有有 理理 数数 总 复复 习一、有理数的根本概念一、有理数的根本概念二、有理数的运算二、有理数的运算1.负负数数 2.有理数有理数 3.数数轴轴4.互互为为相反数相反数5.互互为为倒数倒数6.有理数的有理数的绝对值绝对值7.有理数大小的比有理数大小的比较较8.科学科学记记数法、近似数与有效数字数法、近似数与有效数字 加、减、乘、除、乘方运算加、减、乘、除、乘方运算 一、有理数的根本概念一、有理数的根本概念1.负负数：数： 在正数前面加在正数前面加“—〞的数；〞的数；0既不是正数，也不是既不是正数，也不是负负数判判别：： 1〕〕a一定是正数；一定是正数； 2〕－〕－a一定是一定是负数；数； 3〕－〔－〕－〔－a〕一定大于〕一定大于0；； 4〕〕0是正整数是正整数×××× 2.有理数：有理数：整数和分数整数和分数统称有理数称有理数有理数有理数整数整数分数分数正整数〔自然数〕正整数〔自然数〕 零零负整数整数正分数正分数负分数分数有理数有理数正有理数正有理数零零负有理数有理数正整数正整数正分数正分数负整数整数负分数分数 3.3.数数 轴轴规定了原点、正方向和定了原点、正方向和单位位长度的直度的直线. .1 1〕 〕在数在数轴轴上表示的两个数，上表示的两个数， 右右边边的数的数总总比左比左边边的数大；的数大；2 2〕 〕正数都大于正数都大于0,0,负负数都小于数都小于0 0；； 正数大于一切正数大于一切负负数；数；-3 –2 –1 0 1 2 3 4-3 –2 –1 0 1 2 3 43 3〕 〕一切有理数都可以用数一切有理数都可以用数轴轴上上 的点表示。
的点表示 4.4.相反数相反数 只需符号不同的两个数，只需符号不同的两个数， 其中一个是另一个的相反数其中一个是另一个的相反数 1 1〕 〕数数a a的相反数是的相反数是-a-a2 2〕 〕0 0的相反数是的相反数是0. 0. -4 -3 –2 –1 0 1 2 3 4-4 -3 –2 –1 0 1 2 3 4-2-22 2-4-44 43 3〕 〕假假设设a a、、b b互互为为相反数，那么相反数，那么a+b=0. a+b=0. 〔〔a a是恣意一个有理数〕；是恣意一个有理数〕； 5.5.倒倒 数数 乘乘积是是1 1的两个数互的两个数互为倒数倒数 . .1 1〕 〕a a的倒数是的倒数是 〔 〔a≠0a≠0〕 〕；； 3 3〕 〕假假设设a a与与b b互互为为倒数，那么倒数，那么ab=1.ab=1.2 2〕 〕0 0没有倒数没有倒数 ；；例：以下各数，哪两个数互为倒数？例：以下各数，哪两个数互为倒数？ 8 8，， ，，-1-1，，+ +〔〔-8-8〕，〕，1 1，， 6.6.绝对值绝对值一个数一个数a a的的绝对值就是数就是数轴上上 表示数表示数a a的点与原点的的点与原点的间隔。
隔1 1〕 〕数数a a的的绝对值记绝对值记作作︱︱a a︱︱; ; 假设假设a a＞＞0 0，那么︱，那么︱a a︱︱= ;= ;2 2〕〕 假设假设a a＜＜0 0，那么︱，那么︱a a︱︱= ;= ; 假设假设a =0a =0，那么︱，那么︱a a︱︱= ;= ;-3 –2 –1 0 1 2 3 4-3 –2 –1 0 1 2 3 42 23 34 4a a-a-a0 03) 3) 对对任何有理数任何有理数a,a,总总有有︱︱a a︱︱≥0.≥0. 7.7.有理数大小的比有理数大小的比较较1 1〕 〕可可经过经过数数轴轴比比较较：： 在数在数轴轴上的两个数，右上的两个数，右边边的数的数总总比左比左边边的数大；的数大； 正数都大于正数都大于0 0，，负负数都小于数都小于0 0；；正数大于一切正数大于一切负负数；数；2 2〕 〕两个两个负负数，数，绝对值绝对值大的反而小大的反而小即即: :假假设设a a＜＜0,b0,b＜＜0,0,且且︱︱a a︱︱＞＞︱︱b b︱︱, , 那么那么a a ＜＜ b. b. 8.8.科学科学记记数法、近似数与有效数字数法、近似数与有效数字1. 1. 把一个大于把一个大于1010的数的数记记成成a×10na×10n的方式，其中的方式，其中a a是整数数位只需一位是整数数位只需一位的数，的数，这这种种记记数法叫做科学数法叫做科学记记数法数法 . .2. 2. 一个近似数，从左一个近似数，从左边边第一个不是第一个不是0 0的数字起到，到准确到的数位止，所的数字起到，到准确到的数位止，所有的数字，都叫做有的数字，都叫做这这个数的有效数字。
