四章向量组的线相关

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1、第四章向量组的线性相关性1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义：n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量p分量全为实数的向量称为实向量p分量全为复数的向量称为复向量备注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示定义：定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为若干个同维数的列向

2、量（行向量）所组成的集合称为向量组向量组当当R(A) n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向的全体解组成的向量组含有无穷多个向量量组含有无穷多个向量结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组有限向量组定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合k1, k2, , km 称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数定

3、义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一，如果存在一组组实数实数 l l1, l l2, , l lm ，使得，使得b = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam则向量则向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称的线性组合，这时称向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 的线性表示的线性表示例：例：设设那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1, e2, e3的的线性组合线性组合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b ，必有，必有n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单

4、位坐标向量回顾：线性方程组的表达式1.一般形式3. 向量方程的形式2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式方程组有解？方程组有解？向量向量 是否能用是否能用 线性表示？线性表示？结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：定义：定义：设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若若向量组向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称线性

5、表示，则称向向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个能互相线性表示，则称这两个向量向量组等价组等价 设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量若向量组组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵若若 Cmn = Aml Bln ，即，即则则结论：结论：矩阵矩阵 C 的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵 A 的列向量组的列向量组线性表示，线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵若若

6、Cmn = Aml Bln ，即，即则则结论：结论：矩阵矩阵 C 的行向量组的行向量组能由矩阵能由矩阵 B 的行向量组的行向量组线性表示，线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵口诀：左行右列定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C = AB ，那么p矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）p矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数

7、矩阵（B 在右边）A 经过有限次初等经过有限次初等列列变换变成变换变成 B存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存在存在 m 阶阶可逆矩阵可逆矩阵 P，使得，使得 AP = B矩阵矩阵 B 的列向量组的列向量组与矩阵与矩阵 A 的列向量组的列向量组等价等价矩阵矩阵 B 的行向量组的行向量组与矩阵与矩阵 A 的行向量组的行向量组等价等价 同理可得同理可得 口诀：左行右列口诀：左行右列. .把把 P 看成看成是是线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵向量组向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组能由向量组 A：a1, a2, ,

8、 am 线性线性表示表示存在矩阵存在矩阵 K，使得，使得 AK = B 矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理定理2）R(B) R(A) （P.85 定理定理3）推论：推论：向量组向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl 等价的等价的充分充分必要条件是必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)证明：证明：向量组向量组 A 和和 B 等价等价 向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示 向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示从而有从而有R(A) = R(B) =

9、R(A, B) 因为因为 R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B)例：例：设设证明向量证明向量 b 能由向量组能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式线性表示，并求出表示式解：解：向量向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 因为因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示线性表示行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为通解为通解为所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c

10、a3 n 阶单位矩阵的列向量叫做阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量设有设有nm 矩阵矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：，试证：n 维单位坐标向维单位坐标向量组能由矩阵量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A) = n 分析：分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n （注意到：（注意到：R(A, E) = n 一定成立）一定成立）小结向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性

11、方程组 Ax = b 有解有解向量组向量组 B 能能由向量组由向量组 A线性表示线性表示矩阵方程组矩阵方程组AX = B 有解有解向量组向量组 A 与与向量组向量组 B等价等价知识结构图知识结构图n维向量维向量向量组向量组向量组与矩阵的对应向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的等价向量组的等价判定定理及必要条件判定定理及必要条件判定定理判定定理2 向量组的线性相关性回顾：向量组的线性组合定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组 A

12、 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组实数 l1, l2, , lm ，使得b = l1a1 + l2a2 + + lmam则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示引言问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：问题问题1：给定向量组给定向量组 A，零向量是否可以由零向量

13、是否可以由向量组向量组 A 线性表示？线性表示？问题问题1：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？是否存在解？回答：回答：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解一定存在解事实上，可令事实上，可令k1 = k2 = = km =0 ，则，则k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）问题问题2：如果如果零向量可以由零向量可以由向量组向量组 A 线性表示，线性组合的系数线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？是否不全为零？问题问题2：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在是否存在非零解非零解？回答：回答：齐次线性方程组不一定有非零

14、解，从而线性组合的系数齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零不一定全等于零例：例：设设若若则则 k1 = k2 = k3 =0 向量组的线性相关性定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ，如果存在不全为零的实数 k1, k2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的向量组向量组A：a1, a2, , am线性相关线性相关m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0有非零解有非零解R(A) m备注：备注：p给定向量组给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其，不是

