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1、彭富连彭富连 沈竹制作沈竹制作湖南师范大学数学与计算机科学学院湖南师范大学数学与计算机科学学院2021/3/111主编主编 彭富连彭富连 刘迪芬刘迪芬湖湖 南南 教教 育育 出出 版版 社社基础高等数学基础高等数学2021/3/112前前 言言一、文科生学习高等数学的目的一、文科生学习高等数学的目的高等数学高等数学是理科、工科、经济、管理、医学类是理科、工科、经济、管理、医学类学生的一门先行的学生的一门先行的基础理论课基础理论课；随着世界进入；随着世界进入信息时代，计算机日益普及信息时代，计算机日益普及,高等数学已经深入高等数学已经深入到社会的到社会的各个领域。各个领域。作为加强大学生作为加强
2、大学生文化素质文化素质的一项措施的一项措施, 高等数学已被列入到高等数学已被列入到文科的教学计文科的教学计划划之内。因此之内。因此, 高等数学不只是理工科学生的高等数学不只是理工科学生的2021/3/113一方面一方面使学生获得相应数学基础知识使学生获得相应数学基础知识基本理论基本理论和基本计算方法和基本计算方法，提高学生的数学素质；，提高学生的数学素质；必修科目必修科目,同时也是许多同时也是许多非理工科非理工科学生的学生的必修科目必修科目。文科生开设高等数学的目的文科生开设高等数学的目的:另一方面另一方面使学生学会一定的使学生学会一定的数学思维方法数学思维方法，提高学，提高学生分析问题和解决
3、问题的能力。生分析问题和解决问题的能力。对对文科生文科生来说，后者显得更为重要。来说，后者显得更为重要。2021/3/114二、文科生开设文科生开设高等数学的内容高等数学的内容本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个部分内容：部分内容： 微积分是人类二千年来智力奋斗的结晶，有着微积分是人类二千年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础，理广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础，理所当然的是本书的主体部分。所当然的是本书的主体部分。一元函数微积分一元函数微积分 线性代数线性代数 概率统计初步概率统计初步2021/3/115 第一章第一章 预
4、备知识预备知识 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第三章第三章 导数与微分导数与微分 第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 第五章第五章 不定积分不定积分 第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用根据我校课时计划，主要根据我校课时计划，主要介绍第一编中的介绍第一编中的一元微积分一元微积分，内容包括：，内容包括：2021/3/116重点重点:极限、导数、不定积分、应用极限、导数、不定积分、应用难点难点:极限、应用极限、应用三、重点、难点三、重点、难点1、牢固掌握、牢固掌握基本概念、基本理论、基本计算方法基本概念、基本理论、基本计算方法; 四、四、要求要求2、按质按量、按质按
5、量独立完成独立完成作业作业;不迟到不迟到,不缺课不缺课.能熟练地用所学的方法去解决一些能熟练地用所学的方法去解决一些实际问题实际问题.2021/3/117五、高等数学学习方法五、高等数学学习方法预习预习听课听课复习复习练习练习课堂外课堂外课堂内课堂内四步学习法：四步学习法：2021/3/118六、参考书六、参考书 彭富连、刘迪芬主编：彭富连、刘迪芬主编： 基础高等数学学习指导及习题解答基础高等数学学习指导及习题解答 湖南教育出版社出版湖南教育出版社出版彭富连主编：彭富连主编： 高等数学学习辅导高等数学学习辅导 湖南师大出版社出版湖南师大出版社出版彭富连主编：彭富连主编： 高等数学高等数学（上）
6、（上） 湖南师大出版社出版湖南师大出版社出版2021/3/119第 一 章预预备备知知识识2021/3/11101 集合集合2 函数函数3 函数的性质函数的性质4 反函数与复合函数反函数与复合函数5 初等函数初等函数2021/3/1111基本要求基本要求 3、了解了解函数的有界性函数的有界性、单调性、周期性和奇、单调性、周期性和奇 偶性偶性;4 4、掌握掌握基本初等函数的性质及其图形，了解基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。初等函数的概念。1、了解了解集合的概念及区间和邻域的表示法集合的概念及区间和邻域的表示法;2、了解了解函数的概念函数的概念(基本初等函数、复合函数、基本初等函数
