的光斑半径 来。示波器二极管阵列 图3.8.1
18、丈量高斯光束束宽和远场发散角的实验安装3.8.13.8.2令 ，由ABCD定律求得：由 总的变换矩阵为： 为薄透镜焦距求出远场发散角 二、等相面曲率半径的丈量二、等相面曲率半径的丈量 可以用普通丈量波面曲率半径方法丈量，或利用高斯光束经过圆孔的菲涅尔衍射丈量。3.8.3 如图3.8.2，让高斯光束经过半径 知的圆孔，在屏上可看到光束的 衍射环。由丈量第 m 个暗环对应屏与圆孔间隔 z 后可按公式求出高斯光束等相面曲率半径 R： 图3.8.2 等相位面半径丈量安装表示图三、光点扫描法三、光点扫描法 对延续激光器发射的高斯光束可用光点扫描法丈量横模的阶次和光强的径向分布。如图3.8.3，扩束后的延
19、续激光经转镜反射后由带有圆孔光阑的光电探测器吸收，并在示波器上显示出光强的径向分布。 探测器示波器光阑 图3.8.3 光点扫描法TEM00TEM10TEM20图3.8.4 光强分布图四、四、F-P规范具法规范具法 F-P规范具广泛用于激光光学中，其中一个就是判别激光器的输出能否为高斯光束和丈量激光的线宽 。 准直后的激光束经焦距为 的透镜会聚后入射到F-P规范具上。规范具将不同角度入射的光束变为一束束方向不同的平行光。各组平行光经透镜 分别聚焦在焦平面上不同半径的位置上从而构成以系列同心干涉条纹。 图3.8.5 丈量安装图F-P规范具透射公式：出现亮纹的条件为：即又3.8.43.8.53.8.63.8.73.8.8亮条纹是一系列0值的同心圆环丈量线宽判别方式单频一系列同心干涉圆环多模多套干涉条纹 当激光波长有一定线宽 时，同心干涉圆环的 角也有一变化范围。经聚焦后，在焦平面上的干涉条纹位置 也有一变化范围 。近轴近似下，接近中心的干涉条纹，从而可求出激光线宽：或3.8.93.8.103.8.11