15、线性相关，就是线性无关，两者必居其一一p向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 m 2 的情形的情形. .p若向量组只包含一个向量：当若向量组只包含一个向量：当 a 是是零向量零向量时，线性相关；时，线性相关；当当 a 不是不是零向量零向量时，线性无关时，线性无关p向量组向量组 A：a1, a2, , am (m 2) 线性相关，也就是向量组线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示个向量线性表示特别地，特别地，a1, a2 线性相关当且仅当线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其

16、几的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线何意义是两向量共线a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面线性相关的几何意义是三个向量共面向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中

17、至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性

18、个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有（零向量），则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只只有零解有零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示例：例：试讨论试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性维单

19、位坐标向量组的线性相关性例：例：已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组及向量组a1, a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关；线性相关；同时，同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2 线性无关线性无关例：例：已知已知向量组向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解题思路：解题思路：转化为齐次线性方程

20、组的问题；转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题例：例：已知已知向量组向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解法解法1：转化为齐次线性方程组的问题转化为齐次线性方程组的问题已知已知 ，记作，记作 B = AK 设设 Bx = 0 ，则，则(AK)x = A(Kx) = 0 因为因为向量组向量组 a1, a2, a3 线性无关，所以线性无关，所以Kx = 0 又又 |K| = 2 0，那么，那么Kx = 0 只有零解只

21、有零解 x = 0 ，从而向量组从而向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关例：例：已知已知向量组向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解法解法2：转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题已知已知 ，记作，记作 B = AK 因为因为|K| = 2 0，所以，所以K 可逆，可逆，R(A) = R(B)，又向量组又向量组 a1, a2, a3 线性无关，线性无关， R(A) = 3，从而从而R(B) = 3，向量组向量组 b1, b2, b3

22、 线性无关线性无关定理（定理（P.89定理定理5） l若向量组若向量组 A ：a1, a2, , am 线性相关，线性相关， 则向量组则向量组 B ：a1, a2, , am, am+1 也线性相关也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组 A 也线性无关也线性无关lm 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时，一定线性相关时，一定线性相关特别地，特别地， n + 1个个 n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关l设向量组设向量组 A ：a1, a2, , am 线性无

23、关，线性无关， 而向量组而向量组 B ：a1, a2, , am, b 线性相关，则向量线性相关，则向量 b 必能由向量组必能由向量组 A 线线性表示，且表示式是唯一的性表示，且表示式是唯一的3 向量组的秩矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 可由矩阵可由矩阵 A的列向量组线性表示的列向量组线性表示课本课本P. 88定理定理4：向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am

24、 ) 的秩的秩小于小于向量的个数向量的个数 m ；向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 A = (a1, a2, , am ) 的秩的秩等于等于向量的个数向量的个数 m n元线性方程组 Ax = b其中 A 是 nm 矩阵矩阵 (A, b)向量组 A: a1, a2, ,an 及向量 b是否存在解？R(A) = R(A, b) 成立？向量 b 能否由向量组 A线性表示？无解R(A) R(A, b) NO有解R(A) = R(A, b) YESx 的分量是线性组合的系数唯一解R(A) = R(A, b) = 未知数个数表达式唯一无穷解R(A

25、) = R(A, b) 未知数个数表达式不唯一回顾：矩阵的秩定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式规定：零矩阵的秩等于零定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)结论：结论： 矩阵的

26、秩矩阵的秩= 矩阵中最高阶非零子式的阶数矩阵中最高阶非零子式的阶数= 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA 例：例：求求矩阵矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一的一个个最高阶非零子式最高阶非零

27、子式第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩结论：

28、矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的是唯一的事实上，事实上，n根据根据 R(A0) = 3 可知：可知： A0的的 3 个列向量就是个列向量就是矩阵矩阵 A 的列向量组的一的列向量组的一个线性无关的部分组个线性无关的部分组n在矩阵在矩阵 A 任取任取 4 个列向量个列向量，根据，根据 R(A) = 3 可知：可知：A中所有中所有4 阶子式阶子式都等于零，从而这都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这，即这 4 个个列向量列向量线性相关线性相关nA0的的 3 个列向量就是个列向量就是矩阵矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组的列

29、向量组的一个最大线性无关组n矩阵矩阵 A 的列向量组的秩等于的列向量组的秩等于 3n同理可证，矩阵同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于 3矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示一般地，一般地，n矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理定理6

30、）一般地，一般地，n矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理定理6）n今后，向量组今后，向量组 a1, a2, , am 的秩也记作的秩也记作 R(a1, a2, , am ) n若若Dr 是矩阵是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的列向量组的一个最大无关组，的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行的行向量组的一个最大无关组向量组的一个最大无关组n向量组的最大无关组一般是不唯一的向量组的最大无关组一般是不唯一的例：例

