导数的基本公式及运算法则

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1、2.2 2.2 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则2.2.12.2.1基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(x ) = x - -1 .(ax) = ax lna .(ex) = ex.(sin x) = cos x.(cos x) = - - sin x.(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x .(sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x .例例1 1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：定理定理2.2. 1设函数设函数 u(x)、v( (x) ) 在在 x 处可导处

2、可导，在在 x 处也可导，处也可导，(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);2.2.22.2.22.2.22.2.2导数的四则运算导数的四则运算导数的四则运算导数的四则运算且且则它们的和则它们的和、差差、积与商积与商推论推论 1(cu(x) = cu (x) (c 为常数为常数).推论推论 2乘法法则的推广：乘法法则的推广：补充例题：补充例题： 求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解根据推论根据推论 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ，(5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - -

3、 sin x，(ex) = ex，(1) = 0，故故f (x) = (3x4 - - ex + 5cos x - - 1) = (3x4) - -( (ex ) ) + (5cos x) - - (1) = 12x3 - - ex - - 5sin x .f (0) = (12x3 - - ex - - 5sin x)|x=0 = - - 1又又(x4) = 4x3，例例 1设设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1，求求 f (x) 及及 f (0).例例 2设设 y = xlnx ， 求求 y .解解根据乘法公式，有根据乘法公式，有y = (xlnx) = x (l

4、nx) + + (x) lnx解解根据除法公式，有根据除法公式，有例例 3设设求求 y .教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函数的导数：求下列函数的导数：解：解： 2.2.3 2.2.3 2.2.3 2.2.3 高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数如如果果可可以以对对函函数数 f(x) 的的导导函函数数 f (x) 再再求求导导，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数， 称为函数称为函数 y = f(x) 的二阶导数，的二阶导数，记作记作 f (x) 或或 y 或或如如对对二二阶阶导导数数再再求求导导，则则称三阶导数，称三阶导数，记作记作 f (x) 或或 四阶或四阶以上导四阶或四阶以上导

5、数记为数记为 y(4)，y(5)， ，y(n)或或 ， 而而把把 f (x) 称为称为 f (x) 的一阶导数的一阶导数.例例3 3 求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数解：解：二二阶以上的以上的导数可利用后面的数学数可利用后面的数学软件件来计算来计算 推推论论设设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均均可导可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导，以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. . 先将要求

6、导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出法则求出. 复合函数求导的关键复合函数求导的关键: 正确分解初等函数正确分解初等函数的复合结构的复合结构.求导方法小结：求导方法小结：例例5 5：求下列函数的导数：求下列函数的导数（1） （2）（3） （4）*2.2.7 二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将

7、另一自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.例例1 1 设函数设函数求求解：解： 例例2 2 设函数设函数 解：解：类似可得类似可得*2.2.8 *2.2.8 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数函数函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数的两个偏导数一般说来仍然是一般说来仍然是 x , y 的函数，的函数， 如果这两个函数关于如果这两个函数关于 x , y 的偏导数也存在，的偏导数也存在， 则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f (x , y)的二阶偏导数的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，依照对变

8、量的不同求导次序，二阶偏导数有四二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）个：（用符号表示如下）其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、 、n 阶偏导数，阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，称为函数称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即即 例例 3试求函数的四个二阶偏导函数试求函数的四个二阶偏导函数思考题一思考题一 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.思考题一解答思考题一解答令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和