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1、电器信息工程学院蔡超峰如果能如果能够找到一找到一类基本信号基本信号 (t) 或或 (n)，它，它满足：足：n 用它用它们能构成相当广泛的信号；能构成相当广泛的信号；n LSI 系系统对每个每个 (t) 或或 (n) 的响的响应十分十分简单。则系系统对任意任意输入信号的响入信号的响应将会具有一个将会具有一个简单的表达式。的表达式。单位位冲冲激激信信号号 (t) 或或 (n)、复复正正弦弦信信号号 ejt 或或 ejt、复复指指数数信信号号 est 和和 zn 同同时具有上述两个性具有上述两个性质。如果如果 (t) 或或 (n)为单位冲激信号，即位冲激信号，即为时域分析方法（卷域分析方法（卷积）。
2、）。如果如果 (t) 或或 (n)为复正弦信号复正弦信号 、复指数信号，即、复指数信号，即为变换域分析方域分析方法，分法，分别对应于傅里叶于傅里叶变换、z 变换或拉普拉斯或拉普拉斯变换。对于于单位冲激响位冲激响应为 h(t) 的的 LSI系系统，若，若输入是入是 x(t)= ejt ，则系系统的响的响应 y(t) 为：令：令：则有有:由由此此可可见，连续时间LSI系系统对复复正正弦弦信信号号输入入的的响响应，仍仍是是一一个个相同相同频率的复正弦信号，只是复数幅度有所改率的复正弦信号，只是复数幅度有所改变。离散情况下也是一离散情况下也是一样:假假设连续时间和离散和离散时间 LSI 系系统的某个任
3、意的某个任意输入信号分入信号分别是复正是复正弦信号弦信号 ejt 或或 ejt 的一个的一个线性性组合：合：根据根据LSI系系统的的线性性性性质，它，它们对 x(t) 和和 y(t)的响的响应分分别是：是：结论：只只要要任任意意的的输入入信信号号 x(t) 或或 x(n) 能能分分别表表示示成成复复正正弦弦信信号号的的线性性组合，就可以很方便的写出合，就可以很方便的写出 LSI 系系统对它它们的响的响应。1.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数2.连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换3.傅里叶傅里叶级数与傅里叶数与傅里叶变换的比的比较4.有限有限长序列的离散傅里叶序列的离散傅里叶变换傅里叶，1768
4、18301. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数任何任何连续时间周期信号周期信号 ，只要它，只要它满足狄里赫利（足狄里赫利（Dirichlet）条件（后面介条件（后面介绍），都可以展开），都可以展开为复正弦形式的傅里叶复正弦形式的傅里叶级数：数：其其中中 T 为 的的周周期期，表表示示长度度为 T 的的任任意意区区间。此此即即连续傅傅里里叶叶级数数（Continuous Fourier Series, CFS）。从从上上述述公公式式可可以以看看出出，连续时间周周期期信信号号 可可以以表表示示为与与其其重重复复频率率 0 成成谐波波关关系系的的一一系系列列复复正正弦弦信信号号 ej0t 的的线性
5、性组合合，每每个个 ej0t 的的复复数幅度就是傅里叶数幅度就是傅里叶级数的系数数的系数 X(k0)。利用欧拉公式，利用欧拉公式，还可以可以给出三角形式的傅里叶出三角形式的傅里叶级数：数：或：或： 1. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数1. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数定定义离散傅里叶离散傅里叶级数（数（ Discrete FS, DFS）：）：这两两个个公公式式表表明明，任任意意周周期期序序列列 都都可可以以表表示示为与与其其重重复复频率率0 成成谐波波关关系系的的一一系系列列复复正正弦弦序序列列 ej0n 的的线性性组合合，每每个个 ej0n 的复数幅度就是离散傅里叶的复数幅度就是
6、离散傅里叶级数的系数数的系数 X(k0)。CFS 与与 DFS 的的区区别： CFS 是一个无是一个无穷级数，而周期数，而周期为 N 的周的周期序列的期序列的 DFS 却是一个有限却是一个有限级数，它只有数，它只有 N 项，即：，即：1. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数连续傅里叶傅里叶级数的收数的收敛条件：条件：条件条件1 在任何一个周期内必在任何一个周期内必须模可模可积，即，即条件条件2 在任何一个周期内极大在任何一个周期内极大值和极小和极小值的个数有限；的个数有限； 条件条件3 在任何一个周期内只有有限个数的在任何一个周期内只有有限个数的间断点。断点。此此即即狄狄里里赫赫利利（Diri
