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1、第第4.24.2节节 中心极限定理中心极限定理二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、四、小结小结一、动画演示一、动画演示一、基本定理一、基本定理定理定理4.6（林德贝格（林德贝格-列维中心极限定理）列维中心极限定理）定理定理4.64.6表明表明:从而知当n充分大时， 近似服从正态分布近似服从正态分布证明证明 根据第三章第二节例题可知根据第三章第二节例题可知德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理定理4.8( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) )根据定理根据定理4.6得得定理定理4.84.8表明表明: 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, 当当n充分充分大时大
2、时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的
3、事实.二、典型例题二、典型例题解解由定理由定理4.6, 随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),例例1其中其中 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有2950030500次纵次纵摇角大于摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次
4、波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X,则则X是一个随机变量是一个随机变量,例例2所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理三、小结三、小结三个中心极限定理三个中心极限定理林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布. 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万
5、人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率 对于一个学生而言对于一个学生而言, 来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、 2名家长来参加会议的概
6、率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有若学校共有400名学生名学生, 设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立, 且服从同一分布且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数求参加会议的家长数X超过超过450的概率的概率; (2) 求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解例例4根据根据定理定理4.6由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,证证例例5根据根据定理定理4.6李雅普诺夫李雅普诺夫定理定理4.7*( (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理) )则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量定理定理4.74.7表明表明:( (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布) )下面介绍的定理下面介绍的定理4.8是定理是定理4.6的特殊情况的特殊情况.
