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1、第第 二二 章章行行 列列 式式v行列式的概念行列式的概念v n 阶行列式的定行列式的定义v行列式的性行列式的性质v行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理v行列式的行列式的计算算v再再论可逆矩可逆矩阵设二元二元线性方程性方程组 a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)1 1 行列式的概念行列式的概念假假设令令 ， ， ，那么方程组可表示为定定义3.1 二二阶行列式行列式注：二注：二阶行列式是一个数。行列式是一个数。用消元法解方程组，当用消元法解方程组，当 时，时，为了了简约明了的表示以上明了的表示以上结果，我果，我们引引进一个一个符号符号回想中学回想中学方程组有
2、 独一解： 引入行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。 当 时，有同同样，可以用消元法求解三元一次，可以用消元法求解三元一次线性方程性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3定定义3.2对角线法那么三三阶行列式行列式当系数行列式当系数行列式相相应的三元的三元线性方程性方程组方程方程组有独一解有独一解其中其中阐明：明：对角角线法那么只适用于二法那么只适用于二阶与三与三阶行列式行列式(1)项数：数：2阶行列式含行列式含2项， 3阶行列式含行列式含6项,这恰好就是恰好就是2!,3!.(2
3、)每每项构成构成: 2阶和和3阶行列式的每行列式的每项分分别是位于是位于不同行不同列的不同行不同列的2个和个和3个元素的乘个元素的乘积.(3)各各项符号符号: 2阶行列式含行列式含2项,其中其中1正正1负, 3阶行列式行列式6项,3正正3负.例例1 计算行列式算行列式例例2 解方程解方程= 0注：方程左端必需展成代数方式，利用代数方程的方式来解=0+24+(-24)-0-(-60)-(-12)=72例例2 解方程组解方程组留意：系数行列式留意：系数行列式为以及以及问：表示方程：表示方程组解的解的这一一结果能否可以推行到果能否可以推行到n元元 线性方程性方程组呢？从而呢？从而给出出n阶行列式的定
4、行列式的定义定定义1 1由由n n 个不同的数字构成的一个有序数个不同的数字构成的一个有序数组称称为这n n 个数字的一个个数字的一个n n 级陈列列. .例如：例如：1 2 3 4 55 1 2 3 45 3 2 1 4都是数都是数1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的一个的一个陈列列. . 注：注：n个数的不同个数的不同陈列有列有 个个.n !自然自然陈列列.按照由小到大的按照由小到大的顺序排成的序排成的陈列称列称为定定义2 22 n阶行列式的定行列式的定义一、一、陈列的列的 逆序数逆序数在一个在一个陈列中，假列中，假设某个某个较大的数排在大的数排在某个某个较小的数前面，就称小的数前面，
5、就称这个个陈列含有列含有一个逆序一个逆序. .一个一个陈列中出列中出现的逆序的的逆序的总数数定定义3 3称称为这个个陈列的逆序数，列的逆序数，陈列列 的逆序数通常的逆序数通常记为 例如：例如：陈列列1212的逆序数的逆序数为 ， 陈列列2121的逆序数的逆序数为 ， 陈列列231231的的逆序数的的逆序数为 ， 陈列列213213的逆序数是的逆序数是 。0121 定定义4 4 逆序数逆序数为偶数的偶数的陈列称列称为偶偶陈列，逆序列，逆序数数为奇数的奇数的陈列称列称为奇奇陈列。列。 n 级陈列列的逆序数的的逆序数的计算算或者或者求求陈列列 32514 32514 的逆序数的逆序数. .例例1例例
6、2 求求陈列列 453162 453162 的逆序数的逆序数. .例例3 求求陈列列 423165 423165 的逆序数的逆序数. .定定义5 5把一个把一个陈列中的两个数交列中的两个数交换位置，其他位置，其他的数不的数不动，叫做，叫做对该陈列作一次列作一次对换. .将相将相邻的两个数的两个数对换，称，称为相相邻对换. . 定理定理3.1 3.1 一个一个陈列中的恣意两个元素列中的恣意两个元素对换，陈列改列改动奇偶性奇偶性证明：明：设陈列列为对换对换 ，除除 外，其它元素的逆序数不改动外，其它元素的逆序数不改动. .的逆序数不变的逆序数不变; ;经对换后经对换后 的逆序数添加的逆序数添加1