7、chlet）条条件件。不不满足足狄狄里里赫赫利利条条件件的的周周期期信信号号都都属属于于一一种种比比较反反常常的的周周期期信信号号，在在信信号号分分析析与与处理理中中没没什么特什么特别的重要性。的重要性。1. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数离散傅里叶离散傅里叶级数的收数的收敛：离离散散傅傅里里叶叶级数数涉涉及及到到的的都都是是有有限限项求求和和，因因此此只只要要 是是有有界界的的，即即对所所有有的的 n，都都有有 ，则 DFS 的的收收敛不不存存在在任任何何问题。或者。或者说，只要在一个周期内，只要在一个周期内 的能量是有限的，即的能量是有限的，即 则 DFS 一定收一定收敛。1. 连续和
8、离散傅里叶和离散傅里叶级数数周期信号用截短了的傅里叶周期信号用截短了的傅里叶级数近似：数近似：如果把周期信号如果把周期信号 和和 分分别展成它展成它们的的 CFS 和和 DFS，并把，并把无限无限项的的 CFS 和有限和有限项的的 DFS 在某一在某一处截断，分截断，分别得到：得到： 和和 对 和和 的的逼逼近近是是能能量量意意义上上的的最最佳佳逼逼近近。当当 M 趋于于无无穷或或者者 (2M+1)= N 时，误差差为 0。这种种最最佳佳逼逼近近表表明明可可以以用用有有限限项低低次次谐波波分分量量近近似似的的表表示示一一个个周周期期信信号号，且且近近似的均方似的均方误差可以做到任意小。差可以做
9、到任意小。1.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数习题：求周期矩形脉冲求周期矩形脉冲 的傅里叶的傅里叶级数表示。数表示。由于由于 是偶是偶对称的，因此称的，因此积分区分区间选为（T/2, T/2），），则有：有：对于于k=0，X(0) = /T，它代表，它代表 的直流分量。的直流分量。对于于k0，则有有1-/20t-/2TT1.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数Sa(x):x由于由于 为实偶偶对称的周期信号，因此傅里叶称的周期信号，因此傅里叶级数系数均数系数均为实数，所以才能画出上数，所以才能画出上图所示的所示的实数数频谱。1k/T001.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数一般的周期信号的傅里叶
10、一般的周期信号的傅里叶级数系数是一个复数，数系数是一个复数，难以用一个以用一个实数数频谱图形表示出来。此形表示出来。此时，必需用模和，必需用模和辐角或者角或者实部和虚部部和虚部来表示。通常采用模和来表示。通常采用模和辐角的形式：角的形式：幅度幅度谱： 相位相位谱：/Tk0kk/T01.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数离散情况下：离散情况下：10nN1NNN1(2N1+1)k0N0N1.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数周期信号周期信号频谱的特点：的特点：1.连续时间和离散和离散时间周期信号的周期信号的频谱都是离散都是离散频谱，两条，两条谱线之之间的的间隔等于重复隔等于重复频率（率（ 0 =2
11、/T 或或 0 =2/N）。）。2.连续时间周周期期信信号号包包含含无无穷多多条条谱线，即即有有无无穷多多个个成成谐波波关关系系的的复复正正弦弦分分量量组成成；离离散散时间周周期期信信号号的的谱线具具有有周期性，在周期性，在频域上域上为 2，在，在 k 域上域上为 N。k0k0N0N1.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数3.实周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶级数系数只有一半是独立的，另外一数系数只有一半是独立的，另外一半可以通半可以通过共共轭偶偶对称性称性质求得。求得。4.把把周周期期信信号号幅幅度度谱的的谱线顶点点连接接起起来来，就就形形成成周周期期信信号号的的频谱包包络。对于于实周周期期脉
12、脉冲冲信信号号，从从 0 到到第第一一个个包包络线零零点点的的频率率范范围内内，谐波波分分量量占占去去了了周周期期信信号号功功率率的的绝大大部部分分，通通常常把把这个个频率率范范围作作为周周期期脉脉冲冲信信号号的的频谱宽度度B。k0Sa(x)/x:x11.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数LSI 系系统对周期周期输入信号的响入信号的响应（以（以连续周期信号周期信号为例）：例）：n 是是周周期期信信号号，周周期期与与输入入信信号号 相相同同。但但它它们的的CFS系系数数变成了成了 ，故周期区，故周期区间内的波形有所改内的波形有所改变。n周周期期输入入信信号号通通过 LSI 系系统以以后后， 的的