31、：已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组及向量组a1, a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2 线性无关，线性无关，同时，同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，线性相关，从而从而 a1, a2 是向量组是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组的一个最大无关组事实上，事实上， a1, a3 和和 a2, a3 也是最大无关组也是最大无关组最大无关组的等价定义结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的定义：设有向量组 A

32、，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的话）都线性相关；向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A

33、线性表示线性表示向量组与自己的向量组与自己的最大无关组等价最大无关组等价最大无关组的意义结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的l用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表l凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去例：例： 全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 Rn，求，求 Rn 的一个最大的一个最大无关组及无关组及 Rn 的秩的秩解：解： n 阶单位矩阵阶单位矩阵 的的列向列向量组是量组是 Rn 的一个最大无关组，的一个最大无关组，Rn 的秩等

34、于的秩等于n 思考：思考：上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组是的列向量组是 Rn 的的一个最大无关组吗？一个最大无关组吗？例：例：设齐次线性方程组设齐次线性方程组 的通解是的通解是试求全体解向量构成的向量组试求全体解向量构成的向量组 S 的秩的秩例：例：求求矩阵矩阵 的秩，并求的秩，并求 A 的一的一个个最高阶非零子式最高阶非零子式例：例：设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组的列向量用最大无关组线性表示第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非

35、零行选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式A0的的 3 个列向量就是个列向量就是矩阵矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组思考：思考：如何把如何把 a3,

36、 a5 表示成表示成a1, a2, a4 的线性组合？的线性组合？思路思路1：利用利用P.83 定理定理1 的结论的结论思路思路2：利用矩阵利用矩阵 A 的的行最简形矩阵行最简形矩阵向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解 令令 A0 = (a1, a2, a4)求解求解 A0x = a3 A0x = a5解（续）：解（续）：为把为把 a3, a5 表示成表示成a1, a2, a4 的线性组合，把矩阵的线性组合，把矩阵 A 再变成再变成行最简形矩阵行最简形矩阵于是于是 Ax = 0 与与 Bx = 0 ，即，即x1a1 + x2a2 +

37、 x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解同解即矩阵即矩阵 A 的的列向量组列向量组与矩阵与矩阵 B 的的列向量组列向量组有相同的线性关系有相同的线性关系. .可以看出：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以所以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a44 线性方程组解的结构回顾：线性方程组的解的判定1.包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n 2.包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有

38、解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且p当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；p当R(A) = R(A, b) n时，方程组有无限多个解引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系备注：l当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构l下面的讨论都是假设线性方程组有解解向量的定义定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果x1 = x11， x2 = x21，.， xn = xn1为该方程组的解，则称为方程组的解向量齐次线性方程组的解的性质性质1：若 x = x1， x =

39、x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 结论：若 x = x1, x = x2, ., x = xt 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + + ktxt 还是 Ax = 0 的解.结论：结论：若若 x = x x1, , x = x x2

40、, ., , x = x xt 是齐次线性方是齐次线性方程组程组 Ax = 0 的解，的解， 则则 x = k1x x1 + k2x x2 + + ktx xt 还还是是 Ax = 0 的解的解. .p已知齐次方程组已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解向量的线性组合给出更多的解p能否通过能否通过有限个解向量的线性组合有限个解向量的线性组合把把 Ax = 0 的解全部表的解全部表示出来？示出来？p把把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作的全体解组成的集合记作 S，若求得，若求得 S 的一个的一个最大无关组最大无关组S0

41、：x = x x1, , x = x x2, ., , x = x xt ，那，那么么Ax = 0 的通解可表示为的通解可表示为 x = k1x x1 + k2x x2 + + ktx xt p齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的程组的基础解系基础解系（不唯一）（不唯一）基础解系的概念定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1, x2, ., xr如果满足 x1，x2，.，xr 线性无关；方程组中任意一个解都可以表示x1, x2, ., xr 的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系后后 n - r 列

42、列 前前 r 列列 设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 A 行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令 xr+1, , xn 作自由变量，则令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则齐次线性方齐次线性方程组的通解程组的通解记作记作 x = c1x x1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r （满足基础解系（满足基础解系） n r 列列前前 r 行行后后 n r 行行故故 R(x x1, x x2 , , x xn-r ) = n r ，即即 x x1, x x2 , , x xn-r 线性无关线性无关 （满足基础解系（满足基础解系）于是于是

