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1、第四节1 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容: 第四四章 有理函数 rational function 真分式 proper fraction假分式 improper fraction一、一、 有理函数的积分有理函数的积分3有理函数:时,为假分式;时,为真分式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简单分式: 形如的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)定理定理. 任何一个真分式4机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 无公因子)都可分解成若
2、干个简单分式之和,并且(1) 若Q(x)=0有k重实根a (即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 因子), 则分解时必含有以下的分式:其中为待定系数.(2) 若Q(x)=0有一对k重共轭复根 和(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 因子),则分解时必含有其中为待定系数.5机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据上述的结论,一个真分式都可分解成若干个简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求以上四种类型的不定积分.6机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：7机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：
3、上一节例9四种类型的不定积分都为初等函数8机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理函数的不定积分：有理函数的不定积分：有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和结论结论: 有理函数的不定积分为初等函数.例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :9解解: (1) 用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 用赋值法10故机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法11机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =例例2. 求12解解: 已知例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求13解解: 原式思考思考: 如何求机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 提示提示: 变形方法同例3, 并利用上一节课件例9 . 例例4. 求14机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 令得 原式例例5. 求求15解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例例6. 求求16解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求17常规 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 原式(见P348公式21)注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁例例. 求解解: 令比较同类项系数, 故 原式说明说明: 此技巧适用于形为的积分.二二
5、 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例20设表示三角函数有理式 ,令万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则例例8. 求求21解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求求23解解: 说明说明: 通常求含的积分时,往往更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求24解法解法 1 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求求25解法解法 2 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 求求26解解:
6、因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分27令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令例例12. 求28解解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求29解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 求30解解: 令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结311. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 思考与练习思考与练习32如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业33P218 1-24第五节 目录 上页 下页 返回 结束 34备用题备用题 1.求不定积分解：解： 令则, 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.352.求不定积分解：解：原式 =前式令; 后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束