7、,1 ,当当 时，时，当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数不变，的逆序数不变， 的逆序数减少的逆序数减少1.1.因此，一次相因此，一次相邻对换，陈列改列改动奇偶性奇偶性. .设陈列列为现来对换现来对换 与与次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个所以一个陈列中的恣意两个元素列中的恣意两个元素对换，陈列改列改动奇偶性奇偶性.定理定理3.23.2 时，n n 个数的一切个数的一切陈列中，奇偶列中，奇偶陈列各占一半，各列各占一半，各为 个个. .推推论1 1偶数次偶数次对换不改不改动陈列的奇偶性；奇数次列的奇偶性；奇数次对换改改动陈列的奇偶性。列的奇偶性。推推论2 2
8、恣意一个恣意一个n n 级陈列都可以列都可以经过一系列一系列对换变成自然成自然陈列，并且所作列，并且所作对换的次数与的次数与该陈列有一列有一样的奇偶性的奇偶性. .三三阶行列式行列式阐明：明：1三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项2 2每每项都是位于不同行不同列的三个元素的都是位于不同行不同列的三个元素的乘乘积二、二、n n阶阶行列式的定行列式的定义义3 3 每每项的正的正负号都取决于位于不同行不同列号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列目的的三个元素的列目的陈列当行目的列当行目的陈列列为自然自然陈列列时例如例如列列标陈列的逆序数列的逆序数为列列标陈列的逆序数列的逆序数为偶偶陈列
9、列奇奇陈列列定定义 6 当当时，也可，也可记为阐明阐明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数一程个数和未知量个数一样的一次方程的一次方程组的需求而的需求而引入的引入的;3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;5、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;4、 的符号为的符号为2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和,其中正负项各其中正负项各占一半，行列式是一个数占一半，行列式是一个数;6、上式称、上式称为n阶行列式的完全展开式行列式
10、的完全展开式.行列式的等价定行列式的等价定义结论：1、共有、共有n！项。2、每项有n个元素。3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中。4、每项符号与逆序数的 奇偶有关例例1 1 在在6 6阶行列式中，以下项应带什么符号阶行列式中，以下项应带什么符号. .解解431265的逆序数的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.342165的逆序数的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.例例2解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于于例例 3 计算计算4阶行列式阶行列式解：解： 根据定义，根据定义，D是是4！24项的代数和，但每一项的代数和，但每一项的乘积项的乘积 中只需有一个元素为中只需有
11、一个元素为0，乘积，乘积就等于就等于0，所以只需展开式中不明显为，所以只需展开式中不明显为0 的项。的项。行列式展开式中不行列式展开式中不为0的的项只能只能够是是a11a22a33a44，而列，而列标陈列列1234的逆序数的逆序数为0，即此，即此项符号符号为正，正，因此行列式因此行列式Da11a22a33a44。 l 主主对角角线以上的元素全以上的元素全为零即零即ij时元素元素aij0的行列式称的行列式称为上三角行列式，它等于主上三角行列式，它等于主对角角线上各元上各元素的乘素的乘积。 l 行列式中，除行列式中，除对角角线上的元素以外，其他元素全上的元素以外，其他元素全为零即零即ij时元素元素
12、aij0的行列式称的行列式称为对角行列式，角行列式，它等于主它等于主对角角线上元素的乘上元素的乘积。例例4 证明明 上面的行列式中，未写出的元素都是上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证证: 行列式的值为行列式的值为假假设乘乘积非零，非零，j1j2jn只能是只能是陈列列n(n1)2 1， 它的逆序数它的逆序数为 所以行列式的所以行列式的值为 例如例如而而例例 5 5 证明证明 利用行列式的定利用行列式的定义去去计算行列式，算行列式，显然是然是很很费事的事的对于于阶数数较高的行列式高的行列式这样去去计算算几乎是不能几乎是不能够的，所以我的，所以我们有必要去研有必要去研讨行列行列式的性式的性质和