7、、复合函数、反函数反函数)及函数的定义域求法及函数的定义域求法;2021/3/11121 集合集合1.1 集合的概念及运算集合的概念及运算1.集合集合 具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集,有限集有限集(列举法列举法)无限集无限集(描术法描术法)常用记号常用记号,2021/3/1113Q-有理数集有理数集R-实数集实数集N-自然数集自然数集A=BZ-整数集整数集-正整数集正整数集平面上全体点组成的集合平面上全体点组成的集合,记作记作2.集合的运算集合的
8、运算 U U表全集表全集, 差集差集叫做集合叫做集合A(直积直积)或或在集合在集合U U中的补集或余集中的补集或余集,记作记作或或2021/3/1114交换律交换律结合律结合律 分配律分配律 对偶律对偶律2021/3/1115(1) 实数集的构成1.2 区间与邻域区间与邻域 (2) 实数的点的表示 数轴： X O a1 b 2021/3/1116称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,(3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b R , 且 a b. 1.2 区间与邻域区间与邻域 集合集合 集合集合 2021/3/1117称为半开区间称为半开区间
9、,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.2021/3/1118(4) 邻域邻域 定义定义2021/3/1119 习题一 5. 用区间表示下列不等式的解集, 并在数轴上表示出来: (4) 0 | 2x + 1 | 2 解: 6. 开区间 (1, 3) 是 ( ) (A) 点 3 的邻域 (B) 点 2 的 1 邻域 (C) 1 的邻域 (D) 以 2 为中心, 1.5 为半径的邻域B 2021/3/11202 函数函数(1) 常量与变量常量与变量 动点2.1 函
10、数的定义函数的定义 定点2021/3/1121（2 2） 函数的定义函数的定义落地时间为落地时间为t=T,那么与之间的依赖关系由公式那么与之间的依赖关系由公式 (1)确定确定,其中为其中为g g重力加速度重力加速度. 例例1自自由由落落体体问问题题 设设物物体体下下落落的的时时间间为为t, 下落的距离为下落的距离为s,假定开始下落的时刻为假定开始下落的时刻为在这个关系中在这个关系中, 距离距离s随着时间随着时间t的变化而变化的变化而变化.2021/3/1122函数，记作函数，记作 总有唯一确定的数值与之对应，则称总有唯一确定的数值与之对应，则称法则法则如果在集合如果在集合X中取定每一个数值中取
11、定每一个数值 时时,变量变量 依照某种依照某种定义定义是两个变量，两个变量，X是一个给定的数集是一个给定的数集,yx和设在点处的函数值在点处的函数值,记作记作 称为函数称为函数当当取数值取数值时时，与与对应的对应的的数值的数值称为因变量。称为因变量。变量变量数集数集X X叫做这个函数的定义域，变量叫做这个函数的定义域，变量 称为自变量，称为自变量，2021/3/1123学中所介绍的实数集到实数集的学中所介绍的实数集到实数集的映射映射. 称为函数的称为函数的值域值域.),(XxxfyyY=函数值全体组成的数集平面上的一个点集平面上的一个点集在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,的的图形图形.称为
12、定义在称为定义在X上的函数上的函数的定义可知的定义可知,函数实际上即我们中学数函数实际上即我们中学数由由函数函数2021/3/1124一般说来一般说来, 函数函数的图形是一条的图形是一条平面曲线平面曲线. o而与自变量和因变量用什么字母表示无关而与自变量和因变量用什么字母表示无关. 函数概念的两要素函数概念的两要素 注注2 2 函数的定义域一般分为两种函数的定义域一般分为两种: 若抽象地研究由表达式若抽象地研究由表达式(公式公式)表示的函数表示的函数, 求函求函数的定义域是指使数的定义域是指使表达式有意义表达式有意义的一切实数组成的的一切实数组成的定义域定义域-自变量的变化范围；自变量的变化范
13、围；注注1 函数的表示法只与定义域和对应关系有关函数的表示法只与定义域和对应关系有关,值的方法值的方法.给定给定值值,求求对应关系对应关系-2021/3/1125函数的定义域要根据问题的实际意义确定函数的定义域要根据问题的实际意义确定.集合集合,称为函数的称为函数的自然定义域自然定义域.而对于一些实际问题而对于一些实际问题,为了使表达式有意义为了使表达式有意义,常遇到的常遇到的四种情况四种情况是是:(1)分式中的分母不能为零分式中的分母不能为零;(2)偶次方根号下的表达式不能为负值偶次方根号下的表达式不能为负值;(3)对数的真数必须大于零对数的真数必须大于零;等于等于1.(4)反正弦、反余弦后