个数的有效数字 有理数的五种运算有理数的五种运算1.1.运算法那么运算法那么2.2.运算运算顺顺序序3.3.运运 算算 律律 1.1.运算法那么运算法那么1 1〕 〕有理数加法法那么有理数加法法那么2 2〕 〕有理数减法法那么有理数减法法那么3 3〕 〕有理数乘法法那么有理数乘法法那么4 4〕 〕有理数除法法那么有理数除法法那么5 5〕 〕有理数的乘方有理数的乘方 1)1)有理数加法法那么有理数加法法那么① ① 同号两数相加同号两数相加, ,取一取一样样的符号的符号, ,并把并把绝对值绝对值相加；相加；② ② 异号两数相加异号两数相加, ,取取绝对值较绝对值较大大的加数的符号的加数的符号, ,并用并用较较大的大的绝对值绝对值减去减去较较小的小的绝对值绝对值；互；互为为相反数相反数的两数相加得的两数相加得0 0；； ③ ③ 一个数同一个数同0 0相加相加, ,仍得仍得这这个数 假假设a>0,b<0,a>0,b<0,︱a a︱> >︱b b︱, , 那么那么a+b=a+b=用数学言用数学言语描画有理数加法法那么：描画有理数加法法那么：①①同号相加：同号相加： 假假设设a>0,b>0,a>0,b>0,那么那么a+b=a+b=假假设a<0,b<0,a<0,b<0,那么那么a+b=a+b=假假设a>0,b<0,a>0,b<0,︱a a︱< <︱b b︱, , 那么那么a+b=a+b=②②异号相加异号相加③③与与0 0相加相加假假设a a、、b b互互为相反数，那么相反数，那么a+b=a+b=a a是任一个有理数，那么是任一个有理数，那么a+0=a+0=︱︱a a︱︱+ +︱︱b b︱︱- -︱︱a a︱︱- -︱︱b b︱︱( (︱︱b b︱︱- -︱︱a a︱︱) )0 0a a( (︱︱a a︱︱+ +︱︱b b︱︱) )- - 2)2)有理数减法法那么有理数减法法那么 减去一个数，减去一个数， 等于加上等于加上这这个数的相反数个数的相反数. . 即即 a-b=a+(-b) a-b=a+(-b)例：分例：分别求出数求出数轴上两点上两点间的的间隔：隔：①①表示表示2 2的点与表示的点与表示-7-7的点；的点；②②表示表示-3-3的点与表示的点与表示-1-1的点。
的点解：解：①①︱2-2-〔〔-7-7〕〕︱= =︱2+72+7︱= =︱9 9︱=9=9 ② ②︱-3--3-〔〔-1-1〕〕︱= =︱-3+1-3+1︱= =︱-2-2︱=2=2 3 3〕 〕有理数的乘法法那么有理数的乘法法那么 两数相乘，同号得正，异号得两数相乘，同号得正，异号得负负，，并把并把绝对值绝对值相乘；相乘； 任何数同任何数同0 0相乘，都得相乘，都得0.0.① ① 几个不等于几个不等于0 0的数相乘，的数相乘，积积的符号的符号由由负负因数的个数决因数的个数决议议，当，当负负因数有奇因数有奇数个数个时时，，积为负积为负；当；当负负因数有偶数个因数有偶数个时时，，积为积为正正. .② ② 几个数相乘，有一个因数几个数相乘，有一个因数为为0 0，，积积就就为为0.0. 用数学言用数学言语描画有理数乘法法那么：描画有理数乘法法那么：①①同号相乘同号相乘 假假设设a>0,b>0,a>0,b>0,那么那么 ab= ab=︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱假假设a<0,b<0,a<0,b<0,那么那么 ab= ab=︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱②②异号相乘异号相乘 假假设设a>0,b<0,a>0,b<0,那么那么 ab= ab=假假设a<0,b>0,a<0,b>0,那么那么 ab= ab=︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱︱︱a a︱︱××︱︱b b︱︱③③数与数与0 0相乘相乘a a为为任何有理数，那么任何有理数，那么 a×0= a×0=0 0+ ++ +- -- - 4)4)有理数除法法那么有理数除法法那么①①除以一个数等于乘上除以一个数等于乘上这这个数的倒数个数的倒数; ; 即即a÷b=a× (b≠0)a÷b=a× (b≠0)② ② 两数相除两数相除, ,同号得正同号得正, ,异号得异号得负负, ,并把并把绝对值绝对值相除相除; ; 0 0除以任何一个不等于除以任何一个不等于0 0的数的数, ,都都得得0.0. 5)5)有理数的乘方有理数的乘方 ①①求求n n个一个一样样因数的因数的积积的运算的运算, ,叫做乘方。
叫做乘方②②正数的任何次正数的任何次幂幂都是正数；都是正数； 负负数的奇次数的奇次幂幂是是负负数，数， 负负数的偶次数的偶次幂幂是正数是正数. .幂幂指数指数 底数底数 即a·a·a· ··· ·a= n n 个个 2.2.运算运算顺顺序序1 1〕 〕有括号，先算括号里面的；有括号，先算括号里面的；2 2〕 〕先算乘方，再算乘除，先算乘方，再算乘除， 最后算加减；最后算加减；3 3〕 〕对对只含乘除，或只含加减的只含乘除，或只含加减的 运算，运算，应应从左往右运算从左往右运算 3.3.有理数的运算律有理数的运算律1)1)加法交加法交换换律律a+b=b+aa+b=b+a2)2)加法加法结结合律合律(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)3)3)乘法交乘法交换换律律ab=baab=ba4)4)乘法乘法结结合律合律(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)5)5)分分 配配 律律a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac 。