13、找到可以比和找到可以比较快地快地进展展计算的方法算的方法3 行列式的性行列式的性质 性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等 。行列式行列式DT 称称为行列式行列式D的的转置行列式。置行列式。即：即：证： 记 即即bijaji (i，j1，2，n) *或者或者设那么那么性性质2 互互换行列式的两行列，行列式反号。行列式的两行列，行列式反号。 证 交交换第第p、q两两列，得行列式列，得行列式 阐明明 行列式中行与列具有同等的位置行列式中行与列具有同等的位置,因此行因此行列式的性列式的性质凡是凡是对行成立的行成立的对列也同列也同样成立成立.对于对于D中任一项中任一项 在在D1中
14、必有对应一项中必有对应一项 与与 只经过一次对换只经过一次对换所以所以对于于D中任一中任一项，D1中必定有一中必定有一项与它的符号与它的符号相反而相反而绝对值相等，又相等，又D与与D1的的项数一数一样。 推推论 假假设行列式有两行列元素行列式有两行列元素对应相等，相等，那么行列式那么行列式为零。零。 性性质3 行列式的某一行列中一切元素都乘以行列式的某一行列中一切元素都乘以同一个数同一个数k，等于用数，等于用数k乘以此行列式。乘以此行列式。 性性质4 行列式中假行列式中假设有两行列元素有两行列元素对应成比例，成比例，那么此行列式那么此行列式为零。零。 推推论 行列式的某一行列中一切元素的公因行
15、列式的某一行列中一切元素的公因子可以提到行列式的外面。子可以提到行列式的外面。*设A为n阶方方阵，那么那么性性质5 假假设行列式的某行列的元素都是两个数行列式的某行列的元素都是两个数之和，例如之和，例如 那么行列式那么行列式D等于以下两个行列式之和：等于以下两个行列式之和： 性性质6 把行列式某一行列的元素乘以数把行列式某一行列的元素乘以数k，加到，加到另一行列另一行列对应的元素上去，行列式的的元素上去，行列式的值不不变。 以数以数k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行行对应元素上，有元素上，有例例1 求求 =(。=0)解：原式解：原式例例2 计算四阶行列式计算四阶行列式 解察看
16、此行列式知，它具有以下特点：各行的元素之和都相等因此，把第，4行都加到第行上，提取公因子，然后各行减去第1行，得例例3 求求 例例 4 计算行列式算行列式 例例5 证明明 例例6 证明：明： 4 行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理 定定义 n阶行列式中，划去元素行列式中，划去元素aij所在的行和列，所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的余下的元素按其原有的位置构成的n1阶行列式叫行列式叫做元素做元素aij的余子式，的余子式，记为Mij 。Aij叫做元素叫做元素aij的代数余子式。的代数余子式。 显然，然，Aij与行列式中第与行列式中第i行、第行、第j列的元素无关。列的元素无关。 先
17、察看上先察看上节例例1 P41引引理理 n阶行行列列式式D，假假设其其中中第第i行行元元素素除除aij外外全全部部为零零，那那么么行行列列式式等等于于aij与与它它的的代代数数余余子子式式的的乘乘积，即即DaijAij证 先先证i1，j1的情形的情形 设设 D 的第的第 i 行除了行除了外都是外都是 0 .把把 D 的第的第行依次与第行依次与第行，第行，第行，行，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第列依次与第列依次与第列列第第列，列，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤次交换行与交换列的步骤. 对普通情形，只需适当交普通情形，只需适当交换D
18、的行与列的位置，的行与列的位置，即可得到即可得到结论。 得得定理定理3 行列式等于它的任一行列的各元素与其行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即 证证例例1同同样的道理和方法，的道理和方法，计算算思索思索题例例2 计算算解：解：推推论 行列式一行行列式一行( (列列) )的元素与另一行的元素与另一行( (列列) )的的对应元素的代数余子式乘元素的代数余子式乘积之和等于零之和等于零, ,即即 证当当ij,将式中将式中ajk换成成aik(k=1,2,n),可得可得同理可同理可证代数余子式的重要性代数余子式的重要性质:例例4 知知求求1(2)定义定