14、面的表达式的绝对值小于反正弦、反余弦后面的表达式的绝对值小于2021/3/1126例例1 已知函数已知函数,求求解解2021/3/1127例例2 求函数求函数 的定义域的定义域. 即即时时,表达式才有意义表达式才有意义,因此函数因此函数的定义域为的定义域为 解解 当且仅当当且仅当2021/3/1128 例例3 求函数求函数 的定义域的定义域. 或或适合不等式适合不等式 解解 要使表达式有意义，当且仅当要使表达式有意义，当且仅当故故,即函数的定义域为即函数的定义域为2021/3/11292.2函数表示法函数表示法分段函数分段函数.表格法、图示法、解析法表格法、图示法、解析法(也叫公式法也叫公式法
15、). 常用的表示方法有常用的表示方法有:用解析法表示的函数可以由一个数学式子用解析法表示的函数可以由一个数学式子给出给出, 也可以在其定义域的不同部分用不同的也可以在其定义域的不同部分用不同的数学式子表示数学式子表示,用这种方式表示的函数称为用这种方式表示的函数称为2021/3/11301-1xyo例例5 符号函数符号函数值域为值域为 o定义域为定义域为,即即例例4 绝对值函数绝对值函数2021/3/1131例例6 取整函数取整函数 y=x ,x表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数. 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo图形为图形为阶梯曲线阶
16、梯曲线它可以表示成它可以表示成当当例如 0.34 = 0= 2 1.34 = 3 3 = 3 3 2021/3/1132例例7 设计一个体积为设计一个体积为V的有盖圆柱形容器，求其的有盖圆柱形容器，求其表面积表面积A和底半径和底半径R之间的函数关系。之间的函数关系。解解 设圆柱形容器底的高为设圆柱形容器底的高为H，于是表面积为，于是表面积为代入上式得代入上式得定义域为定义域为2.3 建立函数关系建立函数关系 2021/3/1133例例8(单利问题单利问题) 设一笔贷款的本金为设一笔贷款的本金为p0元元, 年利率为年利率为 r, 贷款贷款期限为期限为 x 年年, 求本利和求本利和 P. 解: 一
17、年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元 例例9(复利问题复利问题) 设一笔贷款的本金为设一笔贷款的本金为p0元元, 年利率为年利率为 r, 贷款贷款期限为期限为x 年年, 求本利和求本利和 Px. 解: 贷款满一年后的本利和为 P1 = p0 (1+ r) 元, x 年后的本利和为 Px = p0 (1+ r) x 元 .两年后的本利和为 P2 = P1 (1+ r) = p0 (1+ r)2 元, 2021/3/1134几个常用的几个常用的经济函数经济函数:设某种产品在某个时间范围内设某种产品在某个时间范围内
18、,如果把除价格以外如果把除价格以外的因素看作不变的因素看作不变, ,则需求量则需求量 可视为价格可视为价格 的函数的函数, ,记作记作称为称为需求函数需求函数; 设某企业生产某种产品设某企业生产某种产品,生产生产 件的固定成本为件的固定成本为变动成本为变动成本为,总成本函数总成本函数销售销售 件产品的件产品的总收益函数总收益函数为为总收益函数和总成本函数之差总收益函数和总成本函数之差称为称为总利润函数总利润函数.2021/3/1135例例10 10 某民营企业的固定成本为某民营企业的固定成本为12000元，每单位产出元，每单位产出的可变成本为的可变成本为1010元，产品的售价为每单位元，产品的
19、售价为每单位3030元，求元，求（1 1）固定成本函数；（）固定成本函数；（2 2）可变成本函数；（）可变成本函数；（3 3）总）总 成本函数；（成本函数；（4 4）总收益函数；（）总收益函数；（5 5）总利润函数。）总利润函数。 解解 设产量为设产量为，则，则2021/3/1136解解例例11 火火车车站站收收取取行行李李费费的的规规定定如如下下：当当行行李李不不超超过过50公公斤斤时时，按按基基本本运运费费计计算算，如如从从长长沙沙到到某某地地每每公公斤斤收收0.15元元;当当超超过过50公公斤斤时时，超超重重部部分分按按每每公斤收公斤收0.25元。试求长沙到该地的行李费元。试求长沙到该地
20、的行李费与重量与重量（元）（元）(公斤公斤) 之间的函数关系。之间的函数关系。2021/3/11373 函数的性质函数的性质3.1 函数的有界性函数的有界性 设函数设函数 f (x) 的定义域为的定义域为 X，数集数集 I X. 如果存在正数如果存在正数 K，使得对于一切使得对于一切 x I，有，有 | f (x) | K，则称函数则称函数 f (x) 在在 I 上上有界有界。否则称为否则称为无界无界。2021/3/1138 设设 y = f (x) 的定义域为的定义域为 X， 对任意对任意 x1，x2X ， 当当 x1 x2 时时 （1）有）有 f (x1) f (x2) ，则称，则称 f