13、谐波波分分量量 要要乘乘以以 ，即即得得到到不不同同复复数数增增益益，有有的的分分量量被被放放大大，有有的的分分量量有有所所衰衰减，减，这也是也是“信号信号滤波波”的概念和方法的来由。的概念和方法的来由。1.连续和离散傅里叶和离散傅里叶级数数关于傅里叶关于傅里叶级数：数：n周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶级数表示法，可以数表示法，可以统一在傅里叶一在傅里叶变换表示表示法中，法中，统称称为傅里叶表示法。傅里叶表示法。n周周期期时间函函数数和和序序列列一一般般不不可可能能称称为实际 LSI 系系统的的单位位冲冲激激响响应，因因此此只只有有周周期期信信号号的的傅傅里里叶叶级数数表表示示法法，没没有有
14、 LSI系系统的傅里叶的傅里叶级数表示法。数表示法。n周期信号不能代表所有的信号，因此只有傅里叶周期信号不能代表所有的信号，因此只有傅里叶级数表示法数表示法并不能并不能说明复正弦信号是能构成相当广泛的一明复正弦信号是能构成相当广泛的一类信号的基本信号的基本信号。信号。2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换定定义连续傅里叶傅里叶变换（ Continuous Fourier Transform，CFT）：）：其中其中 x(t) 为连续非周期信号且非周期信号且满足狄里赫利条件。足狄里赫利条件。定定义离散离散时间傅里叶傅里叶变换（ Discrete Time FT，DTFT）：）：2. 连续和离散傅里
15、叶和离散傅里叶变换CFT 与与 DTFT 的区的区别：1.非非周周期期连续函函数数 x(t) 的的傅傅里里叶叶变换 X(j) 在在 上上是是非非周周期期函函数数，非非周周期期序序列列 x(n) 的的离离散散时间傅傅里里叶叶变换 X(j) 在在 是是以以 2 为周周期期的的函函数数，故故可可用用任任何何一一个个 2 长度度区区间上上的的 X(j) 充分表示。充分表示。2.对于于CFT 来来说，=0 附附近近为低低频区区域域， 趋于于无无穷则为最最高高频率率。对于于DTFT来来说，当当 等等于于 0 或或 的的偶偶数数倍倍时，ejn为常常数数，附附近近为低低频区区域域；当当 等等于于 的的奇奇数数
16、倍倍时，ejn 是是最高最高频率的复正弦信号。率的复正弦信号。2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换连续傅里叶傅里叶变换的收的收敛条件：条件：条件条件1 模可模可积，即，即 或者或者 x(t) 模平方可模平方可积，即，即 x(t) 为能量信号；能量信号；条件条件2 在任何有限区在任何有限区间内，内， x(t) 只包含有限数目的极大只包含有限数目的极大值和极和极 小小值点。点。 条件条件3 在任何有限区在任何有限区间内，内， x(t) 只有有限个数的只有有限个数的阶跃型不型不连续点，且每一个点，且每一个间断点上的跳断点上的跳变值必必须是有限是有限值。2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换离散傅里
17、叶离散傅里叶变换的收的收敛条件：条件：即即 x(n) 模可和，或者模可和，或者 x(n) 模平方可和，亦即模平方可和，亦即 x(n) 是能量信号。是能量信号。2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换典型例子：典型例子：n单位冲激函数位冲激函数 (t) 和和单位冲激序列位冲激序列 (n):n单边实指数函数和序列：指数函数和序列： 2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换n矩形窗函数矩形窗函数:002. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换考察考察 CFS 和和 CFT：傅傅里里叶叶反反变换所所起起的的作作用用与与傅傅里里叶叶级数数表表示示法法中中合合成成公公式式一一样，都都把把一一个个信信号号看看成成一
18、一组复复正正弦弦信信号号的的线性性组合合，区区别仅在在于于傅傅里里叶叶反反变换表表示示为连续的的线性性组合合。 称称为信信号号 x(t) 的的频谱密密度度函函数数，或或简称称频谱，反反映映了了单位位频带内内复复正正弦弦分分量量的的复复数幅度数幅度值的分布情况。离散情况下也是一的分布情况。离散情况下也是一样。2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换非周期信号非周期信号频谱的特点：的特点：1.非周期信号的非周期信号的频谱均均为连续频谱。2.连续时间非非周周期期信信号号的的频谱是是整整个个频域域（ ）上上的的非非周周期期连续函函数数；而而离离散散时间非非周周期期信信号号的的频谱是是频域域上上以以 2
