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1、7 Numerical Integration第7章 数值积分1浙江大学机械电子工程构造数值积分公式的基本方法与有关概念构造数值积分公式的基本方法与有关概念7.1 Introduction to Quadrature2浙江大学机械电子工程3浙江大学机械电子工程数值积分余项数值积分余项E(Pi)=Rif4浙江大学机械电子工程数值积分公式的精度数值积分公式的精度5浙江大学机械电子工程精度为：6浙江大学机械电子工程例题例题7浙江大学机械电子工程8浙江大学机械电子工程9浙江大学机械电子工程10浙江大学机械电子工程11浙江大学机械电子工程The trapezoidal rule n=112浙江大学机械电
2、子工程Simpsons rule (n=2)13浙江大学机械电子工程Simpsons 3/8 rule n=3Booles rulen=414浙江大学机械电子工程15浙江大学机械电子工程牛顿科茨公式余项牛顿科茨公式余项n梯形公式余项：l辛普森公式余项：l科茨公式余项：代数精度？ 当积分区间比较大时，精度？当积分区间比较大时，精度？16浙江大学机械电子工程7.2 Composite Trapezoidal and Simpsons Ruleab=17浙江大学机械电子工程Composite Trapezoidal Rule=ab18浙江大学机械电子工程Composite Simpson Rulea
3、b19浙江大学机械电子工程Composite Bools Ruleab20浙江大学机械电子工程复合牛顿科茨公式余项复合牛顿科茨公式余项 复合梯形公式余项复合梯形公式余项复合梯形公式余项复合梯形公式余项 复合辛普森公式余项复合辛普森公式余项复合辛普森公式余项复合辛普森公式余项 复合布尔公式余项复合布尔公式余项复合布尔公式余项复合布尔公式余项21浙江大学机械电子工程例题例题22浙江大学机械电子工程23浙江大学机械电子工程24浙江大学机械电子工程7.3 Recursive Rules and Romberg Integration如何用梯形公式的线性组合计算辛普生逼近？25浙江大学机械电子工程Rec
4、ursive Trapezoidal Ruleab26浙江大学机械电子工程27浙江大学机械电子工程28浙江大学机械电子工程29浙江大学机械电子工程30浙江大学机械电子工程31浙江大学机械电子工程32浙江大学机械电子工程33浙江大学机械电子工程34浙江大学机械电子工程35浙江大学机械电子工程36浙江大学机械电子工程Romberg Integration37浙江大学机械电子工程38浙江大学机械电子工程39浙江大学机械电子工程40浙江大学机械电子工程41浙江大学机械电子工程42浙江大学机械电子工程数值积分在MATLAB中的应用nquad 采用递推自适应Simpson法计算积分;精度较高，较常用nqu
5、adl采用递推自适应Lobatto法计算积分;精度高，最常用ntrapz 采用梯形法计算积分;速度快，精度差ncumtrapz 采用梯形法计算一个区间上的积分曲线;速度快，精度差nFnint 利用样条函数求不定积分；与spline、ppval配合使用；主要对付“表格”函数的积分43浙江大学机械电子工程【例 题】（1）符号解析法syms x;IS=int(exp(-x*x),x,0,1)vpa(IS) IS =1/2*erf(1)*pi(1/2)ans =.74682413281242702539946743613185 44浙江大学机械电子工程（2）MATLAB指令quad和quadl求积fu
6、n=inline(exp(-x.*x),x);Isim=quad(fun,0,1),IL=quadl(fun,0,1)Isim =0.7468IL =0.7468 （3）10参数Gauss法Ig=gauss10(fun,0,1) Ig = 0.7463 45浙江大学机械电子工程xx=0:0.1:1.5;ff=exp(-xx.2);pp=spline(xx,ff);int_pp=fnint(pp);Ssp=ppval(int_pp,0,1)*-1;1 Ssp = 0.7468 （4）样条函数积分法46浙江大学机械电子工程x=(0:0.1:1)*2*pi;y=sin(x);pp=spline(x,
7、y);int_pp=fnint(pp);der_pp=fnder(pp);%xx=(0:0.01:1)*2*pi;err_yy=max(abs(ppval(pp,xx)-sin(xx)err_int=max(abs(ppval(int_pp,xx)-(1-cos(xx)err_der=max(abs(ppval(der_pp,xx)-cos(xx) err_yy =0.0026err_int =0.0010err_der =0.0253 (1)不定积分样条函数、导数样条函数的求取和精度分析47浙江大学机械电子工程% 计算计算y(x)在区间在区间1，2上的定积分上的定积分DefiniteInte
8、gral.bySpline=ppval(int_pp,1,2)*-1;1;DefiniteIntegral.byTheory=(1-cos(2)-(1-cos(1);% 计算计算dy(3)/dxDerivative.bySpline=fnval(der_pp,3);Derivative.byTheory=cos(3);Derivative.byDiference=(sin(3.01)-sin(3)/0.01;DefiniteIntegral,Derivative DefiniteIntegral = bySpline: 0.9563 byTheory: 0.9564Derivative = b
9、ySpline: -0.9895 byTheory: -0.9900 byDiference: -0.9907 (2)不定积分样条函数、导数样条函数的使用不定积分样条函数可用来计算基础区间中任何区间上的定积分。导数样条函数可以计算基础区间内任何一点的导数。48浙江大学机械电子工程(3)绘制3个样条函数的图形fnplt(pp,b-);hold onfnplt(int_pp,m:),fnplt(der_pp,r-);hold offlegend(y(x),S(x),dy/dx) 49浙江大学机械电子工程（4）SIMULINK 积分法50浙江大学机械电子工程This Class Is Over, Thanks for Your Attention!51浙江大学机械电子工程