43、x x1, x x2 , , x xn-r 就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系的基础解系令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则线性方程组线性方程组的通解的通解记作记作 x = c1x x1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r （满足基础解系（满足基础解系） 此即为此即为 Ax = 0 的基础解系的基础解系通解为通解为 x x = c1x x1 + c2x x2 + + cn-rx xn-r ，则，则令令定理：定理：设设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R(A) = r，则，则 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax

44、= 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 基础解系的求解例：求齐次线性方程组 的基础解系方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系即即令令x3 = c1， x4 = c2， 得通解表达式得通解表达式因为因为方程组的方程组的任意一个解都可以表示为任意一个解都可以表示为x x1, , x x2 的线性组合的线性组合x x1, , x x2 的四个分量不成比例，所以的四个分量不成比例，所以 x x1, , x x2 线性无关线性无关所以所以x x1, , x x2 是原方程组的基础解系是原方程组的基础解系方法方法2：先求出基础解系，再写出通解先求出基础解系，再写出通解即即令令合起来便得到基

45、础解系合起来便得到基础解系，得，得还能找出其还能找出其它基础解系它基础解系吗？吗？问题：问题：是否可以把是否可以把 x1 选作自由变量？选作自由变量？答：答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解当两个矩阵不影响方程组的求解当两个矩阵行等价行等价时，以这两个矩阵时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解为系数矩阵的齐次线性方程组同解令令 x1 = c1， x2 = c2， 得通解表达式得通解表达式即即从而可得另一个基础解系：从而可得另一个基础解系：h h1和和 h h2 定理：定理：设设 mn 矩阵的秩矩阵的秩 R

46、(A) = r，则，则 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0 的解集的解集 S 的秩的秩 RS = n r 例：例：设设AmnBnl = O （零矩阵），证明（零矩阵），证明R(A) + R(B) n 例：例：证明证明 R(ATA) = R(A) 例：例：设设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 与与Bx = 0 同解，证明同解，证明R(A) = R(B) 非齐次线性方程组的解的性质性质3：若 x = h1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，则 x = h1 h2 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）的解证明： A(h1 h2 )

47、= Ah1 Ah2 = b b = 0 性质4：若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解证明： A(x + h ) = Ax + Ah = 0 + b = b 根据性质根据性质3 和性质和性质4 可知可知n若若 x = h h* 是是 Ax = b 的解，的解， x = x x 是是 Ax = 0 的解，那么的解，那么 x = x x + h h* 也也是是 Ax = b 的解的解n设设 Ax = 0 的通解为的通解为 x x = c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r

48、 于是于是 Ax = b 的通解为的通解为h h = c1x x1 1+c2x x2 2+cn-rx xn-r +h h*例：例：求线性方程组求线性方程组 的通解的通解 解：解：容易看出容易看出 是方程组的一个特解是方程组的一个特解 其对应的齐次线性方程组为其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为根据前面的结论，导出组的基础解系为于是，原方程组的通解为于是，原方程组的通解为小结：关于线性方程组w求解线性方程组（第三章，利用矩阵的初等行变换）w线性方程组的几何意义（第四章，四种等价形式）1.齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造基础解系是解集 S 的最大无关组解集 S 是基

49、础解系的所有可能的线性组合2.非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.5 向量空间封闭的概念定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？w整数集 Zw有理数集 Qw实数集 R向量空间的概念定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 集合 V 非空， 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若 a V， b V，则a + b V （对加法封闭）若 a V， l R，则 l a V （对乘数封闭）那么就称集合 V 为向量空间例：例：下列哪些向量组构成向量空间？下列哪些向量组构成向量空间？1. n 维向量的全

50、体维向量的全体Rn2.集合集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 3.集合集合 V2 = (1, x2, , xn)T | x2, , xnR 4.齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集 S1 = x | Ax = 0 5.非齐次线性方程组的解集非齐次线性方程组的解集 S2 = x | Ax = b 解：解：集合集合 Rn，V1，S1 是向量空间，是向量空间， 集合集合 V2，S2 不是向量空间不是向量空间定义：定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间解空间. .例：例：设设 a, b 为两个已知的为两个已知的

51、 n 维向量，集合维向量，集合L = l l a + m m b | l l, m m R 是一个向量空间吗？是一个向量空间吗？解：解：设设 x1, x2 L， kR，因为，因为lx1 + x2 = (l l1a + m m1b) + (l l2a + m m2b) = (l l1 + l l2) ) a + (m m1 + m m2) ) b Llk x1 = k (l l1a + m m1b) = (kl l1) ) a + (km m1) ) b L 所以，所以，L 是一个向量空间是一个向量空间定义：定义：把集合把集合L = l l a + m m b | l l, m m R 称为称为