19、为周期的周期的连续周期函数。周期函数。3.幅度幅度谱与相位与相位谱。002. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换假定某个假定某个 LSI 系系统的的单位冲激响位冲激响应为 h(t) 或或 h(n)，且它，且它们的傅的傅里叶里叶变换都存在，即：都存在，即：若系若系统输入是入是 x(t) = ejt ，则输出出 y(t)为 ：离散情况下：离散情况下：通常把通常把 和和 叫做叫做 LSI 系系统的的频率响率响应。2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换非周期信号非周期信号 x(t) 和和 x(n) 分分别输入至冲激响入至冲激响应为 h(t) 和和 h(n) 的的连续时间和离散和离散时间 LSI系系统。x
20、(t) 可看成是可看成是 ejt 的的线性性组合：合：此即此即为连续时间和离散和离散时间 LSI 系系统在在频域上的域上的输入入输出关系。出关系。.2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换傅里叶傅里叶变换的模和相位：的模和相位：若系若系统的的频率响率响应为 ，输入入为 x(t)，则输出出 y(t)为 ：2. 连续和离散傅里叶和离散傅里叶变换上上述述结果果表表明明，LSI 系系统频率率响响应的的的的模模 |H(j)|表表示示该系系统对复复正正弦弦信信号号 ejt 的的的的幅幅度度增增益益，它它完完整整的的反反映映了了系系统对复复正正弦弦信信号号的的幅幅度度增增益益随随频率率 变化化的的特特性性，称
21、称为幅幅频响响应或或幅幅频特特性性。频率率响响应的的幅幅角角 () 表表示示该系系统给 ejt 造造成成的的附附加加相相移移，反反映映了附加相移随了附加相移随频率率 变化的特性，称化的特性，称为相相频响响应或相或相频特性。特性。离散情况下也有完全相同的离散情况下也有完全相同的结果。果。LSI 系系统傅里叶傅里叶级数和傅里叶数和傅里叶变换的区的区别：n傅里叶傅里叶级数数对应周期信号，傅里叶周期信号，傅里叶变换对应非周期信号；非周期信号；n傅里叶傅里叶级数要求信号在一个周期内能量有限，傅里叶数要求信号在一个周期内能量有限，傅里叶变换要要求信号在整个求信号在整个时间区区间内能量有限；内能量有限；n傅
22、里叶傅里叶级数的系数都是离散的，而傅里叶数的系数都是离散的，而傅里叶变换的的结果是果是连续函数。函数。n物理含物理含义不同，量不同，量纲不同。不同。3. 傅里叶傅里叶级数与傅里叶数与傅里叶变换的比的比较左左边取极限：取极限：右右边取极限：取极限：傅里叶傅里叶级数和傅里叶数和傅里叶变换的的联系：系：不考不考虑狄里赫利条件，直接狄里赫利条件，直接计算周期信号的傅里叶算周期信号的傅里叶变换：由由积分分得到周期信号傅里叶得到周期信号傅里叶变换的表达式：的表达式：由此可由此可见，本来不具，本来不具备傅里叶傅里叶变换条件的周期信号，在引入冲条件的周期信号，在引入冲激函数后也可以做傅里叶激函数后也可以做傅里
23、叶变换。3. 傅里叶傅里叶级数与傅里叶数与傅里叶变换的比的比较几个周期信号的傅里叶几个周期信号的傅里叶变换：n单个复正弦：个复正弦：n复正弦集合：复正弦集合：n冲激串序列：冲激串序列：3. 傅里叶傅里叶级数与傅里叶数与傅里叶变换的比的比较3. 傅里叶傅里叶级数与傅里叶数与傅里叶变换的比的比较CFSCFTDFSDTFT正正变换反反变换时域域频域域连续周期周期非周期非周期离散离散连续非周期非周期非周期非周期连续离散离散周期周期周期周期离散离散离散离散非周期非周期周期周期连续0nNNkN0N00t0tTTk000n时域域频域域CFSCFTDFSDTFT3. 傅里叶傅里叶级数与傅里叶数与傅里叶变换的比
24、的比较4. 离散傅里叶离散傅里叶变换在在计算机上算机上实现信号的信号的频谱分析及其它方面的工作分析及其它方面的工作时，信号在，信号在时域和域和频域必域必须都是离散的，而且都都是离散的，而且都应是有限是有限长。显然，四种然，四种形式的傅里叶形式的傅里叶变换（级数）无一数）无一满足此条件。另外，足此条件。另外，实际中的中的信号往往也是离散且有限信号往往也是离散且有限长。将将长度度为 M 的有限的有限长序列序列 以周期以周期 N 进行周行周期延拓，得到周期序列期延拓，得到周期序列 :其中其中4. 离散傅里叶离散傅里叶变换0nM-10nN-1M-10nN-1M-114. 离散傅里叶离散傅里叶变换周期序
25、列周期序列 的离散傅里叶的离散傅里叶级数（数（DFS）表示：）表示：最最终得到离散傅里叶得到离散傅里叶变换（Discrete FT，DFT）：）：4. 离散傅里叶离散傅里叶变换N 点序列的点序列的 DFT 与其与其 DTFT 之之间的关系：的关系：上式表明，上式表明，N 点序列的点序列的 N 个个 DFT 系数等于它的系数等于它的 DTFT 在在 0,2)的的 区区间上的上的 N 个等个等间隔隔样本本值。N 点序列的点序列的 DFT 与其与其 DFS 之之间的关系：的关系：即即 N 点序列的点序列的 N 个个 DFT 系数等于系数等于 DFS 系数的主系数的主值序列。序列。DFTDTFT4. 离散傅里叶离散傅里叶变换二二维离散傅里叶离散傅里叶变换:
