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1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 (第三节第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 1一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三章第三章 2费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理且且 存在存在证证: 设设则则证毕证毕 第三章第一节第三章第一节 3罗
2、尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b )使使证证:故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m .若若 M = m , 则则因此因此在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点第三章第一节第三章第一节45若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 则至少存在一点则至少存在一点使使注意注意:1) 定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定结论不一定.
3、 例如例如,则由费马引理得则由费马引理得 第三章第一节第三章第一节成立成立. 6使使2) 定理条件只是充分的定理条件只是充分的. 本定理可推广为本定理可推广为在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点证明提示证明提示: 设设证证 F(x) 在在 a , b 上满足罗尔定理上满足罗尔定理 . 第三章第一节第三章第一节7例例1. 证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .则则在在 0 , 1 连续连续 , 且且由介值定理知存在由介值定理知存在使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的
4、正根2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点至少存在一点但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设第三章第一节第三章第一节8二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导至少存在一点至少存在一点使使思路思路: 利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,在在 a , b 上连续上连续 , 在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且证证: 问题转化为
5、证问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立即定理结论成立 . 证毕证毕第三章第一节第三章第一节9拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的有限增量形式有限增量形式:推论推论: 若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足则则在在 I 上必为常数上必为常数.证证: 在在 I 上任取两点上任取两点日中值公式日中值公式 , 得得由由 的任意性知的任意性知, 在在 I 上为常数上为常数 .令令则则第三章第一节第三章第一节10例例2. 证明等式证明等式证证: 设设由推论可知由推论可知 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立
6、.自证自证:经验经验: 欲证欲证时时只需证在只需证在 I 上上第三章第一节第三章第一节11例例3. 证明不等式证明不等式证证: 设设中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故因此应有因此应有第三章第一节第三章第一节12三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:及及(1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3)在开区间在开区间 ( a , b ) 内内至少存在一点至少存在一点使使满足满足 :要证要证第三章第一节第三章第一节构造辅助函数构造辅助函数13证证: 作辅助函数作辅助函数且且使使即即由罗尔定理知由罗尔定理知
7、, 至少存在一点至少存在一点思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 第三章第一节第三章第一节14柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意注意:弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率第三章第一节第三章第一节15例例4. 设设至少存在一点至少存在一点使使证证: 结论可变形为结论可变形为设设则则在在 0, 1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使即即证明证明第三章第一节第三章第一节16例例5. 试证至少存在一点试证至少
8、存在一点使使证证: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .则则 f (x) , F(x) 在在 1 , e 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件, 令令因此因此 即即分析分析:第三章第一节第三章第一节17例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点使使法法2 令令则则 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件,使使因此存在因此存在第三章第一节第三章第一节18内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(
9、1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理第三章第一节第三章第一节19思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间上上.方程方程第三章第一节第三章第一节202. 设设且在且在内可导内可导, 证明至少存证明至少存在一点在一点使使提示提示: 由结论可知由结论可知, 只需证只需证即即验证验证在在上满足罗尔定理条件上满足罗
10、尔定理条件.设设第三章第一节第三章第一节213. 若若可导可导, 试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有的零点的零点. 提示提示: 设设欲证欲证:使使只要证只要证亦即亦即作辅助函数作辅助函数验证验证在在上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.第三章第一节第三章第一节224. 思考思考: 在在即即当当时时问问是否可由此得出是否可由此得出 不能不能 !因为因为是依赖于是依赖于 x 的一个特殊的函数的一个特殊的函数.因此由上式得因此由上式得表示表示 x 从右侧从右侧以任意方式趋于以任意方式趋于 0 .应用拉格朗日中值定理得应用拉格朗日中值定理得上对函数上对函数第三章第一节第三章第一节23作业
11、作业P134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15提示提示:题题*15.题题14. 考虑考虑第三章第一节第三章第一节24柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家, 他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的分析教程分析教程, 无穷小分析概论无穷小分析概论, 微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等, 有思想有创建有思想有创建, 响广泛而深远响广泛而深远 .对数学的影对数学的影他是经典分析的奠人之一他是经典分析的奠人之一, 他为微积分他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文一生发表论文800余篇余篇, 著书著书 7 本本 , 第三章第一节第三章第一节27备用题备用题求证存在求证存在使使1. 设设 可导，且可导，且在在连续，连续，证证：因此至少存在因此至少存在显然显然在在 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,即即设辅助函数设辅助函数使得使得第三章第一节第三章第一节28设设 证明对任意证明对任意有有证：证：2.不妨设不妨设第三章第一节第三章第一节29
