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1、目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 第四节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移
2、为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(胡克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:目录 上页 下页 返回 结束 n 阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为此类方程 (二阶线性微分方程)可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y目录 上页 下页 返回 结束 证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二
3、阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理定理1.目录 上页 下页 返回 结束 阐明阐明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是那么为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若
4、存在不全为 0 的常数目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思索思索:中有一个恒为 0, 那么必线性相关相关目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 数) 是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解且常数,故方程的通解为推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为那么目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.那么是非
5、齐次方程的通解 .证证: 将将代入方程左端, 得目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因此 也是通解 .目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解目录 上页 下页 返回 结束 常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例2.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 已知微分方程已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三
