第一节 集合及其运算第一章第一章 集合及其基数集合及其基数 集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起2021/8/141 集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元素集合与元素的关系：属于或不属于.集合的定义2021/8/142 对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子2021/8/143 2021/8/144 集合的运算定理1 的充要条件是 且 . 2021/8/145 定理2 若 ， ,则 . 对于集合族 若对任意 则称该集合族是互不相交的或两两不交的.2021/8/146 类似定义其交集，即 例例1 1 若若 则 例2 若 是全体实数构成的集合， 则 2021/8/147 2021/8/148 一簇集合 ，可类似定义其并集，即 4. 并运算2021/8/149 例1 若 则 例2 若 则 2021/8/1410 例 3( ( ] ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 2021/8/1411 2021/8/1412 定理3 （1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）幂等律2021/8/1413 定理4（1） （2） 若 （3） 若 （4） (5) 2021/8/1414 证明 （2）由并集的定义，若 则存在 而 从而 故 （5）若 由交的定义，再由并的定义可知存在 2021/8/1415 于是 从而 所以 再证 略(6) 2021/8/1416 5．差运算 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B。
即 注 6. 余集若已知 则 称为B 相对于A的余集，记为 2021/8/1417 特别地，若考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集，集合A相对于S的余集称为A的余集，简记为 定理5 （1）（2） (3) (4) （其中S为全集）,简记为Ac2021/8/1418 定理6 De Morgan 公式证明 （1） 若 设 2021/8/1419 反之，当 2021/8/1420 域或代数对于一个给定的集合S，若F是S的一族子集，它满足下列条件1） 2）3）则称F是S的一些子集构成的一个域或代数.2021/8/1421 注2. 一串指的是可排序.2021/8/1422 定理7若 A 是由S的子集构成的集合,则唯一存在一个由S的子集构成的最小 域 使2021/8/1423 2021/8/1424 集合序列的极限1.序列的增减性2.序列的并和交2021/8/1425 3.上极限和下极限2021/8/1426 例1 证：对一切自然数 ，显然有 ，所以因为对任一有理数 其中 均为整数， 对任何 有 所以 这样2021/8/1427 2021/8/1428 定理82021/8/1429 定理9证明单减如何证？2021/8/1430 2021/8/1431 上、下极限集上极限集上极限集例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2］2021/8/1432 下极限集例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1}上极限集上极限集2021/8/1433 单调增集列极限分析当An为单调增加集列时2021/8/1434 单调减集列极限分析当An为单调减小集列时2021/8/1435 例3a a+1/k f(x) 2021/8/1436 笛卡尔乘积2021/8/1437 集合的特征函数(示性函数)设S是一非空集合，A是S的一个子集。
重要性质2021/8/1438 2021/8/1439 个人观点供参考，欢迎讨论 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！ 。