21、(x) 在在 X 上上单调增加单调增加；3.2 函数的单调性函数的单调性 xyo2021/3/1139 （2）有）有 f (x1) f (x2) ，则称，则称 f (x) 在在 X 上上单调减少单调减少。 单调递增函数或单调递减函数统称为单调递增函数或单调递减函数统称为单调函数单调函数.单调递增单调递增区间区间与单调递减与单调递减区间区间统称为统称为单调区间单调区间xyo2021/3/11403.3函数的奇偶性函数的奇偶性:yxox-x,有有则称则称为为偶函数偶函数.设函数设函数的定义域的定义域 X X关于原点对称关于原点对称, ,若对若对偶函数偶函数的图形关于的图形关于轴对称轴对称 .202
22、1/3/1141奇函数的图形关于原点对称奇函数的图形关于原点对称.yxox-x若对若对,有有则称则称为为奇函数奇函数.2021/3/1142例：判断下列函数的奇偶性：例：判断下列函数的奇偶性：（1）f (x) = x3 cos x （2）f (x) = x(1 x) 解（解（1） 函数函数 f (x) 的定义域为的定义域为 R, 是关于原点的对称区间是关于原点的对称区间, f (x) = x3cos x 为奇函数。为奇函数。（2） f (x) 的定义域是关于原点的对称区间，的定义域是关于原点的对称区间， f (x) 为非奇非偶函数。为非奇非偶函数。= ( x)3cos( x) = x3cos
23、x = f (x)，又有又有 f (x)f（x）= x(1 x) = x(x 1) 但但 f ( x) = x(1 + x) ，2021/3/11433.4 函数的周期性函数的周期性若存在一个正数若存在一个正数T T, 通常说周期函数的周期是指其最小正通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期.有有且且使得对使得对周期为周期为T的周期函数的图形在每个长度为的周期函数的图形在每个长度为T的区间的区间上的形状相同上的形状相同. 设函数设函数的定义域为的定义域为X,X,恒成立恒成立,则称则称是周期函数是周期函数,T称作称作的周期。的周期。2021/3/1144例如正弦函数例如正弦函数 y = sin
24、x 的基本周期为的基本周期为 2.2021/3/11454 反函数与复合函数反函数与复合函数4.1 反函数反函数 习惯上用字母习惯上用字母x 表示自变量表示自变量,用字母用字母y表示因变量表示因变量,定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为X,值域为值域为Y, 如果如果对于对于Y中的任一值中的任一值 ,都有都有X中唯一的一个值中唯一的一个值 , 满足满足将将 y 与与 x 对应对应,关系为函数关系为函数的反函数的反函数,称这个定义在称这个定义在Y上的对应上的对应就写为就写为.这样反函数这样反函数2021/3/1146XYXY的定义域的定义域.由定义可知由定义可知, 反函数反函数的定义域正好是
25、直接函数的定义域正好是直接函数的值域的值域,反函数反函数的值域正好是直接函数的值域正好是直接函数的的2021/3/1147对称对称 .反反函函数数存存在在定定理理：单单调调函函数数一一定定存存在在反反函函数数,且且单单调调递递增增(递递减减)函函数数的的反反函函数数也也是是单单调调递递增增(递减递减)的的.直接函数的图形与其反函数的图形关于直接函数的图形与其反函数的图形关于直线直线2021/3/1148求反函数的求反函数的一般步骤一般步骤为为:由方程由方程解出解出再将再将 x 与与y 对换对换,即得所求函数的反函数为即得所求函数的反函数为例如例如 ,对数函数对数函数互为反函数互为反函数 ,指数
26、函数指数函数2021/3/1149变量变量. 定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为U,若若的值域为的值域为,则称函数则称函数为为函数函数和和复合而成的复合而成的复合函数复合函数, 称称u为为中间中间复合函数的条件是复合函数的条件是 由复合函数的定义可知，函数由复合函数的定义可知，函数和和能否构成能否构成4.2 复合函数复合函数 求复合函数定义域的步骤是求复合函数定义域的步骤是“从外到内从外到内”(即由即由外层到内层考察相应函数在满足前一层次条件下的外层到内层考察相应函数在满足前一层次条件下的定义域定义域,直到最内层直到最内层),求出使算式有意义的一切实数求出使算式有意义的一切实数x. 2