52、由向量由向量 a, b 所生成的向量空间所生成的向量空间一般地，把集合一般地，把集合 L = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam | l l1, l l2, ., l lm R 称为称为由向量由向量a1 , a2 , ., am 所生成的向量空间所生成的向量空间例：例：设向量组设向量组a1 , a2 , ., am 和和 b1 , b2 , ., bs 等价，记等价，记L1 = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam | l l1, l l2, ., l lmR ，L2 = m m1b1 + m m2b2 + + m ms bs | m m1, m m2, .,

53、 m msR ，试证试证 L1 = L2 结论：结论：等价的向量组所生成的空间相等等价的向量组所生成的空间相等向量空间的基的概念定义：设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量a1, a2, , ar，满足 a1, a2, , ar 线性无关； V 中任意一个向量都能由 a1, a2, , ar 线性表示；那么称向量组 a1, a2, , ar 是向量空间 V 的一个基r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间 向量空间向量空间向量空间的基向量空间的基向量空间的维数向量空间的维数向量组向量组向量组的最大无关组向量组的最大无关组向量组的秩向量组的秩1. n 维向量的全体

54、维向量的全体 Rn解：解：En 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一个基，故的一个基，故Rn 的维数等于的维数等于 n . .2.集合集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：解：En 的后的后 n1个个列向量是列向量是V1 的一个基，故的一个基，故 V1 的维数等于的维数等于 n1 3. n 元元齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集 S1 = x | Ax = 0 解：解：齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系是是 S1 的一个基，故的一个基，故 S1 的维的维数等于数等于 nR(A) 4.由由a1 , a2 , ., am 所生成的向量空间所生

55、成的向量空间L = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam | l l1, l l2, ., l lmR 若若 a1 , a2 , ., am 线性无关，则线性无关，则 a1 , a2 , ., am 是向量空间是向量空间 L 的一个基的一个基若若 a1 , a2 , ., am 线性相关，则线性相关，则 向量组向量组 A：a1 , a2 , ., am 等价于等价于向量组向量组 A 的最大无关组的最大无关组 A0 ：a1 , a2 , ., ar 从而从而 L =L1= l l1a1 + l l2a2 + + l lr ar | l l1, l l2, ., l lrR 故向量

56、组故向量组 A0 就是就是 L 的一个基，的一个基， A0中向量的个数就是中向量的个数就是 L 的维数的维数. .定义：定义：如果在向量空间如果在向量空间 V 中取定一个基中取定一个基 a1 , a2 , ., ar ，那，那么么V中任意一个向量可唯一表示为中任意一个向量可唯一表示为x = l l1a1 + l l2a2 + + l lrar数组数组 l l1, l l2, ., l lr 称为向量称为向量 x 在基在基 a1 , a2 , ., ar 中的中的坐坐标标例：例： 的列向量组是的列向量组是 R3 的一个基，的一个基，那么那么b 在基在基 e1, e2, e3 中的坐标中的坐标 n

57、 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量组称为的列向量组称为 Rn 的的自然基自然基上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组也是的列向量组也是 R3 的一个基，那么的一个基，那么 结论结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的同一个向量在不同基中的坐标是不同的例：例：设设验证验证a1, a2, a3 是是R3 的一个基，并求的一个基，并求 b1, b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标. .分析：分析：la1, a2, a3 是是 R3 的一个基的一个基 R(a1, a2, a3 ) = 3lb1, b2 在这个

58、基中的坐标在这个基中的坐标 用用 a1, a2, a3 表示表示 b1, b2l当当 时，时，A 的的列向量组列向量组与与B 的的列向量组列向量组有相同的线性有相同的线性关系（关系（P. 93 例例11）为此，考虑把为此，考虑把 (A, B) = (a1, a2, a3, b1, b2) 化为化为行最简形矩行最简形矩阵阵解：解：于是于是例：例：设设验证验证a1, a2, a3 是是R3 的一个基，并求的一个基，并求 b1, b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标. .例：例：在在 R3中取定一个基中取定一个基 a1, a2, a3 ，再取一个新基，再取一个新基 b1, b2, b3，设设 A = (a1, a2, a3)，B = (b1, b2, b3) 求用求用a1, a2, a3 表示表示 b1, b2, b3 的表示式的表示式（基变换公式）（基变换公式）； 求向量在两个基中的坐标之间的关系式求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）（坐标变换公式）. .分析：分析：l求解矩阵方程求解矩阵方程 AX = Bl设设 xR3，且，且 ，求，求解解矩阵方程矩阵方程