19、义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性运算性质证明明设设定理定理4 4证明证明推论推论1 设设推论推论2 设设同时同时定理定理5 设设A , B是是 n 阶方阵，那么阶方阵，那么证明明:另：另：对上述行列式作行上述行列式作行变换，将第，将第n+1行的行的a11倍，倍，第第n+2行的行的a12倍，倍，第第2n行的行的a1n倍加到第一行，倍加到第一行，再依次将第再依次将第n+1行的行的ak1倍倍(k=2,3, ,n)，第，第n+2行行的的ak2倍，倍，第第2n行的行的akn倍加到第倍加到第k行，得行，得得：得：
20、由定理由定理4 的推的推论得得证明明终了。了。*设设A , B是是 n 阶方阵阶方阵, 那么那么证明明过程：程： 有了上述定理的有了上述定理的结论之后，再之后，再换个角度看定理的个角度看定理的结论。设A、B均为n阶方阵，为一实数，证明证明： 当=0时显然等式成立。 当0时，根据分块矩阵的广义初等变换与初等方阵的关系可知， 例例 5另外，有故 例例1 1 计算计算5 5 行列式的行列式的计算算一、一、对角角线法那么法那么 此此时，要，要结合行列式的各种性合行列式的各种性质，加以，加以简化化计算。另外，算。另外，这个方法只适宜二个方法只适宜二阶及三及三阶行列式。行列式。二、化二、化为三角形行列式三
21、角形行列式例例2 2 计算计算例例 3求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和解解 第一行各元素的代数余子式之和可以第一行各元素的代数余子式之和可以表示成表示成例例4 4证明范德蒙德明范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式三、数学三、数学归纳法法 证明明用数学用数学归纳法法(1)(1)当当n=2n=2时, ,结论成立成立. .只适宜只适宜证明明题(2) (2) 设对n n1 1阶范德蒙德行列式范德蒙德行列式结论成立，来成立，来证对n n阶范德蒙德行列式范德蒙德行列式结论也成立也成立. . n-1 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式证毕.
22、有的行列式可以利用范德蒙行列式的有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进展展计算算例例5 5 计算算例例6计算算例例7证明明证明证明对阶数数n用数学用数学归纳法。法。四、降四、降阶递推法推法例例8 8 计算计算方法方法:降降阶找找递推公式推公式.解解 按第按第1 1行展开行展开, ,有有递推公式推公式五、加五、加边升升阶 法法例例9 9 计算算可以用化上三角的可以用化上三角的 方法方法例例 10 计算行列式计算行列式 (加边法加边法)解解 当当x x0 0 或或y y0 0时，显然然D D0 0，现假假设x0x0，且且y0y0，由定理知，由定理知 把第二、三、四、五列的常数倍加到第一列上去，例例
23、11 11 计算算阐明：计算行列式的方法是多种多样的，这里仅列出了比较常见的几种方法。在计算行列式的时候，需求将行列式的有关性质、结论以及多种方法结合起来运用，才干更容易的求出行列式的值。利用分利用分块矩矩阵的广的广义初等初等变换，可以，可以证明以下明以下结果：果：设设那么：那么：u u 例例1212证明 ： 例例1313证明例例1313证明定定义行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.6 再再论可逆矩可逆矩阵假设一个阶方方阵可以找到一个可以找到一个阶方方阵使得使得那么称那么称是可逆的是可逆的可逆和可逆
24、和对应的行列式的行列式有什么关系呢？有什么关系呢？ 矩阵矩阵 的伴随矩阵具有如下性质：的伴随矩阵具有如下性质： 证明：明：定定义 设A A为n n阶方方阵, ,假假设A A=0,=0,那么称那么称 A A为奇奇特矩特矩阵; ;否那么否那么, A, A为非奇特矩非奇特矩阵。定理定理6 6 设A A是是n n阶方方阵, A, A可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件为A A是是非奇特矩非奇特矩阵. . 证 先先证充分性。充分性。设A A为非奇特矩非奇特矩阵, , 设A A的伴随矩的伴随矩阵为A*,A*,那么那么有有 再再证必要性。必要性。由于由于A A是可逆的是可逆的, ,即有即有A -1,A -1,使使A -1 A = E A -1 A = E 推推论 设A A，B B是是n n阶方方阵, , 假假设AB=EAB=E，那么，那么 A A可逆，可逆，且且 B=A-1 B=A-1。第一章的。第一章的结论可逆可逆例例5 5 求方阵求方阵 的逆矩阵。的逆矩阵。解解 由由于于 ，所以，所以A-1A-1存在存在, ,先求先求A A的伴随矩阵的伴随矩阵A* A* A11=3, A12=-3, A13=1,A21=-6, A22=10, A23=-4, A31=2, A32=-4, A33=2