27、021/3/1150复合函数形象表示法复合函数形象表示法:的定义域为的定义域为b2021/3/1151解解 由由,得得的定义域的定义域.例例2 求复合函数求复合函数的定义域的定义域.例例3已知已知的定义域为的定义域为,求求解解 由由,解得解得。故。故的定义域为的定义域为。2021/3/1152例例4 已知已知,求求的表达式的表达式.解解 令令,解得解得,因因于是由原式得于是由原式得11) 1() 1(22+-=+-+-=uuuu1)() 1ln() 1ln(2+=-eeufuu故故2021/3/11535 初等函数初等函数5.1 基本初等函数基本初等函数 (一一) 常量函数常量函数 y = c
28、（c 为已知常数）为已知常数） 定义域为定义域为 R，值域，值域 = c ， 图象为一条平行图象为一条平行 X 轴的直线。轴的直线。2021/3/1154(二二) 幂函数幂函数 y = x （是一个非零常数）是一个非零常数） （1）当）当为正整数时为正整数时 例：例： 看看= 1、2、3 时时2021/3/1155（2）当）当为负整数时为负整数时 例：例： 看看= 1、 2 时时(二二) 幂函数幂函数 y = x （是一个非零常数）是一个非零常数）2021/3/1156 y = a x （a0 且且 a1） 定义域为定义域为 R，值域，值域 R+(三三) 指数函数指数函数 2021/3/115
29、7 (四四) 对数函数对数函数 y = log a x （a0 且且 a1）定义域为定义域为 R+ ，值域值域 R以以10为底的常用对数：为底的常用对数： y = lg x .以以 e 为底的自然对数为底的自然对数： y = ln x .2021/3/1158(五五) 三角函数三角函数 余弦函数余弦函数 y = cos x（2）正切函数）正切函数 y = tan x 余切函数余切函数 y = cot x （1）正弦函数）正弦函数 y = sin x（3）正割函数）正割函数 y = sec x 余割函数余割函数 y = csc x 倒数关系：倒数关系： tanx cotx = 1 , sinx
30、cscx = 1 , cosx secx = 1 . 平方关系：平方关系： sin2x+cos2x = 1, tan2x+1 = sec2x, 1+cot2x = csc2x .一些基本关系式：一些基本关系式：tan x = sin x cos x2021/3/1159余弦函数余弦函数 y = cos x（1）正弦函数）正弦函数 y = sin x定义域为定义域为 R值域值域 1，12021/3/1160（2）正切函数）正切函数 y = tan x 余切函数余切函数 y = cot x 定义域 正切为 x k/ 2 kZ 值域为 R单调性：不定有界性：无界奇偶性：奇函数周期性：是 周期为（3）
31、正割函数 y = sec x = 1/cos x 余割函数 y = csc x = 1/sin x yx oyxo 2021/3/1161 (六六) 反三角函数反三角函数 y = arcsinx是正弦函数是正弦函数 y = sinx 在在 上的反函数，上的反函数， 叫做叫做 反正弦函数。其定义域是反正弦函数。其定义域是-1, 1，值域是，值域是 ， 并在定义域上单调递增并在定义域上单调递增. 由于三角函数是周期函数，对于值域内的每一个由于三角函数是周期函数，对于值域内的每一个 y 值，都有值，都有无穷多个无穷多个 x 值与之对应，因此必须限制其在单调区间内才能建立值与之对应，因此必须限制其在单
32、调区间内才能建立反三角函数。反三角函数。 反余弦函数反余弦函数2021/3/1162解解提示提示:讨论一个复合函数的分解问题讨论一个复合函数的分解问题,即讨论它是由哪些基本初等即讨论它是由哪些基本初等函数或简单函数函数或简单函数(指由常数和基本初等函数经四则运算所得指由常数和基本初等函数经四则运算所得到的函数到的函数)复合而成复合而成,分解步骤为由分解步骤为由外逐层依次向内分解外逐层依次向内分解.2021/3/1163练习练习：指出下列函数由哪些简单函数复合而成：指出下列函数由哪些简单函数复合而成：解：解：2021/3/1164由基本初等函数否则称为非初等函数 . 并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 . 初等函数的图形可由基本初等函数的图形通过叠加、伸缩、初等函数的图形可由基本初等函数的图形通过叠加、伸缩、平移等手段得到。平移等手段得到。 初等函数是高等数学的主要研究对象。初等函数是高等数学的主要研究对象。5.2 初等函数初等函数 2021/3/1165习题一习题一P172.5.(3)(5);8.(1)(3)9.(2)(4)(6)12.(1)(3)13.(1) (3)(4)(5)(7)14.15.(3)(4)(6)16.2021/3/1166
