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1、上页下页铃结束返回首页2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算上页下页返回首页四、矩阵的转置四、矩阵的转置五、矩阵的行列式五、矩阵的行列式一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、矩阵的数乘二、矩阵的数乘三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 矩阵的乘法的定义、矩阵的转置及其性质矩阵加法与矩阵数乘的性质矩阵的乘法的性质结束铃上页下页铃结束返回首页一、矩阵的加法一、矩阵的加法下页1.定义定义2.3 设A与B为两个mn矩阵ABa11b11a12b12a1nb1n a21b21a22b22a2nb2n am1bm1am2bm2amnbmn。a11 a12a1n a21 a22a2n am1 am2amnA，b11 b12b
2、1n b21 b22b2n bm1 bm2bmnB，A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和，记为AB。即上页下页铃结束返回首页例例1设357220430123A，132021570648B ，则357220430123AB132021570648+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+43+848924191007611。下页矩矩 阵阵 的的 加加 法法 ： 设 A(aij)mn与 B(bij)mn， 则 AB (aijbij)mn。上页下页铃结束返回首页 2. 运算规律运算规律注意：注意：u只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是只有当两个矩阵是只有当两
3、个矩阵是同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵时时时时, , , , 设设 A, B, C 为同型矩阵为同型矩阵, 则则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律加法结合律加法结合律加法结合律);加法运算。加法运算。加法运算。加法运算。二者才能进行二者才能进行二者才能进行二者才能进行上页下页铃结束返回首页 3. 负矩阵与矩阵减法负矩阵与矩阵减法 若记若记若记若记 - - A A = ( - = ( -a aij ij) , ) , 则称则称则称则称 - -A A 为矩阵为矩
4、阵为矩阵为矩阵 A A 的的的的负矩阵负矩阵.显然有显然有显然有显然有 A A + (- + (-A A) = ) = O O. . 定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵的差差为：为：为：为： A - BA - B = = A A + (- + (-B B) .) .其中其中 O 是与是与 A 同型的零矩阵同型的零矩阵;例如，例如，C 的负矩阵为的负矩阵为:上页下页铃结束返回首页a11 a12a1n a21 a22a2n am1 am2amnA，定义定义4.4设A(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA。即ka11 ka12ka1n ka
5、21 ka22ka2n kam1 kam2kamnkA。下页二、数与矩阵相乘（数乘）二、数与矩阵相乘（数乘）上页下页铃结束返回首页矩阵的数乘：矩阵的数乘： 设A(aij)mn，则kA=(kaij)mn。例例2设357220430123A，则3A357220430123 3333537323230343330313233 915216601290369 。下页上页下页铃结束返回首页行列式的行列式的行列式的行列式的某行（或列）某行（或列）某行（或列）某行（或列）有公因子即可提出有公因子即可提出有公因子即可提出有公因子即可提出, , , ,但矩阵的但矩阵的但矩阵的但矩阵的每一个元素每一个元素每一个元
6、素每一个元素都有公因子时才可以提出都有公因子时才可以提出都有公因子时才可以提出都有公因子时才可以提出. . . .思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么 区别？区别？答：答：答：答：数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行某一行某一行某一行（或列）；（或列）；（或列）；（或列）；而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个每一个每一个每一个元素。元素。元素
7、。元素。即：即：即：即：上页下页铃结束返回首页 2. 数乘矩阵满足的运算律数乘矩阵满足的运算律 设设 A, B 为同型矩阵为同型矩阵, , 为常数，则为常数，则(1) () A= ( A); 结合律结合律(2) ( + )A = A + A. 分配律分配律(3) (A + B) = A + B. 分配律分配律矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。线性运算。线性运算。线性运算。上页下页铃结束返回首页例例3设357220430123A，132021570648B ，求3A-2B。 解：解：3A-2B3572
8、204301233132021570648-22640421014012816-915216601290369 。791762-22-50-9-2-79-215-621-46-06-40-212-109-140-03-126-89-16 下页上页下页铃结束返回首页例例4已知357220430123A，132021570648B ，且A2XB，求X。下页练习上页下页铃结束返回首页定义定义2.5设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C 称为矩阵A 与矩阵B 的积，记为CAB。下页则由元素 cijai1b1jai2b2jaisbsj (i1,2,m；j1,2,n)。a11 a12a1s
9、 a21 a22a2s am1 am2amsA，b11 b12b1n b21 b22b2n bs1 bs2bsnB，c11 c12c1n c21 c22c2n cm1 cm2cmnAB。即三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 上页下页铃结束返回首页B =，求AB及BA。A，例例5设231-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB= =-6-78下页上页下页铃结束返回首页B =，求AB及BA。A，例例5设231-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB= =-6-78-30-3；下页上页下页铃结束返回首页B =，求AB及BA。A，例例5设231
10、-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB= =-6-78-30-9-7-35；下页上页下页铃结束返回首页B =，求AB及BA。A，例例5设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA= =4-983， 解：解：231-2311-2-32-10AB= =-6-78-30-9-7-35；下页上页下页铃结束返回首页例例6设 A，4-2-21B，求AB及BA。4 2-6-3AB4-2-214 2-6-3 解：解：-32 -16168，BA4-2-214 2-6-30 000，B =，求AB及BA。A，例例5设231-2311-2-32-10 解：
