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1、学习目标学习目标学习目标学习目标: : : :(1)(1)(1)(1)探求曲边梯形的面积探求曲边梯形的面积探求曲边梯形的面积探求曲边梯形的面积; ; ; ;(2)(2)(2)(2)了解定积分的实际背景了解定积分的实际背景了解定积分的实际背景了解定积分的实际背景; ; ; ;(3)(3)(3)(3)了解了解了解了解“以直代曲以直代曲以直代曲以直代曲”及及及及“逼近逼近逼近逼近”的思想方法的思想方法的思想方法的思想方法. .1.51.5曲边梯形的面积曲边梯形的面积 及汽车行驶的路程及汽车行驶的路程2021/8/141创设问题创设问题求由直线求由直线求由直线求由直线x x 0 0、x x 1 1、y
2、 y 0 0及曲线及曲线及曲线及曲线y y x x2 2所围成的图形所围成的图形所围成的图形所围成的图形( (曲曲曲曲边三角形边三角形边三角形边三角形) )面积面积面积面积S S是多少？是多少？是多少？是多少？x yO1方案方案方案方案1 1方案方案方案方案2 2方案方案方案方案3 3思路思路思路思路: :为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S,S,将它分割成许多小曲边梯形将它分割成许多小曲边梯形将它分割成许多小曲边梯形将它分割成许多小曲边梯形. .2021/8/142 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A A A1
3、1. .用一个矩形的面积用一个矩形的面积用一个矩形的面积用一个矩形的面积 A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A, , 得得得得2021/8/143A A A A1 1+ + A A2 2用两个矩形的面积用两个矩形的面积用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A, 得得得得 y = f(x)bax yOA1A22021/8/144A A A A1 1+ + A A2 2+ + A A3 3+ + A A4 4用四个矩形的面积用四个矩形的面积用
4、四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A, , 得得得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A42021/8/145 y = f(x)bax yOA A A A1 1+ A+ A2 2 + + + A + An n 将曲边梯形分成将曲边梯形分成将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 则有曲边
5、梯形的面积则有曲边梯形的面积则有曲边梯形的面积则有曲边梯形的面积A A近似为近似为近似为近似为: :A1AiAn2021/8/146分割越细分割越细,面积的近似值就越精确面积的近似值就越精确.当分割当分割无限变细时无限变细时,这个近似值就无限逼近所求这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积曲边梯形的面积S.下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程:2021/8/147（1 1）分割）分割把区间把区间把区间把区间00，11等分成等分成等分成等分成n n个小区间：个小区间：个小区间：个小区间：过各区间端点作过各区间端点作过各区间端点作过各区间端点作x x轴的垂
6、线，从而得到轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n n个小曲个小曲个小曲个小曲边梯形，它们的面积分别记作边梯形，它们的面积分别记作边梯形，它们的面积分别记作边梯形，它们的面积分别记作: :2021/8/148（2 2）以直代曲）以直代曲（3 3）作和）作和2021/8/149（4 4）逼近）逼近分割分割分割分割以直代曲以直代曲以直代曲以直代曲作和作和作和作和逼近逼近逼近逼近以上计算曲边梯形面积用流程图表示为：以上计算曲边梯形面积用流程图表示为： 其中最能体现微积分思想的是其中最能体现微积分思想的是“以直代曲以直代曲”. .2021/8/1410 当分点非常多（当分点非常多（当
7、分点非常多（当分点非常多（n n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f f( (x x) )在小区间在小区间在小区间在小区间上几乎没有变化（或变化非常小）上几乎没有变化（或变化非常小）上几乎没有变化（或变化非常小）上几乎没有变化（或变化非常小）, ,从而可以取小区间从而可以取小区间从而可以取小区间从而可以取小区间内任意一点内任意一点内任意一点内任意一点x xi i对应的函数值对应的函数值对应的函数值对应的函数值f f( (x xi i) )作为小矩形一边的长，作为小矩形一边的长，作为小矩形一边的长，作为小矩形一边的长，于是于是于是于是f f( (x
8、xi i) ) x x来近似表示小曲边梯形的面积：来近似表示小曲边梯形的面积：来近似表示小曲边梯形的面积：来近似表示小曲边梯形的面积：表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值.2021/8/1411 y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2) f(xi)xi 在在在在 a a, , b b 中任意插中任意插中任意插中任意插入入入入 n n 1 1个分点个分点个分点个分点 得得得得n n个小区间：个小区间：个小区间：个小区间： x xi i 1 1 , , x xi i ( (i i=1, 2 , , =1, 2 , ,
9、 n n) ) 把曲边梯形分成把曲边梯形分成把曲边梯形分成把曲边梯形分成 n n 个细窄曲边梯形个细窄曲边梯形个细窄曲边梯形个细窄曲边梯形 任取任取任取任取x x x xi i x xi i 1 1, ,x xi i , ,以以以以f f( (x x x xi i) )D D D Dx xi i近似代替第近似代替第近似代替第近似代替第i i个窄曲边梯形的面积个窄曲边梯形的面积个窄曲边梯形的面积个窄曲边梯形的面积 区间区间区间区间 x xi i 1 1 , , x xi i 的长的长的长的长度度度度D D D Dx xi i x xi i x xi i 1 1 曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面
10、积近似为：曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面积近似为：A A 2021/8/1412例1求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积分析只要按照分割、近似代替、求和、取极限四步完成即可2021/8/14132021/8/1414过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：2021/8/14152021/8/1416(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即2021/8/14172021/8/1418点
11、评(1)分割的目的在于更精确地“以直代曲”上例中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确当n愈大时，所有小矩形的面积就愈逼近曲边梯形的面积(3)求曲边梯形的面积，通常采用分割、近似代替、求和、取极限的方法2021/8/1419例2已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t0到tt0这段时间内所经过的路程s.2021/8/1420(2)近似代替在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离：2021/8/1421(3)求和因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间0，t0范围内物体运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替，2021/8/1422(4)取极限求和式的极限：2021/8/1423点评求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限2021/8/1424三、解答题4汽车行驶的速度为vt2，求汽车在0t1这段时间内行驶的路程s.解析(1)分割2021/8/14252021/8/14262021/8/1427部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