11、解：AB -6-78-30-9-7-35, BA= =4-983。下页上页下页铃结束返回首页例例6设 A，4-2-21B，求AB及BA。4 2-6-3AB 解：解：-32 -16168，BA0 000，B =，求AB及BA。A，例例5设231-2311-2-32-10 解：解：AB -6-78-30-9-7-35, BA= =4-983。可见，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA。两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而AB=O推不出A=O或B=O。下页练习上页下页铃结束返回首页1110例例7设 A，B，求AB及BA。2110 解：解：11102110AB3110，21101110BA3110，显
12、然AB=BA。如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换。下页上页下页铃结束返回首页 解：解：设可交换的一切矩阵。例例8求与矩阵A010001000B ，abca1b1c1a2b2c2AB010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000BA010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2那么，下页上页下页铃结束返回首页 解：解：设可交换的一切矩阵。例例8求与矩阵A010001000B ，abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000，BA0ab0a1b10a2b2。令AB=BA，则有a1a2b20，
13、b1c2a，c1b。于是与A可交换的矩阵为Babc0ab00a，其中a，b，c为任意数。下页上页下页铃结束返回首页显然AC=BC，但AB。矩阵乘法不满足消去律。下页上页下页铃结束返回首页(1)(AB)CA(BC)；(2)(AB)CACBC；(3)C(AB)CACB；(4)k(AB)(kA)BA(kB)。应注意的问题：应注意的问题： (1)ABBA； (3)ABOAO或BO。/ (2)ACBCAB。/ 下页例例11证明：如果CAAC，CBBC，则有(AB)CC(AB)，(AB)CC(AB)。 证：证：因为CAAC，CBBC，所以有(AB)CACBCCACBC(AB)，(AB)CA(BC)A(CB
14、)(AC)B (CA)BC(AB)。矩阵乘法的性质：矩阵乘法的性质：上页下页铃结束返回首页 四、四、方阵的幂方阵的幂 如果如果 A 是是 n 阶矩阵阶矩阵, 那么那么AA 有意义有意义, 也有意义也有意义, () 定义定义k k个个个个相乘称为相乘称为相乘称为相乘称为 的的的的 k k 次幂次幂次幂次幂，记为记为记为记为 k k , , 定义定义 设设设设 A A 是是是是 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵, , k k 是正整数是正整数是正整数是正整数, , 规定规定规定规定 1 = A, 2 = A , k+1 =k ,即即即即因此有下述定义因此有下述定义:上页下页铃结束返回首页 (2)
15、运算规律运算规律 设设 A 为方阵为方阵, k, l 为正整数为正整数, 则则对对n阶方阵阶方阵 A 与与 B一般来说一般来说 , 由于矩阵乘法一般不满足交换律，由于矩阵乘法一般不满足交换律， AkAl =注意注意的乘法公式不一定成立的乘法公式不一定成立. 所以初等数学中所以初等数学中(AB)k AkBk ；(A+B)2 A2 +2AB+B2；(A+B)(A-B) A2 -B2；(Ak)l =Ak+l , Akl .上页下页铃结束返回首页定定义义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn
16、A ，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则。例如，设x(x1x2xn)，y(y1y2yn)，则(y1y2yn)xTyx1x2xn x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn 。下页五、矩阵的转置五、矩阵的转置上页下页铃结束返回首页转置矩阵有下列性质：转置矩阵有下列性质：(1)(AT)TA；(2)(AB)TATBT；(3)(kA)TkAT；下页a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A ，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT 则。定定义义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵
17、，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果五、矩阵的转置五、矩阵的转置(4)(AB)TBTAT。上页下页铃结束返回首页例例例例 设设A与与B是两个是两个n阶矩阵。证明：阶矩阵。证明：AB是对称矩阵是对称矩阵的充分必要条件是的充分必要条件是A与与B可交换。可交换。 证证证证: : 因为因为A、B是对称矩阵，所以是对称矩阵，所以1 1、若、若ABAB是对称矩阵，则有是对称矩阵，则有于是有于是有所以所以A与与B可交换。可交换。2 2、若、若A A、B B是可交换，则有是可交换，则有于是有于是有所以所以ABAB是对称矩阵。是对称矩阵。 证毕证毕证毕证毕上页下页铃结束返回首页一个由n阶矩阵A的元素按原
18、来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即矩阵的行列式具有的运算律：矩阵的行列式具有的运算律：(1)|AB|A|B|；(2)|AT|A|；(3)|lA|ln|A|。a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann A ，a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann 则|A| 。下页六、矩阵的行列式六、矩阵的行列式上页下页铃结束返回首页例例12设A(aij)为三阶矩阵，若已知|A|-2，求|A|A|。|A|A 解：解：|A|A| (-2)3-2a11-2a21-2a31 -2a12-2a22-2a32 -2a13-2a23-2a33 a11a21a31
19、 a12a22a32 a13a23a33 (-2)3|A|(-2)3(-2)16。-2|A|-2a11-2a21-2a31 -2a12-2a22-2a32 -2a13-2a23-2a33 ，提问：提问：设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|-mA|=?答：-m4。结束上页下页铃结束返回首页课堂练习：1、设、设A、B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且A为对称阵，证明：为对称阵，证明：也是对称阵。也是对称阵。2、设列矩阵、设列矩阵满足满足E为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵，证明：证明：H是对是对称矩阵，且称矩阵，且上页下页铃结束返回首页1、设、设A、B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且A为对称阵，证明：为对称阵，证明：也是对称阵。也是对称阵。 证证证证: : 因为因为A为对称阵为对称阵所以所以于是于是所以所以也是对称阵。也是对称阵。上页下页铃结束返回首页2、设列矩阵、设列矩阵满足满足E为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵，证明：证明：H是对是对称矩阵，且称矩阵，且 证证证证: : 因为因为所以所以H是对称矩阵。是对称矩阵。而而 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！34
